С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Имеем: х',+уз+2!(хосояО 1-уоя!пО)+!' = = е (хо+Р) + 2!с (хо+Р) сояО+! е соя О. Учитывая, что Мо(хо, уо) точка кривой Ь, и сокращая на Г, получаем уравнение вида !(! — е соязв) = АсояО+ ВгйпО, (7) где А и  — некоторые числа, зависяшие от хо, уо„р и е. Замечание 1. Отметим, что в этом уравнении кагффициепт нрп ! и правов часть не могут обращаться в нуль одновременно — иначе равенство (7) было бы справедливо прн всех значениях ! н, следовательно, прямая целиком принадлежала бы кривой Ь, чего не может быть ни для эллипса, ни для гиперболы, ни для параболы.
Замечание 2. Обратим особое внимание на то, что числа А и В в формуле (7) не обращаются в нуль одновременно. В самом деле, если Эллипс, гипербола и парабола 69 А = В = О, то при е > 1 и созО = 1))е правая часть и коэффициент при 1 в формуле (7) обращаются в нуль одновременно, чего, как только ч го отмечалось, быть не может; при е < 1 получаем, что при любом О прямая и кривая имеют единственную общую точку ЛХо, т. е. вся кривая состоит из единственной точки ЛХо, чего также не может быть. Итак, в соответствии с замечанием 1, возможны три случая. 1'.
Коэффициент при 1 в уравнении (7) обращается в нуль, и, следовательно, правая часть этого уравнения отлична от нуля. В этом случае уравнение решений не имеет, поэтому прямая и кривая Е имеют единственную общую точку ЛХо(хо, уо). Для эллипса эта возможность, очевидно, не реализуется.
В случае параболы коэффициент при 1 обращается в нуль при соз в = 1, т. е. тогда, когда прямая параллельна оси параболы. В случае гиперболы коэффициент при 1 обращается в нуль при соз 0 = = ы) = 1-. ), ' в = с) 3)Р = ь) '), чг =, ю, когда прямая параллельна асимптоте гиперболы. 2'. Коэффициент при г и правая часть в уравнении (7) отличны от нуля. В этом случае уравнение (7) имеег решение 1 ~ О, поэтому прямая и кривая Е имеют еще одну общую точку ЛХг. Тем самым, прямая ЛХвЛХг является секущей.
3'. Правая часть уравнения (7) обращается в нуль, и, следовательно, коэффициент при 1 этого уравнения отличен от нуля. В этом случае уравнение (7) не имеет решений 1 ф О, поэтому кривая Ь и прямая не имеют общих точек, отличных от точки ЛХв. Этот случай можно рассматривать как предельный случай случая 2') точки ЛХо и ЛХг гсливаютсягч а прямая МоЛХ) становится касательной. Как мы только что установили, кривая Е и каса гельная не имеют общих точек„отяичных от точки касания Мв. С лед с те не 1. Через ~побую точку эллипса, гиперболы или параболы проходит одна и только одна касательная (поскольку уравнение Асов й р + В э1п 0 = О при любых А и В, не обращающихся в нуль одновременно, имеет единственное решение у, удовлетворяющее условию О < д < х).
Следствие 2. 1' Если прямал имеет единственную общую точку с эллипсом, то эта примоя — касатгльнал; 2' если прлмая имеет единственную общую точку с параболой и нг параллельна вси параболы, то эта прямая — касательная; йл если прям я имееп) единственную общую тпочку с гипсрболой и пс параллельна асимптвтг гиперболЫ то эта прямая — касатгльн я. б. Оптические свойства. Теорема 1. Касательная к эллипсу с )Хгвкуглми Гг и Гг в тв ке М являетсл биссектрисой внешнего угла треугольника Р,ЕзМ. Доказательство. Пусть 1 биссектриса внешнего угла треугольника Е,ГгЛХ при вершине ЛХ, Р— точка, симметричная Ег относительно )) сйп 0 > О, поскольку 0 < й < )г. Линии и поверхности второго порядка 70 прямой й Поскольку точки Гы М и Г лежат на одной прямой, то Г, Г = = Гт М+ ГЛХ = Гг ЛХ+Гз ЛХ = 2а, так как точка ЛХ лежит на эллипсе.
