С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

При этом: 1' для любых векторов х и у выполняется равспство х+ у = у + х: 2' для любых векторов х, у и г выполняется равенство х+ (у+ г) = = (х+у) +г; 3' существует такой вектор о, что для любого вектора х выпал яется равенство х + о = х; 4' для любого вектора х существует такой вектор ( — х), что х + +( — х) =о; 5' длл любого вектора х мсет место равенство 1х = х; 6' длл любых векторов х и у и любого числа Л выполняется равенство Л(х+ у) = Лх + Лу; 7' для любого вектора х и любых чисел Л и д имеет место равенство (Л+ р)х = Лх+ рх; 8' для любого вектора х и любых чисел Л и р мест место равенство Л(рх) = (Лр)х. Линейное пространство П.

Пользуясь приведенными аксиомами, люжно определить понятия линейной комбинации векторов (тривиальной, или нетривиальной), линейной зависимости и линейной независимости так, как это делалось в п. 3 31 гл. 1 ч. 1. Это позволяет сформулировать еще две аксиомы: 1' существует и линейно неэавис мых векторов; 2' любые (и + 1) векторов линейно зависимы. Для планимегрии и = 2, а для стереометрии и = 3. Ш. Предполагается, что имеется операция скалярного улгножения, ставящая в соответствие любой упорядоченной паре векторов х, у число (х, у). При этом: Г для любых вектороо х и у выполняется равенство (х, у) = (у, х); 2' для любых векторов х, у и я выполняется равенство (х + у, я) = = (х,г) + (у,г); 3' для любых векторов х и у и любого числа Л выполняется равенство (Лх, у) = Л(х, у); 4' для любого вектора х имеет место неравенство (х, х) > О, причем (х, х) = О тогда и только тогда, когда х = о.

1Ъ'. Предполагается, что имеется правило, по которому любой упорядоченной паре точек А, В ставится в соответствие вектор АВ. При этом: 1' для любого вектора х и любой точки О существует единстветюя то гка ЛХ такая, что ОМ = х (откладывание вектора от данной точки); 2' дол любых точек А, В и С имеет лгесто равенствоАВ+ВС = АС (правило треугольника). Как мы знаем, если в рамках аксиоматики Гильберта назвать вектором направленный отрезок, а сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определить так, как это было сделано выше, то все аксиомы Всйля окажутся теоремами мы их доказали. Оказывается, что верно и обратное: если, исходя из аксиом Вейля, определить прямые, плоскости и другие основные понятия системы аксиом Гильберта.

то все аксиомы Гильберта станут теоремами — их можно будет доказать. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля эквивалентны. Из рассмотрения аксиом Вейля становится ясным, что основную роль в них играют векторы — точки появляются лишь в последней группе аксиом, причем от точек требуется лишь, чтобы они были определенным образом связаны с векторами. Поэтому наиболее содержательная часть евклидовой геометрии должна описываться векторами. Это наблюдение наводит на мысль о целесообразности создания отдельного раздела математики, посвященного изучению свойств векторов, описываемых аксиомами Вейля (1, П и П! группы аксиом). 'Гаким разделом математики и является линейная алгебра.

2. Линейное пространство. Определение. Мколсесгпво 1 паэывается липейнылг пространством, если длл всех его элементов определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие! группе аксиом Вейлл. Элементы линейного прострапстава называются векторами. !л 1. 86 Конечномерное линейное пространство 3 а м е ч а н и е.

Числа, фигурирующие в этом определении, понимаются, вообще говоря, в весьма широком смысле (на этом вопросе мы остановимся в конце курса). Мы же будем понимать под числами либо вещественные числа (в этом случае говорят о линейном пространстве над полем К вещественных чисел), либо комплексные числа (в этом случае говорят о линейном пространстве над нолем С комплексных чисел). Как правило, о каких именно числах вещественных или комплексных — идет речь, для нас будет несущественно. В тех случаях, когда это будет принципиально, мы будем специально оговаривать, что в данном случае понимается под словом «числозч П р и м е р 1. Очевидным примером линейного пространства над полем К является множество векторов — направленных отрезков на прямой, на плоскости или в пространстве. П р и м е р 2.

Не менее очевидный пример линейного пространства— арифметическое пространство (гк", или Сн). Пример 3. Еще одним очевидным примером линейного пространства является множество всех (т х п)-матриц. П р и м е р 4. Расслютрим множество С(а, Ь) всех непрерывных на отрезке (а, Ь) функций. Если сумму функций и умножение функции на число понимать в общепринятом смысле, то это множество также окажется примером линейного пространства, поскольку при фиксированном значении аргумента складываются и умножаются на число обычные числа, причем в резулгппте тких операций получаются функции, непрерывные на отрезке (а, Ь]. Можно привести очень большое количество самых разнообразных примеров линейного пространства. Но и приведенных примеров достаточно, чтобы понять, что класс линейных пространств весьма широк.

3. Свойства линейного пространства. Теорема 1. В линейном пространстве; 1' вектор о, существование которого гарантируетпся аксиомой 3', опреде яется единственным образом; 2' вектор ( — х), существование которого гарантируется аксиомой 4', определяется единственным образом. Доказательство. 1'.

