С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема. Векторное произоедение векторов а = (ам а», аз) и Ь = = (Ьз» Ьг, Ьз) выражаетпсл формулой; ег ег ез [~Ь]=Р= аг аг аз з Ь Ь ' ]Ь Ь ' Ь Ь ]] =(гзгз: — гзгз гззг). аг оз аз аз' аз аг Ь, Ьг Ьз ( г з ' ] г з ~ ' » г ( Доказател ьство. Как мы помним (теорема 1 п. 5 33 гл.1), вектор р ортогонален к векторам а и Ь, а его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. равна произведению их длин на синус угла между ними. Тем самым, осталось доказать, что если [аЬ] р: о, то тройка (а, Ь, р) — правая, т.
е. что гз(а, Ь, р) ) О. Имеем: ' ,аг аг аз »3(а,Ь,р) =! Ьз Ьг Ьз [»згз — гззз гззг Разлагая этот определитель по последней строке, получаем: гЛ(а, Ь, р) = = з1»г~з + глз~з х»л(г = [Р[г = [ [аЬ] ]г ) О. ТеоРема доказана. Из доказанной теоремы и свойств определителей слсдует,что: 1' длл любых векторов а и Ь выполняется равенство [аЬ] = — [Ьа]; 2' длл любых векторов а, Ь и с выполняется равенство [(а(Ь+ с)] = = [аЪ', + [ас]; 3' для любых векторов а и Ь и любого числа Л выполняется равенство [(Ла)Ь] = Л[аЬ]. 2. Смешанное произведение.
Определение. Смешанным произведением трех векторов н зывается скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и гпретьего; (аЬс) = (а[Ьс]). Сформулируем ряд свойств смешанного произведения. 1'. Из теоремы п. 1 следует, что Ь Ь~ Ь Ьз Ь Ь (аЬс)=аз ' з] — аг 1 з +аз ' ' = Ьг Ьг Ьз сг сг сз 2'. Из 1' следует, что смешанное произведение трех векторов равно объему построенного на них параллелепипеда« взлтому со знаком «+», если они образуют правую тройку, и « — » — если левую. В частности, смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны. Векторное произведение 53 3'.
Из !' следует также, что если е смешанном произведении помег таь мест ма деа сомпозюителя, гпо его модуль не изменится, а знак изменится на гцютиеоположпый 4'. Из 3' следует, что (аЬс) = — (асЬ) = (саЬ). Такая перестановка объектов, при которой последний из них ставится на первое место, а порядок следования остальных не меняется, называется циклической пересгпагюекой этих объектов.
Можно сказать, тем самым, что смешанное произоедение не меняется при циклической перестаповке сомножителей. 5'. Наконец, из 4' следует, что (а(Ьс)) = (аЬс) = (саЬ) = (с',аЬ)) = = (,'аЬ!с). Таким образом, безразлично, какие именно сомножители е смен аннам про введении -- первый и второй или второй и третий — перемпожаются векторно. 3. Произведение двух смешанных произведений. !!усть а, Ь, с, г1, е и à — произвольные векторы.
Имеем: аз аз аз дз ез )г (аг!) (ае) (аГ) (аЬс) (с!ез) = Ьз Ьз Ьз дз ез Л = (Ьй) (Ъе) (Ъг) сз сз сз дз ез 1з (сй) (се) (сг") В честности, (а)~ (аЬ) (ас) (аЬс) = (аЪ) )Ъ(з (Ьс) (ас) (Ьс) )с(~ Этот определитель называется определителем!'рама еекторое а, Ь и с. Ясно, что определитель )ра а данных еекторое неотрицателен и равен нулю тогда и только тогда, когда зти векторы линейно зависимы. 4.
