О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2. Уравнение прямой, проходам(ей через две данные точка Уравнение примой етиосительне отрезков. Условие, ирп которэы трм. дшшые течкп лежа~ пй едкой прямой пРЯмаЯ. прозолащза через лэе лзииые точки А(кь Ур) и В(кь ур), опРедезаетсв Уравнением: к — х, 7-7 ! (т) к —.к, 7,-7, ' Угловой каэ6$яцпеит этой прямой вычисляется во 6ермуле л Уэ УФ (3) кз — к, ' бб лпллнтичзскап гномпв'яия на плоскости 214-2$4» т. щ угловой аозбв)пщиент прямой, щмиищацей через дзе диане тетин, равен отношеюню разности эрдэнэт к разности абсцисс зтнх точвзь Пользуясь определителям, можвю ещв иначе нани»ать урвем.
ияв прзиогь прохслапюй через дзе лавзыэ точки, а именно: к у 1 к, у,(-а '(ув) кз у»1 если точм с(к»у») лежит иа одной прямой с точками А(кп ув) и В(кз, у~), м ее координаты удовлетворюот уравнению (У) нли (7'). т. е условие тогвь что трк б точки лежат ла одной прямой, представится тзщ к,— к, у,— у, — — (6) кз — кв ув — у, б л нзи кв у, 1 Рис. 42. кз у» 1 6 ')., (9') кл уа Если, в частности, ленные тачки А н В лежат на осях воорФявзт, то уравнение (7) нрнмет более простой впл — + — д.в 1, л Ь ($6) где л и Ь обозначают отрезки, отсека»мыс праной на осах (рнс.
4з) '). 2!4. Даны 'вершнпы треугольника: А(+4 +6), В( — 4: 0) п С( — 1; — 4). Составить уравнению $) трех его егоров! 2) медианы, проведенной из мршнны С; 3),бнссешрисы угла В; 4) высоты, опущенной иэ мршины А нз сторону ВС. 214». На прямую, проходящую через точки А(+1: — 2) н В(О; — У). опущен перпендикуляр иэ точки в$)( — 3; +4), Вычислять отношение, в котором оаномние этого перпендикуляра делит отрезок АВ.
в) Изме»» определитель в раскрытом виде, мы получнш лв (У» — Ув)+ к» (Ув — Ув)+ к»(гв — Ув) ~' О (Свв вл. $$. и. а Фор ,! ввмлениа, данные в »том мрщрзфе. могут врпмеизться нрп любом ююпзянзтном угле иг Толью в тех задачах, з которых щщмщптся пользе»этьс» мзнчнвой отрвэков, углов и нлощадей, нреюншзгаетса. что» вв$2.
2!8. Написать уравнение првшй. соединяющей.центр твкести треугольника АВС с началом координат. причем координаты вершин такие". (+2; — 1), (+4; +6) и ( — 3; -$-2). 21 6». На медиане АЛ( треугольника А 10;+6). В(+2; +2). С(+4; +6) найти такую точку В, чтобы площадь четырехугольника АВОС рмнямсь 14 кв. ел. 218. Даны вершины треугольника: А( — 1;+2).
В(+3; — 1) и С(0; +4). Через кажлую кз них провести прямую, парад лельную протяволежащей стороне. 218». На высоте ВН треугольника А(+3:+1). В(+6:+4) С(+1; +3) найти точку Р, делящую эту высоту в отношении )в»» — 3. и вычислить площадь четырехугольника АВСР. 217. $$роверить, что четыре точки А( — 2; — 2), В( — 3$ +1). С(+7; +У) и Щ+3: +1) алужат вершинины трапеции, и составить уравнения средкей ляпни и диагоналей втой трапеции, 2$2». Составить уравнение пряной, проходящей через центр тюкестн треугольника А(+3; +Ц. В(+4; +6), С(+2; О) и делящей отрезок между точками М(О. О) и Ж (+8; +4) в отношении Х. Решив мдзчу.
объяснять, почему ответ не вавнаит от числового значения )в. 218. Даны мршнны- двух треугольников АВС и А'В'С', а нменмот А(+3; О), В(0; +3) С( 2; — !) и А'(+бв/т; +2вУт), В'(+6; +4), С'(+4; +э). Доказать, что стороны нх соответственно параллельны и что прямые, соедишнощие схоистминые мршины, пересекаются в одной точке. 218». Составить уравнения сторон треугольника, энея дае его вершины А(+3; +6) и В(+6: +$) и точку пересечения его медиан Аб(+4", 0). 218.
Дан центр подобм А$( — 4; — $) двух подобкых и подобно располоммнных треугольников н дани мршнны меньшего из них: А( — 8; 2), В(+2; 0). С( 1; +1). Составить уравнения сторон второго треугольника, зная, что отношение сходственних сторон ппщ треувтвльннков равно трем. Примечаниев 8 подобимх в вцмвбно расположенных тре. угол»яиках сзодствекные' стороны мрзллзэьввмв а прямые, сведи и»вщзе соотаетстэенпме вершпим, пересекаются в центре подобна.
219»„Составить уравнения патиев прямоугольного треугольника, плщцядь которого равна 20 кв. ед., если известно. что его пшотеиуза,лежит на оси абсцисс, а вершина прямого угла совпадает с точкой С( — 1; +4). 68 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЯТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ЯЮ вЂ” йвэе 226. Проверить, лежат лп на'одной прямой три данные точки: 1) (+1~ +3). (+6! +?) и'(+10, "+12); 2) ( — 3; — 8), (+1; — 2) и (+1О," +12). 221. Какую ординату имеет точка С, лежащая па одной прямой с точками А(-8; — 6) и В( — 3; — 1) и имеющая абсциссу х =+6? 222. Под каким углом к оси х надо направить луч иэ точки А(+6;.+2), чтобы отраженный луч прошел через точку В( 1", +4)? пжп/2.
