О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 6
Текст из файла (страница 6)
За осн координат приняты катеты СА я СВ; потом ось абсцисс была оставлена без изменения, а ось ординат заменена гипотепузой АВ. Дать формулы преобразования координат прн переходе от одной системы к лругой. $36, По отношению к косоугольной системе координат (ю = в~3) дана точка М ( — 1; +4). Найтм коорлннаты втой же точкя. прннвв ва новые ося координат биссектрисы прежних коордкнатиык углов.
$37. Дан ромб. Сторона которого аа 2. Осн коорлнпзт сначала совнадали е двуми стороианн, угол между которыми ю=2в13. и затем с его диагоналямп, Определить координаты вершин ромба относительно второй Системы и дать соответствующие формулы преобразования координат. $38. Известно. что площадь треугольника одна яя вершин которого находится в начале координат. выражается через прямоугольные координаты двух других. вершин А (хо у1) и В (хт, $~) следующим образош В = 1йт(хгут — у; хт). Как выразится площадь того же треугольняка через новые координаты его вершин. еслш .,1) начало координат перенесено з точку О'(а, Ь).
л направление осей осталось преж ним; 2) начало координат и ось абсцисс остались прежними„ но прямоугольная система заменена косоугольной с коордн ма- .углом ю? Я, Координаты ряла точек удовлетворяют уравнению хт+ ут+ 2х — 10у+ 22 О. Какому урапнеешо булут удо- геомвтгнческое значение РРлвненип 39 влетворять коорлннаты тех же точек.
если прежняя система координат заменена новой, а пменно — начало координат перенесено в точку О'( — 1: +6). а направление осей не и?панилось? ,"140.'Координаты некоторых точек удовлетворяют уравнению. ху+Зх — 2у †6. Какому уравнению будут удовлетворять координаты тех же точек после того, как начайо координат будет перенесено в точку О'(+2; — 3)? ($40е. Координаты ряда точек удовлетворяют уравнению хт+ 2ху — ут+ Ях+ Зу — 6 = О. Как выбрать новое начало коордянат.
чтобы новые коорлннаты тех же точек были связйнтг-уравнением, не содержащим членов первой степени? ('$4$. 2$рямоугольные координаты ряда точек удовлетворяют." уравнению уз †хе=. Как будет выражена зависимость между коордпнатамя тех же точек. если за оск координат принять биссектрисы прежнего, координатного угу; „ ~ $42,3Иа макой угол нужно повернуть прямоугольные оси коордйнят, чтобы урзвненпе 2хз — бху+ 2ут+ Зх — 4 = 0 после преобразования координат не содержало члена с произведением координат? ГЛАВА ГО ГЕОЗ(ЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ $. Построение кривой по ев уравнению Одно уравнение, свезьазвщее две переменные величины к и у, пмсет Простой шометрнчесвий смысл, если рассматривать к и у как кеб?ликаты точки нз плоскости. Одному уравнению удовлетво рвет бесчисееава шншествр пар звачепий (к; у), н каждан такая пара дает опрцтвзВнвую точку плоскостн, — таким образом, су ществует бесчисленное мжшееню точек, координаты которых удовлетворшет одному уравнению.
Совокупность етил точек представляет, вообще говоря, некоторую липее, некоторую кривую, — еле ловетелье), одно уравнение между двумя координатами определяет кривую. Возьмем какое-нибудь' ураепеппе, наприиер к' — у — 4=0, и построим сеотвегстеувяцую кривую. 'С зтой целью решим уравнение отнесятельно у у = кт —.4; затем; девая к различные значения и вставляя ил в преобразованное урааеине, будем вмчнслеть сеот ветстеующве значения у. Полученные результаты вычислений звиииам в ваде таблички.' В каждой строке таблицы мы имеем пару 4б АналитичпскАя гвсмвтРия нА плОскОсти координат, улпвлетаеряющик данному,уравнеюсп. т.