Допустим, что существуют два вектора — о, и оз — такие, что для любого вектора х имеют место равенства: х + оз —— = х+ оз = х. Тогда, в частности, оз + оз = оз = ог -, 'оз = оз, т.е. оз = оз. 2'. Допустим, что для некоторого вектора х существуют два вектора— ( — х) и ( — х) — такие, что имеют место равенства: х+ ( — х), = х+ +( — х)э=о.Тогда( — х) +(х+( — х) )=( — х) +о=( — х) =( — х) + + х) + ( — х)з = о+ ( — х)з = ( — х)з + о = ( — х)з, т.е. ( — х)з = ( — х)з. Теорема доказана. Теорема 2. Для любого х Е Е имеют место равенства: 1' Ох = о; 2' (-1)х = ( — х).

Линейное пространство Доказательство. 1'. Имеем: Ох+ х = (О + 1)х = х. Прибавляя к левой и правой частям этого равенства вектор ( — х), получаем: Ох + + (х + ( — х)) = Ох + о = Ох = х й (--х) = о, откуда Ох = о. 2'. Имеем: х + ( — 1)х = (1 — 1)х = Ох = о. Теорема доказана. Теорема 3. Для любы двух векторов а,Ь й Ь существует единствениый вектор х е Ь, являющийся решением уравнения а + х = Ь и называемый разностью Ь вЂ” а вскторое Ь и а. Доказательство.

Допустим сначала, что существует такой вектор х, что а + х = Ь. Прибавим к обеим частям этого тождества вектор ( — а): ( — а+ а) + х = ( — а) + Ь, откуда х = ( — а) + Ь. Таким образом, если решение уравнения а + х = Ь существует, то оно определяется единственным образом: х = ( — а) + Ь. Осталось доказать, что х = ( — а) + + Ь действительно является решением указанного уравнения. Имеем: а+ + ( — а) + Ь = о + Ь = Ь, что и требовшюсь доказать. Следствие. Ь вЂ” а = Ь+ (-а) = Ь+ ( — 1)а. 4.Линейное надпространство. О и р е д е л е н и е . 1!одмпожество Ь' линейного пространства Ь называется линейным подпрострагютаом, если оно само лазьяетпся линейным пространством, в котором су ма еектаорое и произведение вектора на число определяются так же, как в 1.

Т е о р е м а, !!одмпожестео Ь' линейного пространства является линейным подпрострапстеом тогда и только тогда, когда оно обладает двумя свойствами: 1' для любых двух векторов х и у множества 1' вектор х + у принадлежит 1 '; 2' длл любого вектора х множества Ь' и любого числю Л вектпор Лх принадлежит Ь'. Доказательство. Ясно, что если множество Ь' является линейным подпространствои, то свойствами 1' и 2' оно обладает это следует непосредственно из определения.

Допустим, что некоторое подмножество Ь' линейного пространства 1 обладает свойствами 1' и 2'. Тогда для всех элементов множества 1' определены операции сложения двух элементов и умножения элемента на число, причем они осуществляются по тем же правилам, что и в пространстве Ь. Элемент о пространства Ь принадлежит Ь', так как он равен Ох, где х — произвольный вектор Ь', для любого элемента х множесгва Ь' вектор ( — х) также принадлежит 1', так как он равен ( — 1)х. Наконец, операции сложения и умножения на число удовлетворяют и всем остальным аксиомам линейного пространства, поскольку все векторы множества 1' являются в то же время векторами линейного пространсгва Ь. Следовательно, множество 1 ' линейное надпространство.

Теорема доказана. П р и м е р 1. Рассмотрим множество всех решений однородной системы линейных уравнений Ах = о. Это множество является, очевидно, подмножеством арифметического пространства. С другой стороны, если х = = (лг хщ, лз) и У = (Уы Уг,, У„) — два РешениЯ, то х . У и Лх оРи любом Л вЂ” также решения этой системы. В самом деле, А(х + у) = Ах + + Ау = о + о = о, А(Лх) = ЛАх = Ло = о. Следовательно, множество !л 1. 88 Конечномерное линейное просгпранство всех решений системы Ах = о является линейным подпространством арифметического пространства.

Пример 2. Линейной оболочкой Ь(хыхг, ...,хь) векторов хм хг, ..., хь называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Нетрудно видеть,что: ли~ейн я оболочка явллетсл линейным подпрострапством, поскольку сумма любых двух ее элементов и произведение любого ее элемента на число ей принадлежат: линейн я оболочка является минимальным линейным подпространством, содержащим векторы хм хг, ..., хгп так как любое линейное надпространство, содержащее указанные векторы, содержит также и любую их линейную комбинацию. Отметим, что если какие-нибудь т (т < й) из данных векторов (без ограничения общности — хы..., хьч) представляют собой линейные комбинации осзвльных, то Ь(хм ..., хь) = Ь(х, >,..., хь), поскольку любая линейная комбинация векторов хм ..., хг является в то же время и линейной комбинацией векторов х эы...,хы й 2.

п-мерное линейное пространство 1. Базис и размерность. Наличие двух операций в линейном пространстве позволяет определить понятия линейной комбинации и линейной зависимости векторов (и. 3 8 1 гл. 1 ч. 1), а также ввести понятие базиса так, как это делалось в аналитической геометрии (п. 4 8 4 гл. 1 ч. 2). Оп редел ение 1. Линейное пространство называется п-мерным (и обозначается Ь"), если оно удовлетворяегп П группе системы аксиом Нейли. Число и при этом называют ра,змерностью этого пространства и пишут: с11ш Ь = п. Теорема 1. Любые и линейно независим х векторов в пространшпое Ьч образуют базис.

Характеристики

Список файлов книги