216. Относительно прямоугольной системы координат даны дзе точки А( — 3; +8) и В(+2; +2). На оси абсцисс найти 'такую точку М. чтобы ломаная линия АМВ имела наименьшую длину. 224. Даны дае точки: А( — 3; +!) и В(+3; — 7), На осн ординат найти такую точку М, чтобы прямые АМ н ВМ были перпендикулярны друг к пру~у.
Система координат прямоугольная. 224е. Составить уравнение прямой, делящей пополам отрезок между точками А( — 3; +2) и В(+6; — 2) н обра аующей с отреаком АВ угол вдвое больший, чем с осью х. 226. Диагонали ромба, равные 10'н 4 едиквцам длины, приняты эа оси координат. Написать.урааненпа сторон этого ромба. 226. Составить уравненвя диагоналей ромба, если дае смежные стороны его приняты аа оси координат. так что весь ромб расположен в третьем координатном угле. Сто рона ромба равка а.
22у. Найти отрезки. Отсекаемые на осях координат слелующимя прямымн: Зх — 2у+! 2 = О; у = йх — 2; у = = — х+1 н бх+2у+20=0. 228. Определить площадь треугольника. заключенного между осанн координат и прямой х+2у — 6=0, Угол ю = к/2. 228». Прямая линия, вращаясь вокруг точкк В(0; +4), пересекает ось збсцнсс в подэвжной точке М. Написать уравнение прююй ВМ в тот момент, когда! 1) площадь треугольника ОВМ равнп б,ка; ел.; 2) отрезок ВМ=У; 3) .угол ВМО=ЗО'; 4) ВМ пернеидикулярна к прямой Зх — бу+8 = 0» ПРЯИАЛ ЛИНИЯ 229.
Через точку М(+4; — 3) провести прямую так. чтобы площаль треугольника, образованного ею и осями, была равна трем квадратным елвняцзм, Угол п = я/2. 230. Через точку Р(+б +2) провести пряную. отсекающую равные отрезки нз'осях коордзнат. 281. Через точку'М(+3;+2) провести прямую так, чтобы ее отрезок. заключенный между осами координат. делился в лапкой точке пополам. 282. Какая зависимость должна сущестаозать между отрезками а и Ф, чтобы прямач -+ — = ! была наклонена у к оси х под углом: 1) к/4; 2) Зк/4; 3) к/3? Координатный угол п=п/2.
' ' 238, Относительно косоугольной системы координат с координатным углом и йя/3 лана пряная Зх+ бу — 15=0. Нанти отрезок этой прямой, ааключенный между осана координат. 284. Через точку М(+6; — 2) провести пряную, образующую с осямя координат разносторонний треугольник.
Координатный угол е= 2з/3. 236. Вычислить площадь треугольника. Образованного осями координат н прямой 4х+Зу †24, если п=бк/6. 236, Дана прямая -+ — =1 и луч, вращающийся около .у начала координат; точку их пересечения обозначим через Р. На луче отклазывзется от начала коордннат отрезок ОМ так.
чтобы отрезки ОМ и ОР находилвсь в постоянном отношении 1, т. е. ††-=Х. Определить геометрическое ОМ место точек М. 286е. Прямая ливня перемещается гак, что сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат. сохраняет постоянную величину; а+Э-" 9.' Найти геометрическое место центров кругов. Ойнсанпых около треугольников. Образованных падзижнэй прщюй п, осями юзордянзт. Координатный угол в=к/3.
3. Норывльвое уравнение прямой. Расстояние точки от прямой Нормальное урзеэеяяе прямой имеет следующая езд: х.се +у ж —.р=б пря наи, в общем сзучзщ я сове+у соей-р:О; бб аналитическая гкОикттия Бл плОскОсти А соз а В 3!оа ~ — 1 У Аз+ Вз С + УАз).Вз ' (13) в в случае косоугольной сястеыы координат по 4юрнулазг. Апов соз а* х Взщв . совр*= х 1 Г~+~ -1 а, Сыяв .Р~+ Расстояние (Ь) точки М (л', у') от длиной прямой равно абсо« дюткой эелачине левой части к»рмального ураакения етой пряной, в юморок текущие координаты заменены координатами точкк М, т.
е. в случае прямоугольной системы: Ь* !х'сота+у'Мпа р~, (14) р обозначает длину перпендикуляра, ооущенного нз качаю каор диилт,на данную прямую (р ~б) (рнс. 43); а обозначает угол между этим неркеидикуляроы и положнтельнын направлением оси лй р — угол между этим же перпендккуларон н осью у, иначе: р и — а. Всякое ура»пенне. первой степени Ах+Ву+с 0 может быть приведено к нормальному виду, для чего достаточно умножить его ка нормнрующнй ином«тель: М 1 прн в=а/2 1.
у Ат+Вз (12) нлн, в общем случае (прп произвольном в): М А э!Пв гм~зг— -'" тхв (12') Нормиру«яций множитель дол- жен иметь знак. обратный знаку с»об»димо члена С данного ураза»а«к Если в а/2, то паржаегрм соотиетстаующей щжмой вычисляются по формулам: в в случае косоугольной системах $ (л' а+у Р— р1 (14) Если же прямая дщщ обипщ уравнением первой степени Ах+ Ву+С О, то его нужно предварительно привести к нормальному виду, й искомое расстояние будетг ((б) й У Азчгдй (16) Если в формулал (Щ-(15') мы отбросим в правых часпщ виак абсолюпюй веаичииы, то прн вычисленвях будем получать число а со знаком плюс илн минус, в эавнсимостн от того, на«одет»а ли точка н качало координат ио рзанме стороны илп по одну в ту же сторону от прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
