С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Следствие 2. Существует такой базис пространства Ь", в контрам матрица оператора А имеет впд А= (о с) где В и С вЂ” матрицы операторов, лвллюсцихсл сужеяилми оператора А на 'инвариантные подпросп ранства Ьв и Ь соопсвегпственссв, а матрицы Оч и Оэ состоят из нулей. Это утверждение является следствием только что сделанного наблюдения и двух теорем и.
2. Замечание 1. Поскольку Ье = 1сегспсА'", то для любого вектора х пространства Ьв А"'х = В х = о. Следовательно, втсератор ™— нулевой. С другой стороны, оператор В~ — ненулевой. В самом деле, предполашя противное, получаем: йш1сегА'" ' > йшЬе = йпс1сегА™, т, е, с1пп 1ш А ' < йш пп А, ччо противоречит способу выбора числа т. Замечание 2.
Так как Ь = 1гпА С шсА, то пространство Ь не содержит векторов дополнения к образу А. Далее, из Операторы, действующие из Ь е Ь 101 равенства <11шпиАю = <1ппш<А"'+г и формулы (1) следует, что <11ш(1шА™ П 1<егА) = гапиА — гапяА '+< = О, т.е. пространство Ь пе содержит векторое ядра оператора А. Это означает, что: Г 1<ег С = о (поскольку на множестве Ь операторы А и С" совпадают), и, следовательно, ганя С = <11ш Ь, т. е. <1е< С ф О; 2' 1<ег А = 1<ег В.
4. Структура пространства Ьо. Обратимся теперь к оператору В, действующему из Ье в Ье. Поскольку В"< = О, то для любого вектора х пространства Ье В"'х = о. Можно сказать иначе: для любого ненулевого вектора х пространства Ье существует такое натуральное число Й ( т, что Вь х ~ о, а В"х = о.
Тем самым каждый ненулевой вектор х" порождает серию ненулевых векторов хь = Вхь, х~ - = Вх~ = В хь, ...,х = Вх = В~ х" (векторы серии принято нумеровать верхними индексами). При этом Вх = Вьх" = о, т.е. последний из векторов серии принадлежит ядру опе~атора В. Если хь е ппВ, т.е. существует такой вектор х~+г, что Вх +~ = хь, то серия векторов х' может быть им наполнена. Если же х" ф ш< В, то вектор хь пазыеаетсл старшим вектором серии, серия — пепополпимой, а число и — длиной серии, порожденной старшим вектором х". В частности, серия длины 1 состоит из вектора, принадлежащего ядру и не имеющего прообраза. Рассмотрим совокупность серий (непополнимых или пополнимых — не имеет значения) векторов хг. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Векторы х~ линейно независимы тогда и <полька тогда, когда ееьтпоры хг последние векторы серий линейно независимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ес ли часть из векторов х, — векторы х, — л иней- 3 1 но зависимы, то и все векторы х~ линейно зависимы. Допустим, что векгоры х,'. линейно независимы, и некоторая линейная комбинация векторов хг равна о. Действуя на нее оператором В~ г и тем самым преврап1ая ее в некоторую линейную комбинацию векторов хг, мы обнаружим, что все коэффициенты при х.'," в исходной линейной комбинации равны О.
Далее, действуя на нее оператором В г, обнаружим, что и все коэффициенты при х< равны нулю, и т.д. Таким образом мы установим, что исходная линейная комбинация тривиальна и, следовательно, векторы х~ линейно независимы. Теорема доказана. Основываясь на доказанной теореме, условимся называть серии х~ различными, если последние векторы этих серий линейно независимы. Теорема 2. Количество различных серий длины пе меньшей й разно <11ш(1<егВ П па В~ г). Доказательство. Каждый ненулевой вектор х пространства (1<егВ Г1 1шВ~ г), будучи вектором 1<егВ, является п<юледним вектором некоторой серии и представляется в виде х = В~ у, поэтому длина этой серии не меньше <г. С другой стороны, в каждой серии длины не меньшей й есть вектор х~, для которого В~ 'х" = х' — последний вектор серии — является ненулевым вектором пространства (1<ег В Г< пи В~ ').