е. кпордиватм одеой нз точек кривой. Построим этв аггея (рис. 26) и соезинвм пк плавной кривой, Зта кривая и будет искомой линяей, ююбражаемой данным ураеневиезг. Осли пам неясно течение кривой наяду отмеченными точками, то, давая х добавочные значения, строим промежуточные точки. Например, в нашем случае полезно аычисжпь ораинаты, соответствующие , х*= ж '/„х = ж Ч,. По уравнеюпе кривой мы можем судить о важнейшик ее свойствзл. Например, благодаря тшгу, что в рассматриваемое уравнение абсцисса вводит только в квадрате, — соответствующая кривая симметрична относительно оси оращат, так каи, давая х значения, равные но абсолютной величине, но аротнвовнюжные по знаку.
мы,получим одно и то же значение лля у; иначе говоря, ссай на кривой лежит точка (а, з), то па яей домина лежать. точка ,( — а, Ь), а такие две тоюгп симметричны опюсительно осн у. Если мы инеем уравнение, в правой части которого стоит нуль, в зевав часть прадставазет произведение дауа нлн вескев иих сощюжитслей, то крваав, епредсаюмаа этим уравпеиием. предстаалют ювпвупность деук.наи нескалькнк линий, ураавеиия которык получим, приравнивая пулю кюкдый мнакитель отдемлаь 142 иб гпомвтРичпскОп знАчанив РРАвнкнни 41 Например, уравнение (ха+ уз — 4) (х — 1) О (1) представляет дае лиман: хе+уз 4, 6 и х 1=6, (2) так кав координаты, удовлетворюшцпе однмау нз уравнений (2ь удовлетворяют н уравнсиюе Щ Мало того, только те координаты удовлетворяют уравненюо (1), которые удоваетворюот одному нз У уравнений (2).
Уравнение х*+уз-4 =* О, иан хе+уз 4, предстцвляет сирую ность с центром в начале коордв' пат и радиусом, равным двум еди« мкцам, 'потому. Что квктрат расстовнвгя ее любой 'точки.от начала У Ф (хз уз) равен 4, 4 торов уравнение, х-1 О, маображвзт'совокупность паек то чек, имезвпщ абсциссу, равную еднвпце, т. е. прамукь параююаь' ную осн у и прокодащую с пра вой стороны от иее на расстоянии единицы (рис. 22). Если аванс и Ность между двумя перемепнымп ввличииами выражена формулой, т. е. дано уравнение, ик связывающее.
То построение ыютветствующего гр™абике (см. гд 6, ж 1) сводится к построению кривойопределаемой этны уравнением, при условии, что переменные рассматрпваютса как координаты точки на 143. Исследовать, какие геометрические образы определяются уравнениями". 1) х — 'у юаО; 6) у~а; 2) х+у О: у) (х-ц(х+3)=О; 3) хт — ут=(й 3) худ(п 4),кт+ уз=О; 9), х(х+ 1)(х — '2) = 01 3) ха+уз=аз.„!О) (х+а)(у Ь)=О. 144. Построить линии, соотиетбтпукпцпе урависнища 1) 2х+Зу= 6; 2) у=х — 3; '3) у= ле„' 4) уыы(х — 1)г+2; 3) упыре 143. Построить кривые, данные слсдующями урааиенкямщ 1) ху=4; 2) уе —; 3) (ха+1)у=юбх. 1, 42 АИАлитическАя Геоыетпия нА плОскОсти 144-164 146. Построить графики тригонометрических функций у=э1пх; у=созх; у=16х.
147. Построить кривую. энзэ, Что ползриые коордннатЫ ее точек удовлетворяют уравнению: р =ь-. (Сп и р а ль т Архимела) 146. Построить кривую: р= —. (Гинербоемческай т спираль.) Ий, Построить кривую: р='а(1-совр). (Кардио Еда) 160. Построить кривую: р= —. (Парабола.) 4 1 — соэ р 16!. Проверить, лежат ли точки А(0~ +6).
