С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Уравнение плоскости. Пусть в пространстве задана декартова система координат Охуг. Найдем уравнение плоскости, проходящей через трн данные гочки ЛХг(хи ум хг), Мг(хг уг, г), и ЛХз(хз, уз; гз), не лежащие на одной прямой. Точка ЛХ(х, у, г) принадлежит этой плоскости тогда и только тогда, когда смешанное произведение векторов МгМ, М»Мг Гя 3. Уравнен л прямых и плоскостей и М, Мз равно нулю: (М!М ' МгМт ' МзМз) = О. Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. В координатах оно выглядит так: (х хз) (у '' уз) (з зз) (хз — хз) (уз — уз) (зз — -з) = О.
(хз хз) (уз уз) (зз зз) В частности, уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках ЛХз(хо.,0,0), ЛХз(О,уо,О)и ЛХз(0,0,зо),имеет вид (х — хо) у — о уо О = хуо о — хоуо о+охаро+ у охо = О, — хо 0 зо или, если произведение хоуозо отлично от нуля, х у — + — + — = 1. хо уо зо Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках. 2. Общее уравнение плоскости. Перепишем уравнение (1) так: (М,М(М,Мз М,М )) = О. Если в этом уравнении умножить вектор (МзМз МгМз], который, очевидно, перпендикулярен к плоскости ЛХ, ЛХзЛХз, на произвольное число Л ~ О, то получится уравнение, эквивалентное исходному.
Иными словами, вектор (МзМз МзМз) можно заменить любым ненулевым вектором и = = (А, В, С), коллинеарным вектору (Мз Мз М г Мз), т. с. перпендикулярным к плоскости ЛХзЛХзЛХз. Это означает, что уравнение А(х — хз) + В(у — уз) + С(з — зз) = 0 (2) при условии Аз + Вз + Сз ф 0 представляет собой уравнение плоскости, проходящей через точку ЛХз(хы уы г) и перпендикулярной к вектору и = = (А,В,С). Полагая в уравнении (2) Р = — Ахз — Вуз — С ы получаем: Ах+ Ву+ Сх+ Р = О. (3) Итак, уравнение любой плоскости может быть записано в виде (3), где Аз -ь Вз + Сз ф О. Верно и обратное угверждение: уравнение (3) при условии Аз + Вз + С ~ 0 является уравнением некогорой плоскости.
В самом деле, из условия Аз + Вз + Сз у': 0 следует, что ганя(А В С) = = ганя(А В С вЂ” Р) = 1, поэтому уравнение (3) имеет по крайней мере одно решение: Ахз р Вуз + С з + Р = О. Следовательно, уравнение (3) эквивалентно уравнению (2), т. е. представляет собой уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору п = (А, В, С). Уравнение (3) при условии Аз + Вз + Сз ф 0 называется общим уравнением плоскости.
59 Пр м и в пространстве 3. Нормированное уравнение плоскости. Без ограничения общности будем считать, что число 0 в уравнении (3) неположительно (в противном случае обе части уравнения можно умножить на — 1). Разделив обе ча- У« 'А р В»с' ° А/«А»В»с' = В/нА' В'»с' = . е, с/«»»В'»с' — »/«А»В»Г =«О, с хсояо + усояф+ ссоя "Г = Й. (4) Уравнение (4) при условии д > О называется нормированным уравнением плоскости. В нем и = 1сояо, соя)Х,сову) — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, сб ф, 'у углы, которые он образует с положительными полуосями осей координат. Заметим, что уравнение (4) можно записать также в виде (ОМп) = е1, где Π— начало координат, а М вЂ” точка данной плоскости.
Следова гельно, «1 — это координата точки М по осн с началом О н координатным вектором п. Рассматриваемая плоскость перпендикулярна к этой оси, поэтому все ее точки имеют по ней одну и ту же координату. Поскольку ае > О, то: а) е1 — это расстояние от данной плоскости до начала координат; б) вектор и направлен от начала координат к плоскости.
Итак, в нормированном уравнении плоскости: Г и = 1сояс«,соя)Х,сояу1 — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости и направленный от начала координат к этой плоскости; 2' о, Д, у -- углы, которые вектор и образует с пююжительнымн полуосями осей координат; 3' е1 расстояние от данной плоскости до начала координат. Замечание.
Пусть ЛХг(хм ум з,) — произвольная точка плоскости. Величина е1г = хг соя о+ уг сояД+ с|соя у = (ОМг и) представляет собой координату точки ЛХг по осн с началом О н координатным вектором п. Поэтому величина «1г — сг, называемая отклонением тпочки ЛХг от плосквст~ равна расстоянию от точки ЛХг до данной плоскости, взятому со знаком « — »ч если точки О и ЛХг лежат по одну сторону от плоскости, и «+» — если по разные. 'й 3.
Прямая в пространстве 1. Уравнение прямой. Пусть в пространстве задана декартова система координат Охуа Найдем уравнение прямой т, проходящей через две данные точки ЛХг(хм ум хг) и ЛХз(хз, уз, сз). Точка М(х, у, з) принадлежит прямой т тогда н только тогда, когда векторное произведение векторов М|М и МгМз равно нулю; )МгМ МгМз) = о. Уравнен л прямых и плоскостей !'л 3. 60 Это и есть уравнение прямой, проходяи1еб через дее данные точки В коор- динатах оно выглядит так: ег ег (х — хг) (у — уг) (хг — х|) (уг — у1) (гг — гг) 2. Параметрические уравнении прямой.