Скалярное произведение двух векторных произведений. Те о р ем а. Для любых векторов а, Ь, с и с! имеет место равенство (( ЬЦс )) ~((Ъ )) ((ь$ Доказательство. Воспользуемся свойствами определителей: ез ез ез ез с> дг ((аЬ) (сс!)) = аз аз аз ез сз дз Ьг Ьз Ьз ез сз дз а (ас) (ай) = 3 (Ь ) (Ъй) с Ь (Ъй)~+ с1 Ь (Ь ) (ас) (ао) а (ас1)~ а (ас) Ъ (Ъс) (Ъй) с (ас) (аг$)' ~(ас) (ай) ~(ас1) (ас)~ (ас) (аг1) (Ьс) (Ьй) ~(Ъс) (Ьй) ,'(Ьй) (Ьс), (Ьс) (Ъй) Теорема доказана.
3 ам е ч а и и е. Приведенное доказательство весьма схематично, поэтому рекомендуется самостоятельно обдумать каждый его шаг. Преобразование координат 5. Двойное векторное произведение. Определение. Двойным векторным произведением векторов а, Ь и с н зываетел вектаор [а[Ьс)). Те о р е м а.
Длл любых векторов а, Ь и с имеет место равептпво [а[Ьс)) = Ь(ас) — с(аЬ). Доказательство. Докажем, что г-е координаты векторов [а[Ьс)) и (Ь(ас) — с(аЬ)) совпадают при всех г. Воспользуемся свойством 5' п.2. Имеем: ([а[Ьс)])„= (е,[а[Ьс))) = ([е,а)[Ьс)) = ) ( * ) ( * ) (е,)( ) ( ) ) = [(е,Ь) (е,е) Р [ Ь с = (е,(Ь(ас) — с(аЬ)) = (Ь(ас) — с(аЬ)),. Таким образом, ззе координаты векторов [а[Ьс)) и Ь(ас) — с(аЬ) совпадают при всех з, а значит совпадают и сами зти векторы. Теорема доказана. Глава 3 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ й 1.
Прямая на плоскости 1. Уравнение прямой. Пусть на плоскости задана декартова система координат Оху. Найдем уравнение прямой т, проходящей через две данные точки ЛХг(хм ус) н Мз(хз, уз). Точка М(х, у) принадлежит прямой т тогда и только тогда, когда площадь параллелограмма, построенного на векторах М1М н МгМю равна нулю; (х — *,') (У вЂ” У') = О.
(хо — х ) (уо — Ю )~ Это н есть уравнение прямой, проходящей через две данные точки. В частности, уравнение прямой, пересекающей осн координат в точках ЛХ1 (хо,О) н ЛХз(О,уо), имеет внд (х — хо) у — Уо = хуо хоуо + ухо = О или, если произведение хоуо отлично от нуля, х у + =1. хо уо Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках. 2. Параметрические уравнения прямой.
Если вторую строку определителя в уравнении (1) умножить на произнольное число Л ф О, то получится уравнение, эквивалентное исходному. Иными словами, вектор М, Мз можно заменить любым ненулевым вектором р = (а, 611, коллинеарным вектору М1Мз, т. е. параллельным прямой т. Это означает, что уравнение хо) (у уо) — О а (2) х=хг+а11 у=у,+Ы ( представляет собой уравнение пр мой, проходящей через точку ЛХ1 и па- раалельиой вектору р = (а, О1.
Из условия р ~ о следует, что равен- ство (2) выполняется тогда н только тогда, когда существует такое число 1, что М1М = р1, или ОМ = ОМо + рй т. е. !'л 3. 56 Уравнен я прямых и плоскостей Полученные уравнения называются параметрическими ураенепия прямой. Параметр 1 в них меняется от — оо до оо. Если интерпретировать 1 как время, а вектор р = (а, Ь1 — как скорость, то полученные уравнения можно рассматривать как закон прямолинейного и равномерного движения материальной точки.