Гл 2. 1О2 Линейные операторы Таким образом, это пространство представляет собой множество последних векторов указанных серий. Следовательно, количество различных серий длины не меньшей Й, равно максимальному количеству его линейно независимых векторов, т.е. его размерности. Теорема доказана. Следствие 1. Количесгпво различных серий длины не меньшей й равно гани Вь ~ — гани В" (см. формулу (1)). Следствие 2.
Количество различных серий длины к' равно (гапб Вь ~ — ганя В ) — (гапб  — гани Вь~~) = = гапц В~э~ + гапй Вь-~ — 2 гапц В". Те о рема 3. Векторы всех различных непополпилеых серий ез образуют базис пространшпва 1 о. Д о к аз а тел ь с т во. Найдем общее количество йг векторов, составляющих всевозможные рпэличные иепополнимые серии.
Согласно следствию 2 имеем; Дг = ~~~ й (гвпбВь" ~ + гапяВ~ ~ — 2гапцВ"). ь=г Разобьем эту сумму на три суммы и, учитывая, что В = Вытг = О, В = Е, преобразуем первые две из них так: т — 1 кгаггйВ"т' = ~ ~(Й вЂ” 1)гапбВ', 1егапяВ~ = ганя Е+ ~~~ (к+ 1) гани В". Ясно также, что в третьей сумме можно ограничиться суммированием до т — 1. Вновь объединяя три суммы в одну, получаем: ш Х = ганя Е + ~~ ганя В (ь — 1 + 1е + 1 — 2к) = ганя Е = с1пп Ьв.
ь=г Таким образом, общее количество векторов, составляющих всевозможные различные непополнимые серии, равно размерности пространства 1 е, причем, согласно теореме 1, эти векторы линейно независимы. Следовательно, они образуют базис пространства Ьв. В Х 1ч Теорема доказана. Замечание 1.
В базисе ез отчетливо видна структура ии В, кег В, гшВ и кегВ. Действительно, пусть В, — линейная оболочка старших векторов серий длины 1, В— линейная оболочка остальных старших векторов, Ы вЂ” линейная оболочка Операторы, дейстпврюисие иэ Ь в Ь 103 векторов ядра, соответствующая сериям длины не меньшей 2, 1 — линейная оболочка всех остальных векторов базиса еэ. Тогда ппВ = 61 Я Я, 1сег В = Я1 ~Э К, ш1 В = 1 61 К, 1сегВ = Я 62 1. С учетом замечания 2 предыдущего пункта можно утверждать также, что ппА = ш1В, 1сег А = 1сег В, пп А = пп В сй 1, 1сегА = 1сегВ й1 Ь.
Отметим, что в случае т = 1 (длины всех серий равны!) Я = 1 = К = о и Ь" = = пи А 111 1сегА. Заме чан не 2. В построенном базисе действие оператора В задаегся формулами: Вес = о, Веос = ео . Поэтому если расположим базисные 1 — 1 векторы в порядке е,, е, ...,е2, ез, ..., то матрица оператора В в этом 1 2 1 2 базисе примет вид < О д, О О ... О О О О р, О ... О О О О О О...Одл-с О О О О ..
О О где числа д, равны либо 1, либо О. Замечание 3. Теорема 3 не дает конструктивного метода построения базиса из непополнимых серий. Однако такой метод можно указать, опираясь на теорему 2. Он состоит в следующем. Найдем сначала самые длинные серии — серии длины п1,. С этой целью рассмотрим пространство (1сегВ О по В 1) = ппВ ' 1 (поскольку все векторы ппВ ' лежат в 1сег В), в котором лежат последние векторы всех серий длины не меньшей т, а значит ровно т, так как серий длины большей т иет.
Выберем в пп В~ 1 произвольным образом базис и выпишем выбранные базисные векторы. Эти векторы являются последними векторами всех различных серий длсины т,. Далее найдем те векторы пространства 1сегВп' 1, которые оператор Во' переводит в выписанные векторы, т.е. старшие векторы серий длины гп. Применяя к ним различные степени оператора В, выпишем все эти серии.
