С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 13
Текст из файла (страница 13)
а Поскольку а ф с, то полученное равенство можно переписать так; г г х у а а — с нлн, с учетом условия а>с: г 2 а (2) Функция у(х) монотонно убывает от у = Ь при х = О до у = О при х = а > Ь. С учетом установленных нами симметрий, это позволяет изобразить эллипс на рисунке. 4'. Уравнение (2) может быть записано в параметрическом виде х = а соэ ег 1 у = 6з1г1 р ( ' где О < ~р < 2я.
где Ьз = а — сз < а . При возведении в квадрат могли появиться лишние корни, соответствующие случаю а 4- сх/а < О. Но этого не происходит: как видно из уравнения (2), ~х~ < а, поэтому ~сх/а~ < с < < а. Таким образом, уравнение (2) эквивалентно исходному. Оно называется каноничесиим уравнением эллипса. Уравнение (2) позволяет обнаружить следующие свойства эллипса.
1'. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (оси Ох и Оу), а значит, и центр симметрии (начало координат О). Оси симметрии эллипса называются его полуосллги; та из них, на которой лежат фокусы, называется большой полуосью, а друзя — малой; числа а и Ь иногда также называют полуое.
ми. 2'. Поскольку х~)а = 1 — у~ ~Ьа < 1 и у~/Ь~ = 1 — х~/а < 1, то эллипс целиком содержится в прямоугольнике ((х~ < а, ~у~ < Ь), стороны которого параллельны его осям. 3'. При х > О, у > О уравнение (2) может быть записано в виде !"л 4. Линии и поверхности впюрого порядка 5'. Как из уравнения (2), так и из параметрических уравнений легко усматривается„что эллипс может быть получен из окружности (радиуса 6) равномерным растяжением (в а/Ь раз) вдоль прямой (оси Ох, т.
е. преобразованием х -г (6/а)х). ЛХГг — ЛХГз = Л=2а. Из неравенства треугольника следует, что ~МГг — ЛХГз < ГгГз, т.е. а < с. При а = с гипербвга вырождается в два луча прямой ГгГа, иоэтому будем считть, что а < с. В координатах уравнение гиперболы принимает вид Е? +ее+у' ф.,)'-;-р'=~2 Умножим обе части этого равенства на сумму фигурирующих в нем радикалов, а затем разделим на Х2а. В результате получим: Теперь можно выразить каждый из радикалов: (хХ с) +уз = а х а Возведем это выражение в квадрат (при этом лишних корней, очевидно, не появится) и преобразуем его к виду 2 2 2 2 2 2 — — — -х +у =а — с. г а Поскольку а ф с, то полученное равенство можно переписать так: х 2 — + 2 о у — — — -=1 2 г а — с Это и есть искомое уравнение гиперболы.
Сравнивая полученный результат с уравнением (1), мы приходим к весьма неожиданному выводу: гипербола имеет тпочно такое же уравнение, как и эл ипс. 'Различие 2. Гипербола. Возникает естественный вопрос: что получится, если в определении эллипса сумму расстояний заменить их разностью? Получит ся гипербола. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Определение. Гиперболой называется множество всех таких точек плоскости, для которых модуль ровности расстояний до двух Хгиксированных точек есть постоянная положительн я величина. Фиксированные точки называются фокусами гиперболы. Пусть 2с расстояние между фокусами, 2а модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов.
Введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокусы Г1 и Гг имели координаты Г1( — с,0) и Гз(с,0), и выведем в ней уравнение гиперболы. Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех таких точек М(х, у), для которых Эллипс, гипербола и парабола состоит только в том, что для эллипса а > с, а для гиперболы а < с. С учетом этого условия уравнение гиперболы можно переписать гак: г г х у г Ъг (3) где Ъг = сг — аг Уравнение (3) называется каногшческим уравнением гиперболы.
Оно позволяет обнаружить следующие свойства гиперболы. 1'. Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (оси Ох и Оу), а значит, и центр симметрии (начало координат 0). Оси симметрии гиперболы называются ее полуосями; та из них, на которой лежат фокусы, называется вещественной полуосью, а другая мнимой; числа а и 6 иногда также называют полуосями.
г г 2'. Поскольку —., = 1+ — ",, > 1,тон полосе(~х~<а),содержащей мнимую а ось гиперболы, точек гиперболы нет. у Х г х 3'. Поскольку ~г =, — 1 <,, то в области между двумя пересека- Ь а а Ъ кгщимися прямыми ( у! > — (х!) точек гиперболы также нет. а 4'. При х > О, у > О уравнение (3) может быть записано в виде М а т — х +а аЬ аЬ г г г < — ~О х+ у'хг — аг х+ иГхг — аг х Ь О < — х — — ь'хг — аг— а а а Таким образом, гипербола имеет асимптогу (у = (Ъсса)х). Теперь можно изобразить гиперболу на рисунке. Мы видим, в частности, что гипербола имеет две ветви. 6'.
Уравнение (3) может быть записано в параметрическом виде х = хасЫ у =ЬсЫ где сЫ = (е' + е с) сс2 — гипеРболические косинУс, а зЫ = (ес — е с) /2— гиперболические синус. При этом знак «+г соответствует одной ветви гиперболы, а знак « — к — другой.
5 С.В. Кадояцев Функция у(х) монотонно и неограниченно возрастает от у = О при х = = а.. С учетом установленных нами симметрий, это позволяет изобразить гиперболу на рисунке. Однако прежде чем это сделать, установим еще одно ее свойство. 5'. Ясно, что при х — г сю функция у(х) становится приближенно равной (6/а)х. Уточним это свойство. Имеем: !'л 4.
