С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1109884), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Более того, оно останется абелевой грушюй, т.е. свойством 1' оно по-прежнему будет обладать. В самом деле, имеем: (1+ 1) (а+ Ь) = 1(а+ Ь) + 1(а+ Ь) = а+ + Ь + а 4- Ь. С другой стороны, (1 + 1) (а+ Ь) = (1 + 1)а+ (1 + ЦЬ = а+ +а+ Ь+Ь. Итак, а+ Ь+а+Ь = а+а+ Ь+Ь. Прибавляя к обеим частям этого равенства справа ( — Ь), а слева -- ( — а), получим: Ь + а = а + Ь.

Таким образом, при наиболее естественной трактовке аксиомы 4', аксиома 1' оказывается лишней. П р и м е р 2. Комплексные (и х п)-матрицы с отличным от нуля определителем образуют группу относительно операции умножения. Эту группу называют полной линейной группой (яепега! !!пеаг йгопр) и обозначают так: Сь(п). Полная линейная группа имеет разнообразные подгруппы. Рассмотрим некоторые из них.

П ример 3. Комплексные (и х и)-матрицы с определителем, равным 1, образуют, очевидно, подгругшу группы С! (и). Эту группу называют унимоду ярной группой и обозначают так: ЯЬ(п). Пример 4. Ортогональные (п х п)-матрицы также образуют подгруппу группы Сь(п). В самом деле, с помощью ортогонвльных матриц в евклидоном пространстве осуществляется переход от одного ортонормированного базиса к другому.

Поз гому если матрицы А и  — ортогональные, то матрицы АВ и А ~ также ортогонвльные. Эту группу называют ортогональной группой и обозначают так: 0(п). П р и м е р ы 5, 6. По аналогичной причине подгруппами группы СЬ(п) являются множество унитарных матриц и множество матриц, с помощью которых осуществляются преобразования Лоренца в пространстве Е„"л.

Первую группу называют унитарной группой (Цп)), а вторую — псевдоортогонвльиой группой или группой Лоренца (0(р, д)). 10 С Б Кллоыяев Гл 5. 146 Некоторые обобщения П р и м е р ы 7, 8, 9. Мы получим еще три примера подгрупп группы С1.(п), если в каждой из трех последних групп выделим лишь те матрицы, определители которых равны 1. Полученные таким образом группы обозначаются соответственно 80(п), 811(п) и 80(р, 4). 3. Поле. Определение.

Мпожестео К иазыеаетсл полем, если длл любой упорядоченной поры его элементов а и Ь определены две операции, называемые сложением и умножением, ставящие ей в соответствие элементы а + Ь й К и аЬ б Л. При этом: 1' мноэкеспгео К лоллетсл абелееой группой отпосиглельно операции сложен л; 2' множество всех элементов К, отличных от о, лвллетсл абелевой группой относительно операции умножепил; 3' для любых а, Ь,с й К имеет место равенство а(Ь+ с) = аЬ+ас; 4' множество К содержит не менее двух элементов. Рассмотрим несколько свойств поля. Свойство 1.

Длл любых а, Ь й К сущестоует едипстпеенный элемент х й Л его пазыешот разностью Ь вЂ” а, являющийся решением уравнения а + х = х + а = Ь. Свойство 2. Имеем: а(Ь вЂ” с) + ас = а(Ь вЂ” с+ с) = аЬ, откуда а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ас. Свойство 3. Имеем: ао = а(а — а) = аа — аа = о, т. е, ао = оа = о. Свойство 4.

Длл любых а, Ь й К при а ~ о существует единствеяный элемент х й К вЂ” его яозывают отношением Ь/а, являющийся решением уравнения ах = ха = Ь. В самом деле, при Ь ~ о это следует из определения поля и свойств абелевой группы; при Ь = о рассматриваемое уравнение эквивалентно уравнению х = а 'о, т.е. уравнению х = о. Следствие. Роеенство аЬ = о возможно гполько в тех случаях, когда либо а = о, либо Ь = о (поскольку если а ф о, то Ь = о, и наоборот). Обычно это утверждение формулируют так: е поле отсутствуют делители нул.к. Приведем теперь несколько примеров полей.

П р и мер 1. Множество С комплексных чисел. П р и м е р ы 2, 3. Множество К вещественных чисел и множество О рациональных чисел являются подполлми поля С. Подпола поля С комплексных чисел называю г числовыми полями. Отметим, что числовое поле содержит 1, поэтому оно содержит все целые числа, а значит и все рациональные числа. Тем самым, любое числовое поле содержит в себе поле О. П римеры 4, 5. Существуют ли числовые поля, отличные от С, м и 12? Конечно! Приведем два примера. Первый пример — множество всех вещественных чисел вида а+ ЬлГ2, где числа а и Ь вЂ” рациональные, г(ругой пример множество всех комплексных чисел вида а + гЬ, где числа а и Ь вЂ” также рациональные. П р и м е р Ь.

Поскольку любое числовое поле содержит в себе поле 12, то каждое из них содержит бесконечное количество элементов. А существуют ли поля, состоящие из конечного числа элементов? Оказывается, существуют. Приведем пример. 147 Группы и поля Условимся под формулой Ь = а(тпот1р) понимать следующее: Ь вЂ” а = = Ьр, где 1с — целое чишю, Например, в этих обозначениях формула гйп т = =р = 1 эквиввленгна формуле я = — (шот12п). 2 Пусть р — натуральное число большее 1. Рассмотрим множество Е, чисел; ао = О, ат = 1, ..., ар т = р — 1.