Для любой другой точки Дт прямой 1, в силу НЕраВЕНСтВа трЕуГОЛЬНИКа, ГГ71т + ГЗ7Ч = Гггтт + Ггг" ) ГгГ = 2а, поэтомУ точка Лт не лежит на эллипсе. Итак, прямая 1 и эллипс имеют единственную общую точку, поэтому эта прямая — касательная. Теорема доказана. 1 Следствие 1,оптическое свойство эл- липса). Луч света, выттущстгттый из фокуса эллиптического зеркала, после отражения пройдет через другой фокус.
Т е о р е м а 2. Касатсльяая к гиперболе с фокусами Г1 и Гг в точке ЛХ является биссектрисой угла треугольника Гт ГгМ. Доказательство. Пусть, например, ГгМ ) ГгМ, 1 — биссектриса угла треугольника ГтГтЛХ при вершине ЛХ, à — точка, симметричная Гг относительно прямой й Поскольку точки Гы Г и М лежат на одной прямой, то ГгГ = ГтЛХ вЂ” ГМ = ГгЛХ вЂ” ГгМ = 2а, так как точка М лежит на гиперболе. Для любой другой точки Дт прямой 1, в силу неравенства треугольника, ~Гггг' — ГзЛХ~ = ~Гтгт' — ГХ~ < ГгГ = 2а, поэтому точка г1т не лежит на гиперболе. Итак, прямая 1 и гипербола имеют единственную общую точку. Осталось доказатгн что прямая 1 не параллельна асимптоте гиперболы.
Выразим угол сг между прямыми 1 и Г,Гз через угол 2Д при вершине ЛХ треугольника ГтГзМ. Для этого заметим, что расстоиние д от точки Гт до прямой ГГз может быть вычислено двумя способами: с одной стороны, д = ГгГсозд = 2асозД, с другой стороны, Н = ГтГзсозгт = 2ссоеп. Приравнивая эти два выражения, получаем: сое ст = (а,те) сое Д:Р а,тс (так как 0 < )д < тг,т2), поэтому прямая 1 не параллельна асимптоте гиперболы. Теорема доказана.
Следствие (оптическое свойство гиперболы). Луч света, выпущенный из фокутп гиперболического зеркала, после отразксния пойдет 'так, как если бы он вышел из другого фокуса. Те о рема 3. Касательная к параболе с фокусом Г в тпочкс М является биссектрисой угла между прямой ГМ и прямой, параллельной оси параболы. Доказательство. Пусть ЛХЛХ, — перпендикуляр, проведенный из точки ЛХ к директрисе, 1 — биссектриса угла ГЛХМп Поскольку точка М Кривые второго порядка 71 лежит на параболе, то г'ЛХ = ЛХЛХы а значит, прямая1 является биссектрисой равнобедренного треугольника РЛХМ» и, следовательно, серединным перпендикуляром к отрезку ГМм Поэтому для любой другой точки Дг прямой 1 г'Дг = М»Х.
Но отрезок ЛХ»Х, будучи наклонной, болыпе расстояния от точки 1»' до директрисы, поэтому точка Х не лежит на параболе. Итак, прямая 1 и парабола имеют единственную общую точку. Очевидно также, что прямая 1, будучи середин- М» ным перпендикуляром к отрезку РЛХы нс параллельна оси параболы, поэтому эта прямая— касательная. Теорема доказана.
С л е д с т в и е (оптическое свойство параболыы). Луч света, выпущенный из фокуса параболического верка а, после отражения пойдет параллельно оси. Замечание 1. Наличием оптических свойств объясняется название «фокус». Например, н фокусе параболического зеркала фокусируется после отражения пучок лучей, параллельных осн. Замечание 2. Пусть Г, и г'г — фиксированные точки. Тогда через любую точку ЛХ плоскости проходит один и только один эллипс с фокусами Ег и гю поскольку сумма Е»ЛХ + гэЛХ имеет вполне определенное значение (при этом отрезок г'» гз считается вырожденным эллипсом).