Рассмотрим теперь пространство (1сегВ П ппВю 2). В нем, наряду с найденными последними векторами серий длины т, содержатся последние векторы серий длины т — 1. Дополнив уже известную нам часть базиса этого пространства до базиса в нем, мы найдем, тем самым, последние векторы всех различных серий длины т — 1. Соответствующие им векторы в 1сегВ~ являются старшими векторами этих серий, а различные степени оператора В, прилсененные к ним, дают сами серии. Продолжая этот процесс, мы построим, в конце концов, все различные непополнимые серии, векторы которых, согласно теореме 3, образуют базис пространства Ьв.
Рассмотрим два примера. П ример 1. Построить (если это возможно) базис из непополнимых серий оператора 3 О 3 — 3 Линейные операторы 104 Решение. Нетрудно проверить, что В2 = О, поэтому искомый базис существует. Пространство ппВ состоит из векторов вида Это пространство двумерно (если из четвертой координаты вычесть третью, то получится вторая, равная первой). Для выбора базиса в нем достаточно, например, взять в первом случае хг = 1, хз = хз = х4 = О, а во втором — хг = хз = хз = О, х4 = 1. В соответствии с этим получаем: е,=, е,=Ве,=, ез=, ез=Вез= В построенном таким образом базисе ег, ег, е, ез матрица данного 1 2 1 2 оператора имеет вид П р и м е р 2.
Построить базис из непополнимык серий оператора Я 0 4 2 0 0 и2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Решение. Имеем: Вз = О 0 2 О Д 4 0 0 000 0 00 000 —, О— 2 2 000 0 00 000 0 00 000 0 00 000 0 00 0 0 и'2 4 0 0 Д 2 0 0 Операторы, действующие нз 1 в 1 " 105 Х1 хз В2 Х4 Это пространство одномерно, и для выбора базиса в нем достаточно взять хв ~ — ъ''Зх4, например, положить х1 = хг = хз = х4 = хз = О, тв —.1. В соответствии с этим получаем: за 14 О 112 1 2 3 е1 —— Ве' = з Е1 —— 2 3 е =Ве Далее: пространство (1сег В П 1пг В) состоит из векторов вида Вх при условии,что хе = — ьуЗх4, т.е.из векторов вида Чтобы дополнить известную нам часть базиса этого пространства— вектор е1 — до базиса пространства (1сегВ П пп В), достаточно выбрать х4 ф О, например, положить х1 = хг = хз = хз = О, х4 = 1 (и, следовательно, тв = — Яха = — АЗ).
Таким образом, 2 е 1 2 ег —— Аег —— Π— 3 Пространство ппВ состоит из векторов вида О 3 2 2 Х4 + — Хб О О О О 11 214 О ;/3 /2 О О г 2 — — Хза - — ХЗ 2 2 ΠΠ— 2хз ΠΠΠΠΠ— 2 О Линейные операторы Гл 2. 106 Наконец, пространство 11гегВ О ппЕ) представляет собой 14ег А, т.е. определяется системой уравнений ъ'6 ъ'2 Х4 Хз 4 4 412 Ч2 — — Х1 -Ь вЂ” ХЗ 2 2 ч'6 ъ' 2 — Х4 + — Хз 4 4 0 з — -Х4+ — Хз 2 2 0 Ах = Отсюда находим х4 = хе = О, хг — — хз.
Таким образоь1, пространство 14егВ состоит из векторов вида Х1 Х2 Х1 0 хе 0 Чтобы дополнить известную нам часть базиса этого пространства— векторы ег и ег до базиса 1гегВ, достаточно выбрать х, р': О,например, положить,хг = 1,хз = ха = О. Таким образом, 1 ез = 5. Собственные значения и собственные векторы. Из всевозможных инвариантных надпространств оператора А особый интерес представляют его одномерные ннвариантные подпросгранства — в них Ах = Лх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