Ясно, что для любого целого числа Ь существует единственное число а Е Е„, для которого а = Ь(тпос1 р). Определим на множестве Ер две операции: ат=т6 = (а+ Ь)(птот1р) и аЗЬ = = (аЬ)(тпос1р) так, чтобы а пт Ь Е Еп и а З Ь Е Е„. Тогда окажется, что: множество Е„представляет собой абелеву группу относительно операции т1т (роль о играет ао, а роль ( — а,) — число ар т); аЗ(Ь63с) =аЗЬ9аЗс; аЗЬ=ЬЗа; аЗ(ЬЗс) = (аЗЬ) Зс; для любого а Е Ер а З ат = а (поскольку ат = 1), г.е. роль е играег ат =1. Тем не менее, множество Ер может и не быть полем.

В самом деле, если число р — составное, т.е. р = тп, то о, З ап = о, в то время как в поле делители нуля отсутствуют. Если же число р — простое, то множество Ер — поле (оно называется полем сравнений по модулю р). Действительно, нам осталось доказать, что для любого а Е Е (а ~ о) существует такой элемент а ', что а За = е = 1. Докажем это. Рассмотрим числа а, 2 З а, ..., (р — 1) З о..

Все эти числа отличны ог о, поскольку произведение двух нагурвльных чисел меньших простого числа р не может быть кратно р. Ьолее того, все они попарно различны (из равенства т З а = у З а следовало бы, что ~т — Яа = о, чего, как только что отмечалось, быть не может) и меньше р. Следовательно, среди них обязательно есть число Ь З а = 1. Но тогда Й=а Таким образом, возникает целая серия полей, состоящих из конечного числа элементов: Ео, Ез, Ео, Ет и т. д.

Замечание. Возвращаясь к определению линейного пространства, мы можем сказать теперь, что под числами в нем можно понимать элементы произвольного поля. При этом, правда, формулировки некоторых теорем (подумайте, каких именно) изменятся. то* Заключение В школьном курсе математики алгебра и геометрия выступают как два независимых раздела, имеющих между собой мало общего. В противоположность этому аналитическая геомегрня и линейная алгебра находятся как раз на стыке этих наук, причем в первой из них превалирует геометрия, а во второй — алгебра. Образно говоря, аналитическая геометрия— это алгебраизированная геометрия, а линейная алгебра — это геометризированная алгебра.

Связь между алгеброй и геометрией устанавливается в значительной мере на базе тех алгебраических фактов, которые изложены в первой части книги — «Аппарат аналитической геометрии н линейной алгебры», посвященной действиям с матрицами, теории определителей квадратных матриц и приложениям этой теории к ре«пению систем линейных уравнений.

Важную роль в последующих рассуждениях играет также введенное на первых страницах книги понятие арифметического пространства. Указанный круг вопросов, конечно же, вплотную примыкает как к аналитической геометрии, так и к линейной алгебре, однако не является, строго говоря, предметом ни той, ни другой науки. Вторая часть, «Аналитическая геометрия», в значительной мере известна из курса геометрии средней школы (метод координат, векторы и линейные операции над ними, скалярное произведение). Принципиально новым здесь являегся, главным образом, осознание роли определителей.

Оказывается, что определитель второго порядка с точностью до знака равен площади параллелограмма, построенного на векторах, координаты которых являются его строками, а объем параллелепипеда, построенного на данных трех векторах, равен модулю определителя, строками которого являются координаты этих векторов. Не менее важную роль играет знак определителя — он позволяет судить об ориентации упорядоченных пар или троек векторов, в частности, придать ясный геометрический смысл словам «по часовой стрелке».

Осознание роли определителей в геометрии, в свою очередь, позволяет ввести понятия векторного произведения двух векторов и смешанного произведения трех векторов. Эти понятия, при всем своем внешнем различии (векторное произведение — это вектор, а смешанное произведение — это число), тесно связаны друг с другом. Более того, с определенной точки зрения это почти одно и то же. Поясним, что имеется в виду. Назовем смешанным произведением двух векторов на плоскости определитель, строками которого являются координаты этих векторов в правой системе координат.

Ясно, что так определенное смешанное произведение двух векторов представляст собой площадь построенного на них параллелограмма, взятую со знаком « — '», если они образуют правую пару, и « — »вЂ” если левую. Будем теперь рассматривать те же векторы, но не на плоскости, а в пространстве. Тогда нашему смешанному произведению можно приписать направление — считать, что это вектор, ортогональный данным Заключение 149 и образующий с ними правую тройку. В результате мы приходим к понятию векторного произведения двух векторов.

Далее, определим смешанное произведение трех векторов в пространстве как определитель, строками которого являются координаты этих векторов в правой системе координат. Тогда оно окажется равным объему построенного на этих векторах параллелепипеда, взятому со знаком «ъ«, если они образуют правую тройку, и « — ь — если левую. Это, как мы помним, следует из формулы для об"ьема параллелепипеда (произведение площади основания на высоту). Если теперь рассматривать те же векторы не в трехмерном, а в четырехмерном пространстве, то можно определить их векторное произведение, приписав смешанному произведению направление и т.д. Ясно, что таким способом можно определить векторное произведение и смешанное произведение и векторов соответственно в (и + 1)-мерном и п-мерном пространстве. При этом они будут отличаться друг ог друга только тем, что первому из них приписано определенное направление, а второму -- нет. Наличие векторного и смешанного произведения позволяет, как мы видели, достаточно просто вывести различные виды уравнений прямых и плоскостей.

Характеристики

Список файлов книги