С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Итак, сечение 'прямого кругового конуса с прлмым углом пра вершине лоскостью, ис проходящей чсрсэ вершину, представляет собой либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу. Поскольку любой конус второго порядка может быть получен из прямого кругоного конуса с прямым углом при вершине равномерным растяжением вдоль осей Ох и Оу, то его сечения также обладают указанным свойством.

По этой причине эллипс, гиперболу и параболу иногда называют копическими ссчспиями. Замечав не. Сказанное позволяет заключить, что конус второго порядка, будучи эллиптическим, в определенном смысле может рассматриваться также как параболический или гиперболический — отсюда и название «конус второго порядка». Конусы, направляющими которых являются две пересекающиеся или две параллельные прямые, одна прямая и точка, представляют собой соответственно две пересекающиеся плоскости, одну плоскость и прямую, т, е. поверхности, которые мы отнесли к числу цилиндров. Следовательно, среди поверхностей второго порядка конусов, отличных от цилиндров, ровно деа.

4. Завершение классификации. Осталось рассмотреть два случая. 2 г 2 1, '+" + =1. а Ъ с 11'. Если числа а, Ь и с положительны, то уравнение поверхности имеет вид 2 2 2 х у 2+2+2 а Ь с Поверхность, описываемая этим уравнением, называется эллипсоидом. 12'. Если нз чисел а, Ь и с два положительны, а одно отрицательно, то уравнение поверхности имеет вид х у г г г — + — = — + 1. а Ь с г г Поверхность, описываемая этим уравнением, называется однополостным гиперболоидом. Эллипсоид, гиперболоиды и пораболоиды 79 13'.

Если одно из чисел а, Ь и с положительно, а два отрицательны, то уравнение поверхносги имеет вид 2 г г а Ьг с х у г — + — = г. Ь' Понерхность, описываемая этим уравнением, назынается эллиптическим пара болоидом. 15'.

Если знаки чисел а и Ь не совпадают, то уравнение поверхносги имеет вид х г г а У' Ьг Поверхность, описываемая этим уравнением, называется гиперболическим параболоидом. Итак, существует ровно !б типов поверхностей второго порядка: 8 цилиндров, 2 конуса, эллипсоид, 2 гиперболоида и 2 параболоида. В 4. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды 1. Эллипсоид. Чтобы лучше представить себе форму эллипсоида, заданного уравнением 2 г г х у г+ г+ г а Ь с допустим сначала, что Ь = а. Выясним, что представляет собой сечение такого эллипсоида плоскостью = о. Для этого перепишем уравнение нашего зллипсоида так: х+у = 1 — —, а.

Полагая в этом ураннении = го, обнаружим, что при — с < го < с сечением является окружность с центром на оси Ог ( нулевого радиуса при г = хс), а при остальных значениях го — пустое множество. Если вращать наш эллипсоид вокруг оси Ог, то каждая точка указанной окружности будет переходить в точку атой же окружности, а значит сам эллипсоид будет Поверхность, описываемая этим уравнением, называется двуполостным гиперболоидом. Наконец, если числа а, Ь и с отрицательны, то зто уравнение описывает пустое множество, которое уже вошло в нашу классификацию. Пг — + — = г. у а Ь 14'.

Если знаки чисел а и Ь совпадают, то уравнение поверхности имеет вид Гл 4. Линии и поверхности второго порядка 80 2 2 х — + — = 1. г г а с Поэтому такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения. В общем случае эллипсоид получается нз эллипсоида вращения равномерным растяжением вдоль оси, перпендикулярной к осн вращения (в нашем сзучае — растяжением в Ь/а раз вдоль оси Од), что позволяет отчетливо представить себе его форму. 2.

Гиперболоиды. Рассмотрим сначала двуполостный гиперболоид, заданный уравнением 2 2 2 х у — + — ' = — — 1. а Ь с Ясно, что зта поверхность не имеет точек в слое — с < о < с и, следовательно, состоит из двух частей, в одной нз которых гв < — с, а в другой го ) с. Отсюда и название — «двуполостный» гиперболоид. При 6 = а уравнение двуполостного гиперболоида может быть записано так: х+у = —,— 1 а. Поскольку сечения такого гиперболоида плоскостями х = сопв1 представляют собой окружности с центром на оси Ог, то, если вращать его вокруг оси Ог, он будет переходит в себя. Таким образом, этот гиперболоид может быть получен вращением вокруг оси Ог своего сечения у = О, т.

е. вращением гиперболы г г с 2 г а вокруг ее вещественной оси. Поэтому такой гиперболоид называют двуполостным гиперболоидом вращения. В общем случае двуполостный гиперболоид получается из двуполостного гиперболоида вращения равномерным растяжением вдоль оси, перпендикулярной к оси вращения. Совершенно аналогично однополостный гиперболоид г г х у — + — = — -~- 1 2 ог г получается из однополосгнного гиперболоида вращенил равномерным рас- тяжением вдоль оси, перпендикулярной к оси вращения. Последний может быть получен вращением гиперболы х 2 2 — — — =1 г г а с переходит в себя. Ясно также, что весь эллипсоид может быть получен вращением вокруг оси Ог своего сечения плоскостью у = О, т. е, эллипса Э липсоид, гиперболоиды и параболоиды вокруг ее мнимой оси.