Аналогично, через точку М проходит одна н только одна гипербола с фокусами Г~ и г ю Из установленных нами свойств следует, что эллипс и гипербола пересекаются в точке ЛХ под прямым углом. На этом свойстве основаны эллиптические координаты. Координатные линии в них представляют собой софокусные эллипсы и гиперболы. 8 2. Кривые второго порядка 1. Уравнение кривой второго порядка. О п ре деле н и е. Кривой второго порядка называется множество всех точек М(х,у) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению аыхг + 2аггх,хэ + ааэхг -1 26»хг + 2Ьэхэ + с = 0 (1) при аы + а, з + аэг ~ О. г 2 3 Примерами кривых второго порядка могут служить эллипс, гипербола и парабола.
Замечание. Ясно, что при растяжении плоскости в каком-либо направлении, т. е. при преобразовании вида х« — ь рхм хэ -» дхг (р, д у': О), кривая второго порядка переходит в кривую второго порядка. Имея своей целью классифицировать все кривые вгорого порядка, постараемся, перейдя к новой сисгеме координат, максимально упростить уравнение (1). Как мы помним, такой переход осуществляется при помощи Линии и поверхности второго порядка 72 поворота и параллельного переноса.
Начнем с поворота на угол чь Имеем: хг = хг соз Эг — хг яп ~о ) хг = хгзгпф+ хгсов7г )( (здесь старые координаты выражены через новые, поэтому роль со играет —:р). Подставим эти выражения в формулу (Ц и постараемся подобрать р так, чтобы коэффициент прн х, хг обратился в нуль: (агг — аг,) яп2~р+ 2а~г соз2р = О. Если агг = О, то положим зг = 0; если жеана ф О, то положим сФя2со = (аы — агг)7'2аг .
Таким образом, коэффициенг при хгх обратится в нуль, а уравнение (1) окажется приведенным к виду агхг~ + агтг г+ 2Ьгхг + 2Ьгхг + с = 0 (нетрудно заметить, что с = с, однако для наших целей это не важно). В этом УРавнении а~г + аг ф- О,. посколькУ новые и стаРые кооРдинаты связаны между собой линейно. Без ограничения общности будем считать, что а~ ~ 0 (в противном случае оси координат можно переобозначить). Сделаем теперь параллельный перенос вдоль осн Охг, пола~ни хг = = х — Ьг/аг.
В результате уравнение примет вид агх + агхг г+ 2Ьгхг + с' = О. (2) Возможны два случая. 1. аг у.-О. Полагая хг = у — Ьг/аг, приведем уравнение (2) к виду агх +агу +с =О, г г о где аы аг у'. -О. Таким образом, этот случай распадаегся на два; 1г при с ~ 0 уравнение (2) принимает вид — — + — = 1; о х у а Ь г 1г при со = 0 уравнение (2) принимает вид — + " = О.
а Ь П. аг = О, и, следовательно, уравнение (2) имеет вид агх + 2Ьгхг + с' = О. Этот случай также распадается на два: Пг прн Ьг ф О, полагая хг = у — с'/(2Ьг), приведем уравнение (2) к виду х =ау,гдеафО; Пг при Ьг = 0 уравнение (2) принимает вид хг = а. Итак, уравнение (1) распадается на четыре случая. 2. Классификации. Теперь нетрудно классифицировать все кривые второго порядка. Имеем; 2 2 х у 1~ — '+ — -=1; а Ь Г при а > О, Ь ) 0 это уравнение описывает эллипс; Поверхности второго порядка 73 2' при а ) О, Ь < 0 или при а < О, Ь > 0 это уравнение описывает гиперболу; 3" при а < О, 6 < 0 это уравнение описывает пустое множество. х у 1з — + — = 0: а Ь 4' при а ) О, Ь ) 0 или при а < О, Ь < 0 это уравнение описываетточку х= у = О; 5' при а>0, Ь<0 или при а<0, Ь) 0 это уравнение описывает две прямые у = х,,~ — 6/ах, пересекающиеся в точке х = у = 0; 11з хе =ау,гдеафО: 6' это уравнение описывает параболу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