Линии и поверхности второго порядка 3. Директриса эллипса и гиперболы. Вернемся к уравнению (Ц, которое, как отмечалось, является общим уравнением эллипса и гиперболы. умножая это уравнение на аз — сз, перенося слагаемое (сз/аз)хз в правую часть, — сз — в левую часть и вычитая из обеих частей 2хс, получаем (при с и. -О): 2 2 2 т с 2 '( х + с — 2хс+ у = а + — х — 2хс = — ( х — 2х — +— г а а с с ) откуда г (х — с) +у = — х— с а а с (4) Если предположить, что правая, а значи г и левая, части равенства (4) обращаются в нуль, то получится противоречие: х = с, у = О, с = аз/с, т. е, с = а, что не выполняется ни для эллипса, ни для гиперболы.
Поэтому равенство (4) можно переписать так: (х — е) туг „. ~х — а /с~ а (5) Ьухз уз е(т 1 р~ В этом уравнении числитель представляет собой расстояние от точки ЛХ(х, у) до фокуса Гз, а знаменатель — расстояние от нее до прямой дз, определяемой уравнением х = аз/с. Поскольку уравнение (5) при с ~0 эквивалентно уравнению (1), то мы приходим к следующему выводу: эллипс, отгншный от окружности, (гипербола) являетсл множеством всех таких точен плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки к расстоянию до фиксированной прямой постоянно и меньше (больше) еданицьь Фиксированную точку, как и прежде, будем называть фокусом, фиксированную прямую — директрисой, а указанное отношение — эксцептриситетом.
Замечание 1. Как отмечалось выше, правая часть равенства (4) не может обращаться в нуль. Поэтому директриса эллипса (гиперболы) не имеет с ним (с ией) общих точек. Замечание 2. Поскольку эллипс и гипербола симмегричны относительно оси Оу, то каждая из этих кривых имеет две директрисы 41 и дз, соответствующие фокусам Г1 и Ег. Заме чан не 3. Ясно, что каждый эллипс (каждая гипербола) однозначно определяется заданием двух чисел: экпентриситета е и расстояния р между фокусом и директрисой. Введем новую систему координат Оху (для удобства мы сохраняем прежние обозначения для координат) с началом в фокусе Ез. Тогда соответствующая ему директриса будет иметь уравнение х = — р. Точка ЛХ(х, у) принадлежит нашей кривой тогда и только тогда, когда Эллипс, гипербола и парабола 07 или (6) х +у =е (х+р) .
Тем самым, мы получили еще одно уравнение, общее для эллипса и гиперболы. Замечание 4. Поскольку экцентриситет е равен с/а, то Ь а~/~ — еэ для эллипса и Ь = а~е~ — 1 для гиперболы. Поэтому любие два эллипса (две гиперболы) с одинаковыми зксцситриситстами подобны. Тем самым можно сказать, что число е определяет форму кривой, а число р — ее размеры. Для эллипса с одинаковыми полуосями, т.е. для окружности, е = О.
При увеличении числа е эллипс становится все более «вытянутым». Этим и объясняется название «эксцентриситетю 4. Парабола. Сам собой напрашивается вопрос: какая кривая соответствует эксцентриситету, равному 1? Эта кривая называется параболой. Таким образом, мы приходим к следуюп1ему определению. О п р с д е л е н и е . Параболой называется м»южеством всех пюких точек плоскости, для когпормх расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой. Как и прежде, фиксированную точку мы будем называть фокусом, фиксированную прямую — директрисой параболы. Полагая в уравнении (6) е = 1, получаем уравнение параболы: у' = 2рх + = 2р (* + И . 2/ Перенося начало координат в точку х = — р/2 и возвращаясь к старым обозначениям для координат, получаем: у~ = 2рх. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.
Оно позволяет обнаружить следующие свойства параболы. 1'. Парабола имеет одну ось симметрии (ось Ох). Эта ось называется ось параболы. 2'. Поскольку х = уэ/(2р) > О, то парабола целиком содержится в полуплоскости (х > О), граница которой перпендикулярна оси параболы. 3'. При х > О уравнение (2) может быть записано в виде у = «/2рх. Функция у(х) монотонно н неограниченно возрастает от у = О при х = О. С учетом симметрии, это позволяет изобразить параболу на рисунке. Замечание. Ясно, что уравнение (6) является общим для всех трех кривых — эллипса, гиперболы и параболы. Иногда его записывают в полярных координатах. Гл 4. Линии и поверхности впюрога порядка Полагая в уравнении (6) х = р соя ое, у = ря1п р и извлекая корень из обеих частей, получаем: р = Х.е(реомюр + р), откуда р(1 + е соя«») = хор, ер 1 — е соя»е — ер Поскольку р 3 О, то первое из уравнений этой пары является уравнением эллипса, параболы и одной из ветвей гиперболы («правой»), а второе— уравнением другой ветви гиперболы («левой»).
5. Касательная. Рассмотрим произвольную линию В и возьмем на ней какие-нибудь точки ЛХо и ЛХ,. Прямую МоЛХ« естественно назвать секущей. Представим себе, что точка Мг, двигаясь по линии Хч приближается к ЛХо. Предельное положение секущей МоЛХг при стремлении точки ЛХ» к ЛХо называется касательной к линии Ь в точке Мо. Пусть теперь Х, одна из кривых: эллипс, гипербола или парабола, уравнение которой записано в виде (6). Рассмотрим прямую х= хо+ ХсояО ) у= уо+ Хя1пО ! (О < О ( и), проходящую через произвольную точку ЛХо(хо, уо) кривой Х>, и выясним, есть ли у этой прямой и кривой Ь другие общие точки. Для этого подставим х, у из уравнений прямой в уравнение (6) и установим, будет ли полученное уравнение иметь решения, отличные от ! = О (соответствующего точке Мо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