По форме однополостный гиперболоид напоминает трубку с раструбами. Он состоит из одной части, поэтому и называется «однополостный». 3 а меч ан ие 1. Рассмотрим сечение однополостного гиперболоида вращения х у г г г г+ г »+1 а а с плоскостью х = а. Это сечение, очевидно, предстввляег собой две пересе- кающиеся прямые: прямую тпм определяемую уравнениями и прямую тг, определяемую уравнениями Рассмотрим одну из них, например прямую ты Ясно, что если мы будем вращать эту прямую вокруг оси Ог, то она «заметет» весь гиперболоид. Иными словами, однополостный гиперболоид вращения молсст быть получен вращением пр мой вокруг оси, скрещивающейся с этной прямой.

Замечание 2. Мысль, высказанная в замечании 1, допускает дальнейшее развитие. Ясно, что однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением вокруг оси Ог не только прямой т,г, но и прямой тг. Это означает, что через каждую точку нашего гиперболоида проходят две прямые, целиком ему принадлежащие. Поскольку любой однополостный гиперболоид можег быть получен из нашего равномерным растяжением, то он также обладают указанным свойством. Итак, через каждую точку одпополостного гиперболоида ггроходят две прямые, целиком ему принадлежащие. 3. Параболоиды. Рассмотрим сначала эллиптический параболоид, заданный уравнением г г а Ясно, что при Ь = а он предсгавляет собой поверхность, получаемую вращением параболы х = а г г вокруг оси Ог, т.е. вокруг оси параболы. Эта поверхность называется параболоидом вращения. В общем случае эллиптический параболоид получается из параболоида вращения равномерным растяжением вдоль оси, перпендикулярной к оси вращения.

Е С.Б К~еыцее 82 Линии и поверхности второго порядка Рассмотрим теперы иперболический параболоид, заданный уравнением х у г г а Ь г Эта поверхность симметрична относительно плоскостей Охг, Оуг и оси Ог. Ее сечения плоскостями х = хо представляют собой параболы г г *о У Ь выпуклые «вверх», а сечения плоскостями у = уо — параболы г г Уо х Ь а х = хо г = 2хоу проходят две прямые; У вЂ” Уо и, целиком ей принад-=2уох )' лежащие. Поскольку любой гиперболический параболоид может быть получен из нашего равномерным растяжением, то он также обладают указанным свойством. Итак, через каоюдую точку гитгерболического параболоида проходя г две пр мме, целиком ему при»гадлехсащие. 3 а м е ч а н и е.

Таким образолц среди поверхностей второго порядка мы нашли две поверхности — однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, каждая из которых покрыта двумя различными семействами прямых. На первый взгляд может показаться, что среди произвольных поверхностей могут быть и другие поверхности, обладающие этим свойством. Оказывается, однако, что это не так.

В качестве самостоятельного упражнения предлагается доказать, ч го если поверхность обладает указанным свойством, то эта поверхность — либо плоскость, либо однополостный гиперболоид, либо гиперболический параболоид. выпуклые «вниз». Ясно, что такая поверхность не имеет никакого сходства с поверхностью вращения. По своей форме она напоминает седло. 11ри а = Ь = 1 уравнение гиперболического параболоида принимает вид хг — у = г. Полагая х = (х+ у)/ъ'2, у = (-к+ у)/лУ2 (т. е. осуществляя в плоскости Оху поворот на -к/4), приведем это уравнение к виду 2ху = г.

Нетрудно заметить, что через каждую точ"у (хо,уо,2хоуо) этой поверхности Глава 1 КОНЕЧНОМЕРНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 8 1. Линейное пространство 1. Аксиомы Вейля. Как известно, одна из первых попыток логически обосновать геометрию, в частности сформулировать систему аксиом геометрии, была предпринята Евклидом в его знаменитых «Началах» (ок. 300 г. до н.

э.). Полностью вопрос об аксиоматизации геометрии был решен великим немецким математиком Давидом Гильбертом (1899 г.). В несколько видоизмененном виде система аксиом Гильберта фигурирует в современных школьных учебниках геометрии, поэтому здесь мы не будем на ней останавливаться подробно. Подчеркнем лишь, что основными объектами в ней являются точки., прямые, плоскости, «лехсать между» (для трех точек одной прямой) и ряд других. В 1918 году немецкий математик Герман Вейль предложил принципиально новую сис"гему аксиом геометрии.

В ней основных объектов два; векторы и точки. Эти обьекты не определяются, а их свойства описываются аксиомами, список которых удобно разделить на четыре группы. 1. Предполагается, что имеются две операции: операция сложения, ставящая в соответствие любой упорядоченной паре векторов х, у вектор х+ у, и операция умножения вектора на число, ставящая в соответствие любому вектору х и любому числу Л вектор Лх.

Характеристики

Список файлов книги