3. Каноническое уравнение прямой. Перепишем уравнение (2) в виде (3) Ь(х — х1) — а(у — у1) = О. Если произведение аЬ отлично от нуля, то зто уравнение можно записать так: х — х| у — уг (4) а Ь Из условия р = (а, Ь1 ~ о саедует, что числа а и Ь не могут обращаться в нуль одновременно. Поэтому, если, например, а = О, то из уравнения (3) находим: х — хг = О, а у любое число.
Примем такое соглашение: если один из знаменателей о уравнении (4) обращается е нуль, то соответствующий числитель также обращается е нуль. Тогда уравнение (4) станет эквивалентным уравнению (3). Уравнение (4) вместе с принятым соглашением называется каноническим уравнением прямой. 4. Общее уравнение прямой. Перепишем уравнение (3) так; А(х — хг) + В(у — уг) = О, (5) где А = Ь, В = -а, и рассмотрим вектор и = (А, В1. Ясно, что ~п~ = ~~р у': О и п4 р.
Таким образом, уравнение (5) при условии Аз + +В ф О является уравнением прямой, проходящей через точкуМ1 (хы у1) и перпендикулярной к вектору и = (А, В~. Пола|ая в уравнении (5) С = — Ахг — Вуы получаем: (6) Ах+ Ву+ С = О. Итак, уравнение любой прямой может быть записано в виде (6), где Аз + Вз ~ О. Верно и обратное утверждение: уравнение (6) при условии Аз + Вэ ф О является уравнением некоторой прямой. В самом деле, из усповия Аз + Вз у': О следует, что гапй(АВ) = гапб(А — С) = 1, поэтому уравнение (6) имеет по крайней мере одно решение: Ах1 + Ву1 + + С = О. Следовательно, уравнение (6) эквивалентно уравнению (5), т, е. представляет собой уравнение прямой, перпендикулярной к вектору и = = (А,В1.
Уравнение (6) при условии А~ т В р'. -О называется общим уравнением прямой. 5. Нормированное уравнение прямой. Без ограничения общности будем считатзч что число С в уравнении (6) неположительно (в противном случае обе части уравнения можно умножить на — 1). Разделив обе части Плоскость этого уравнения на и А + В и положив — — — — — — — = совд, — — — — -- = г г у'Аг + Вг у'Аг + Вг — С = япд, = а' > О, получим: з/Аг + Вг хсозд -~ увшд = й. Уравнение (7) при условии ог > О называется нормированным уравнением прлмой. В нем п = (совд,япд) единичный вектор, перпендикулярный к прямой т, д — угол, который он образует с положительной полуосью осн Ох, отсчитываемый против часовой стрелки.
Заметим, что уравнение (7) можно записать также в виде (ОМп) = аг, где О начало координат, а М точка данной прямой т. Следовательно, аг — зто координата точки ЛХ по оси с началом О и координатным вскгором и. Прямая т перпендикулярна к этой оси, поэтому все ее точки имеют по ней одну и ту же координату. Поскольку а > О, то: а) Π— зто расстояние от прямой т до начала координат: б) вектор п направлен от начала координат к прямой. Итак, в нормированном уравнении прямой: 1' и = (сов О, вш О) — единичный вектор, перпендикулярный к прямой и направленный от начала координат к этой прямой; 2' Π— угол, который вектор и образует с положительной полуосью оси Ох, отсчитываемый против часовой стрелки; 3' а расстояние от прямой до начала координат.
Замечание. Пусть Мг(хи уз) — вроизвольная точка плоскости. Величина «Хг = хг сов д+ уг япд = (0Мгп) представляет собой координату точки Мг по осн с началом О и координатным вектором и. Поэтому величина аг — д, называемая отклонением точки ЛХг от примой т, равна расстоянию от точки ЛХг до прямой т, взятому со знаком « — », если точки О и ЛХг лежат по одну сторону от прямой т, и «+» — если по разные. Таким образом, нормированным уравнением прямой удобно пользоваться в тех случаях, когда гребуегся найти расстояние от точки до прямой или определить, по какую сторону от прямой находится эта точка, й 2. Плоскость 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