Если вектор МгМг в уравнении (1) умножить на произвольное число Л ф О, то получится уравнение, эквивалентное исходному. Иными словами, вектор М1Мг можно заменить любым ненулевым вектором р = (а, Ь, с), коллинсарным вектору МгМг, т. е. параллельным прямой т; [М1М. р] = о. Полученное уравнение представляет собой уравнение прямой, проходящей через точку г|г1 и параллельной вектору р = 1а, Ь, с). Из условия р р. -О следует, что это равенство выполняется тогда и только тогда, когда существует такое число 1, что МгМ = р1, или ОМ = ОМг + р1, т, е.
г = хг+а! у=у, +Ь! г = гг + И. (2) Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Параметр ! в них меняется от — со до оо. Если интерпретировать ! как время, а вектор р = (а,Ь,с) как скорость, то полученные уравнения можно рассматривать как закон прямолинейного и равномерного движения материальной точки. 3. Канонические уравнения прямой. Если произведение аЬс отлично от нуля, то параметр ! из уравнений (2) можно исключить, переписав их так: х — х1 у — у, г — гг (3) а Ь с 4.
Пересечение двух плоскостей. Рассмотрим две плоскости, заданные уравнениями Агх+ Вгу+ Сг г = Юг и Агх+ Вгу+ Сгг = Вг. Чтобы Из условия р = (а, Ь, с) ~ о следует, что числа а, Ь и с не могут обращаться в нуль одновременно. Поэтому если, например, а = О (и Ь = = О), то из уравнений (2) находим: х — хг = О (и у — уг = О, а г любое число). Примем такое соглашение: если один или деа из знаменателей е уравнениях (3) обращаютхя в нуль, то соответствующие числители также обращаются в нуль. Тогда уравнения (3) станут эквивалентными уравнениям (4).
Уравнения (3) вместе с принятым соглашением называются каноническими уравиенилми прямой. Пр м л в пространстве найти все их общие точки, необходимо решить систему уравнений Агх+ Вгу+ Сгг = — Рг 1 Агх+ Вгу+ Сгх = — Рг ) Поскольку Аг + Вг + Сг:р. О, то возможны три случая. УАг Вг Сгй УАг Вг Сг — Рг1 гапК1А В С ) =гаггК1А В С р ) = 1 Вэтом слу"аеодно г г г) из уравнений является следствием другого, а значит, данные плоскости совпадают. УАг Вг Сг1 /Аг Вг Сг — Рг1 2.
гапК'1Аг В, с) = 1, гапК'1Аг В, с Р) = 2. По теореме Кронекера — Капелли в этом случае решений нет и, следовагельно, данные плоскости параллельны. о /Аг Вг Сей УАг Вг Сг -Ргй 3 .гапК ~ 1 В С ) = гапК 1 1 В С Р ~ = 2. Чтобы найти реше) г г г г) ние, необходимо найти базисный минор, общий для основной и расширенАг Вг ной матрицы. Пусть, например, таким минором является минор Перепишем данную систему гак: Агх+Вгу = -Рг — Сье ~ Агх + Вгу = — Рг — Сгх / Теперь, полагая г равным произвольному числу,1 В ~ 1, найдем х и у Аг ВП г г, по формулам Крамера: Р В А В С В Рг Вг Аг Вг Сг Вг Аг Рг Аг ВП Аг Сг ( — г Аг Рг Аг Вг~ Аг Сг '= А,В,~ Таким образом, пересечением данных плоскостей является прямая х = хг+а1 у=у,+Ы - = с1 параллельная вектору е, ег ег )а,сг,с) = Аг Вг Сг Аг Вг Сг что и понятно — линия пересечения данных плоскостей должна быгь пер- пендикулярной к каждому из перпендикуляров к этим плоскостям.
Глава 4 ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В 1. Эллипс, гипербола и парабола 1. Эллипс. Эллипс, по-видимому, был известен еще в глубокой древности, когда облик геометрии соответствовал досланному переводу ее названия. В те времена оснонными инструментами для вьшш)пения построений на местности были колья и веревки, позволявшие проводить прямые и окружности, а значит, и выполнять все те построения, которые теперь называют построениями с помощью циркуля и линейки. Ясно, как с помощью указанных инструментов построить окружность: нужно закрепить один из концов веревки и в нагянугом состоянии прочертить вторым концом линию.
Напрашивается вопрос: а что получится, если закрепить оба конца ненатянутой веревки, а затем в натянутом состоянии прочертить линию? Получится эллипс. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Определение. Эллипсом называетсл мноо)сесгиво всех таких точек плоскости, длл которых сумма расстояний до двух )Хеиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса. Пусть 2с — расстояние между фокусами, 2а сумма расстояний от точки эллипса до фокусов. Введем декартову систему координат Оху )ак, чтобы фокусы Г1 и Гз имели координаты Г1( — с,0) и Гз(с, О), и выведем в ней уравнение эллипса.
Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех таких точек ЛХ(х, у), для которых МГ) + МГа = 2а. Из неравенства треугольника следует, что ЛХГ) + ЛХГз > Г) Гз, т.е. а > с. При а = с эллипс вырождается в отрезок ГгГз, поэтому будем считать, что а > с. В координатах уравнение эллипса принимает вид Х)".~4'~~'-~~6~* — )'~с =2" Умножим обе части этого равенства на разность фигурирующих в нем радикалов, а затем разделим на 2а. В результате получим: е)*)угг+е-е) — ту е=,'.))*+ )' -) — )) = '." Эллипс, гипербола и парабола Теперь можно выразить каждый из радикалов: (х хе) +уз = ах а Возведем это выражение в квадрат н преобразуем его к виду г г а — с х +у =а — с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