Аг( — 2; +3) н С(+1; — 1.6) на кривой 2хэ — Зху+у — З=О. 162. Проходит лн кривая: хз+4ут — 2(х+у) — 6=6 через точку (+2; — 1)? 163. Указать. какие из следующих кривый 1) х'(2х+ у) — Зу'(х+ 6) = 4, 2) (хэ+ ут)т — 2 (х — у) = бхз; 3) Зхз+Зут — 7хт — у+4Х+В=О; 4) + У вЂ” 1; ЗУ ах — РУ=О Ь проходят через начало координат. 164. Какой особенностью должно обладать уравнение крп вой, если она проходит через начало координат? ГЕОЭШТЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИИ 43 стоаиий которых от двух дапных точек Р и 1) есть величина посншннав, равмав еэ.
расстояние между даниымн точкамн Р и й' обозначим через 2Ь. Прежде чем составанть уравнение кривой, нужно выбрать определенную систему координат. От вмбора системы координат зависит ббльшаа иаи меяьшав сложность искомого уравнении (см. задачи 139 — 142). В данном случае выберем за ось абсцисс прамоугольной системы координат првмую, соединяющую данные две точки Р н 0 (чтобы коосдннатм данных точек были как можно проще); начало Р координат гвместим п середине меэгду ивин йэавноправпесть точек поэвоэвет рассчитывать иа снмиетрше крквйй, поэтому мы помещаем' точки Р н 1) симметриво Ркс. 30. нтибмэтельпо Осн у). По опюшенню к устаиовлешюй системе (рис.
Зб) коордвнаты постоанныс точек Р н 9 будут ( — щй) и (+Ь;б). Пусть будет М(х,у) — подвпжиав точка, опнсывающав кривую; в таком случае х й у будут перемешнэе,так называемые тек'у щй е к о орд н па ты; оии могут принимать эначвнна, равные кеордниатам любой тачйи кривой. 2.
Составление уравнеини кривой по ее Геометркческнш свойствам Кривая может быть определена как некоторое геометрическое место точек, т. е. может быть лаио геометрическое свойство, присущее всем точкам кривой„н только км одним,— свойство, отличающее точки кривой.от остальных точек паоскостть В таком слу чае возникает вопрос о нахождении уравнении кривой. Задача своднтсв'к тому, чтобы выразить аналитически тот факт. что все точки кривой обладают определенным свойствам. Но нет падобвести рас« снатрнвать все точки кривой мы можем представить себе, что крнпаэ описана подвижной точкой М(х, у), н тогда достаточно будет выразить, что точка М (х, у) неиэмешю обладает указанным свойством.
Составим, например. уравнение кривой (овала Кассини), определяемой как геометрическое место точек, произведение рас- Рнс. 31. Уравнение кривой мы получим, вырмшв формулой, что ерокээеке- ние рэссгоанкй точки М от двух точек Р и (1 разно вэ, т. е. МР.МЦ=аэ, нли, выражен отрезки МР и МЯ через координаты вк концов, получим гт ~~фри.яу=тэ+~~-ю 44 мдлнтичвскдп гиаззитгня нз плоскости 154-1зэ Это и есть уравнение овала Кассини (рис. 31). Остается только унросзеть его: осеободвтьсз'от рзднзззоз, нронзвестзз возможные созрзезензя н врз ( з-)- з-)-аз-).2эх)(хз-)- з-)-Зз — 2зх) аз. (хз+ уз+ Зз)з — 4агхз ог; (хз+ уз)з+ 2пз (хз+ уз) — 46зхз = вз — З» и окончательно (хз„( Гг)з 2аг(хз уз) аз Зг. Если дзе зннзв имеют обззче точки„ то координаты зтвх точек долины удовлетворять уравнениям обеих линий, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
