С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ОЛХ, а р угол между лучом ОЛХ и осью Ох, отсчитываемый в направлении оси Оу. Ясно, что по заданным декартовым координатам (х,у) числа (р, р) определяются однозначно всегда, за исключением единственного случая: х = у = О. В этом случае р = О, а число р может быть произвольным. Таким образом, любая точка, отличная от начала координат О, взаимно однозначно описывается набором чисел (р, ~р); точка О описывается набором чисел (О, р), где ~р — любое число, удовлетворяющее условию О < ~р < < 2х.
Отметим, что линии р = савве в полярной системе координат представляют собой лучи с началом О, а линии р = сопэб — окружности с центром О. Используются и другие криволинейные координаты: биполлрные коорсганатм (в них линии и = сопэ1 представляют собой окружности, проходящие через две данные точки, а линии и = сопят — так называемые окружности Апполония, пересекающие линии и = сопвС под прямым углом), э липтические координаты (на них мы остановимся в гл. 4) и ряд других. Выбор тех или иных криволинейных координат определяется, как правило, симметриями изучаемых с их помощью геометрических объектов.
4. Криволинейные координаты в пространстве. Криволинейные координаты в пространстве задаются тремя уравнениями вида т = х(и,и,ю) у = у(и,и,т) г = с(и,и,ю) Гл 1. Векторы и координаты ЗО Наиболее употребительными среди них являются цилиндрические и сферические координаты. Ц линдричесхие координаты определяются формулами х = рсов,р у = ряпе» где р > О, О < р < 2.г, а число в — любое.
Геометрический смысл цилиндрических координат ясен; число в имеет тот же смысл, что н в декартовых координатах, а р и р — зто полярные координаты проекции данной точки на плоскость Оху. Название «цилиндрнческие координаты» объясняется тем, что поверхности р = соней представляют собой цилиндрические поверхности радиуса р с осью Ов. Сферические координаты определяются формулами ) х = рсов~рсовО у = ряпрсов0 в = рвш0 где р > О, О < р < 2к, — к/2 < 0 < к/2. Название «сферические координаты» объясняется тем, что поверхности р = сопвС представляют собой сферы радиуса р; линии ~р = сопвФ представляют собой меридианы на этих сферах, а линии 0 = соней — параллели (точки 0 = — к/2 и 0 = к/2 соответствуют южному и северному полюсу, а линия 0 = Π— экватору).
В 2. ВектоРы 1. Вектор. Определение. Вектором называетсл направленный отрезок, т.е. отрезок, длл которого один из концов считается первым (началом), а другой — вторым (,концом). Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым (в противном случае ненулевым). Условимся обозначать векторы либо двумя заглавными буквами полужирного шрифта, например АВ (А— начало,  — конец), либо одной строчной буквой полужирного шрифта— а; нулевой вектор будем обозначать символом о.
) Иногда сферическими координатами называют криволинейные координаты, определяемые формулами х =- рсов»»япО ) у = рв|пхв|пО в = рсовО где р > О, О < Э» < 2к, О < О < г. Принципиально эти координаты ни чем не отличаются от рассматриваемых нами — онн получаются из них заменой Π— » л/2 — О.
Векторы Из определения следует, что любой отрезок АВ определяет два вектора: АВ и ВА (если отрезок вырожденный, то эти векторы совпадают). При этом вектор ВА называется противоположным АВ (соответственно АВ -- противоположным ВА). Вектор, противоположный вектору а, обозначают так: — а. Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ обозначается чвк: ~АВ~ или )а~.
Если длина вектора равна единице, то его называют единичным. 2. Равенство векторов. Обычно говорят так: векторы называются равными, если их длины равны и они одинаково направлены. Такое определение, при всей своей наглядности, представляется не вполне удачным им трудно пользоваться. Поэтому поставим своей целью сформулировагь другое определение, С хз более удобное с практической точки зрения. Рассмотрим вектор АВ и произвольную точку О. Пусть ВС вЂ” вектор, симметричный АВ О относительно точки О (т. е. точка О симметрична точке А, в точка С .— точке В). Тогда, оче- А В видно, длины векторов АВ и 1)С равны, они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, но их направления противоположны (см.
рисунок). Следовательно, в обп1епринятом смысле векторы АВ и СВ равны. Тем самым, можно сказать так. Определение. Дэа вектора называютсл равнылоц если один из них центрально симметричен вектору, противоположному другому. 3. Координаты вектора. Определение. 1-ой координатой вектора называется раэность1-х координат его конца а качала. Условимся обозначать через (ты ... ) координату тг точки ЛХ на прямой, координаты гпы тг точки ЛХ на плоскости, или координаты гпы тг, тпз точки ЛХ в пространстве. Таким образом, если, например, А(аы ...
), В(6ы ... ), хы ... -- координаты вектора АВ, то т, = 6, — ач. Тот факт, что вектор а имеет координаты аы ... условимся обозначать так: а = = )аы...). Замечание. Из определения следует, что ~а~=~фа~. Теорема. Вектпоры равны тогда и только тогда, когда их координаты совпадают. Доказательство. Согласно определению, векторы АВ и СВ равны тогда и только тогда, когда векторы АВ и ПС центрально симметричны, т. е. середины отрезков АО и ВС совпадакгг; (а, -~ д,)/2 = (6г + с,)/2, или д, — с, = 6, — а„т.
е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов совпадают. '1еорема доказана. Следствие 1. Равные векторы обладают следуюгцими свойствами: Г любой вектор равен самому себе: а = а; 2' если а = Ь, то Ь = а; Гл 1. Векторы и координаты 3' если а = Ь и Ь=с, то а = с. Следствие 2. Для любой точки М и любого вектора а существует единственнал точка Х такая, что М1х1 = а (построение вектора М1ч' = а обычно называют откладыванием вектора а от точки ЛХ).
В самом деле, вектор М1ч1 равен вектору а тогда и только тогда, когда а, — т, = а„т.с. тогда и только тогда, когда п, = аг+т,. Таким образом, положение точки Ж определяется однозначно. С л е д с т в и е 3. Вектор одпозна "то определлется своими координатами и началом. 4. Сумма векторов. Определение. Пусть АВ и С — произвольные векторы, ВК = = СВ. Суммой АВ + СП называется вектор АЕ. Таким образом, чтобы сложить два вектора, нужно от конца первого вектора отложить второй; вектор, началом которого является начало первого вектора, а концом конец отложенного, и есть искомая сумма. Это правило сложения двух векторов называют правилом треугольника.
Теорема. Пусть х = (хы ...), у = (уы ...). Тогда х + у =(х + у, ...). Доказательство. Пусть А н  — начало н конец вектора х, Е— конец вектора х = х + у. Тогда г; = е, — а, = (е, — Ь,) + (Ь, — а,) = = у, . х; = х;+ уь Теорема доказана. 5. Произведение вектора на число. Определение.
Произведением вектора АВ на число Л называется такой вектор АС, что: 1' то'чки А, В и С лежат иа одной прямой; 2' АС = )Л)АВ; 3' при Л > О, АВ у'= 0 лучи АВ и АС совпадают; при Л < О, АВ ф О лучи АВ и АС не совпадают. Из этого определения, в частности, следует, что если Л = О илн АВ = О, то точки А и С совпадают (см. 2'). Теорема. Пусть х —... (х,, ... ). Тогда Лх: — (Лхы ... ). Доказательство. Пусть А и  — начало и конец вектора х, С-- конец вектора у = Лх, х угол между прямой А В ') и положительной полуосью оси Ох, (О < ~р < к/2), А„В; и С, -- проекции точек А, В и С на ось Охи Имеем; А,С, = АСсоэ~р = )Л!АВсоэ~р = ~Л(А1Вы или )сг — а,) = = ~Л(~Ьг — а,(. Если (Ь, — вч) = О или Л = О, то(с; — а,) = О; если (Ь; — а,) ~0 и Л>0, то лучи АВ и АС, а значит и лучи А,Вг и А,С; совпадают, поэтому знаки чисел (Ь, — а,) и (с, — в,,) совпадают: если же (Ь, — а,) ф 0 и Л < О, то лучи АВ и АС, а значит и лучи А,В, и А,,Сг не совпадают, поэтому знаки чисел (Ь, — а,) и (с„— а,) разные.
Таким образом, во всех случаях (с, — а,) = Л(Ь, — а,), или у; = Лх„что и требовалось доказать. ') Если точки А н В совпадают, то справедливость утверждения теоремы очевидна. Скалярное произведение 6. Отождествление равных векторов. Полученные нами результаты примут существенно более законченный вид, если отождествить все равные друг другу векторы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
