О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 4
Текст из файла (страница 4)
47. Точка. двигаясь прямолинейно. переместилась из по ложеняя А( — 1; — 3) в положение В(+4; +2). Как велик пройденный путь и под каким углом к осн абсцисс иакло иена траектория точки? 48. Какой угол образует с ось» к праман, проходящая через точки М(6; +2) к 51( — 2; +4)7 лз вз коогдинаты точки пл плоскости 25 49. Прямая линка проходит через точку А(+3:+Ц к образует с осью к угол 46".
На этой прямоЯ найти'точку, ордината которой у=+4. 60. Опредезнть положение точки, которая, выйдя ма А(+3; О). переместилась на 6 единиц длины по прямоЯ, образующей угол 30' с осью к. 61. На оси к найти точку, равиоудзленпув от начала координат н от'гочки А(+9~ — 8). 62. Какому ' услоаияа должны удовлетворять координаты точки М (к.
У). если она одинаково удалена от точек А(+71 — 3) м В( — 2", +ЦУ 5$»' Найти центр правильного шестиугольняка, зная две скежные его вершины: А(+2; О) н В(+5; +3 )г 3). 63. Дан треугольник своимн зершинамк: А(+2; — 3). В(+1; +3) и С( — 6; — 4). Определить координаты точки М, с которой.совшщзет аервшна А, если перегнуть чертеж по прямой ВС.
63». Ввая дам противолежащие вершины ромба А(+8; — 3), С(+10;+1Ц я длину его стороны АВ=10, определять координаты остальных вершян ромба. 64. Найти ~очку, раввоудзлеянуаа от трех данных точек: А(+2; +2), В( — 5„+Ц н С(+3; — 6). 56. Найти центр окружности', проходящей через точку А( — 4; +2) и касающейся ося абсцисс в точке В(+2; О). 56, Найти центр и радиус окружности. проходящей через точку (+2; — 1) и касавшейся обеих осей координат. 67.
Вычислить ил»щель треугольника, вершинами которого служат точки: А(+4; +2). В(+9; +4)'и С(+7; +6), 67»., Проверив,. что точки А( — 2;+3). В(+1; +5) и С(+4„'+Ц могут служить тремя вершинами ромба, вычислить плокшдь этого ромба. 68. Вычислить периметр я площадь треугольника по координатам его вершина ( — 2~ +Ц,(+2: 2) и (+8' +8) 68». Вычислить площадь патяутольниака. вершинами которого служат точкщ А( — 2; 0).
В(О; — ц, С(+2; 0), Р <+3; +2) и Г( —,13:+3). 69. Проверить, лежат ли на одной прямой тря данные точкш Ц (О; +5), (+2; +Ц, ( — 1; +7);, 2) (+3: +Ц, (-2; — 9). (+6;+1Ц; 3) (О;+йд ( — 1;+6). (+3;+4), 26 анллмтнчисклп гво»штэия нл гщоскости йе йй 66. "Гочка. деигаясь пршвлинейно, прошла через точки М(+б; +б) и И(+ И +3). Определить точку, в которой 'онэ пересечет ось х. Указание, Опралелнаь абсциссу искомой точки Р(х; е) из условия, что ета точка должна лакать иа »дней прямой с двумя даннммн точками. 6!.
Пряюя опрелелена двумя своими точкамн: А ( — 1; +4) н В(+2; +1). На втой же юаней, найти точку„абсцисса которой х=+б. 61». Даны точки: А(+1;+3), В(+4;+7), С(+2„+3) и Ю( — 1; +4). Проверить. что четырехугольник АВСО— параллелограмм, и вычислить его высоту. приняв сторону АВ ав основание.
3. Деление отрезка в двииоы отношении Если лаям дзе точки А(х» у) и В(х» уз). то коеэдянатм всякой третьей точик С, лежащей е иимп на елкой прямей, опре- деляются фермулэмж х, +ах» у,+Лу, и~л "" 1+а' (а) где 1 обозначает отношение. а котором точка С делят отрезок АВ, АС т.
е, 1 )ГС. Каждой точке прямой АВ со»те»штвует оиределен- нее значение параметра 1, и, эпрэпю, кмклонт значению» соот- ветствует ежа единстзэнизя-т»чза на прямой АВ. В чаегяестн, если точке с(х, у) лазят отремж АВ пополам, то 3= 1, и мы имеем; х=* — ' н у= х,+х». у,+уе 2 2 У Я т, е, координаты середины отрезка равны иолусумме одноименных координат его кэшвнь 62. Даны две иершпны треугольннкш А(+3; — 7), В(+ б; +2) н С( — й 6). Найти середины его сторон.
62». Вычислить длину медиан треугольника, зная коор динаты его вершщп А(+3; — 2), В(+б;+2) и С( — 1;+4). 63. Центр тяжести прямого.однородного стержня находится а точке М(+6; +1); олин его конец совпадает с точкой А ( — 1; 3). Определять положение другого юнца. 64. Отрезок АВ перемещается так. что концы его все время остаютса иа дьух неподвижных прямых: конец А скользит по прямой, параллельной есм х н прохвлжяяй над мей, на расстоянии грех. единиц; конец В сюльэмт по прямой.
параллельной оси у н проходящей слева от нее ия расстоянии двух единиц. Определить колежские концов отрезка в тот момент, югдз середина отрезка сошнщает с точкой М(+3; +1). 66. Найти вершины треугольника, зная середины его сторон: Р(+Ъ; — 2), О(+1„"+6) н-17( — 4; +2). 66». Точки А(х„у1) и В(хэ; уэ) служат смежньшн зершинамн ромба, днагоналм которого параллельны осам координат..-Как. выразить координаты остальных вершин через коорлннаты ленных точек 7 66. Даяы координаты двух смежньсс вершин параллелограмма А( — 4'/м — 7) и В(+2; +6) и точки пересечения диагоналей М(+3; + 1Щ Вычислить координаты двух остальных его вершин.
67. Даны трм вершины,параллелшрзммш А(+4, "+2). В(+6", +7) н С( — 3; +4). Найти четвертую вершину О. противолежащую вершние В. 66. Отршок межау точкамн А(+3, "+2) и В(+16;+б) разделен на пять равных частей. Определить координаты точек деления. 69. На луче, выходящем из начала координат н проходящем череа точку М(+ 4; +3). найти точку Р, расстояние которой от начале координат равно 9. 66». Прамая линия отсекает на осн Х отрезок ОА =4 н на оси г отрезок ОВ=7.
Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного мз начала координат на данную прямую. 70. Найти точку пересечении медиан треугольника, зная координаты его вершин: (+1; +4), ( — 6; О) н ( — 2; — 1). 71. Как выражаются коорлинзтм центра тяжести треугольмика ') через"юорлпнаты его 'вершину 72. Центр тяжести треугольншш' совпалает с началом координат; одна нз вершин лежит нз ося абсцисс па расстояннн а от начала координат; "вторая вершина лежит на ') Псд центром тяжести треугольника, если нет нных указаний, мы волршумеваем центр тяжести оявородзой треугольной пластинки.
23 лнллитичвсдля гпоэштгип НЛ ПлОСКОСтм 78 Щ оси ердииат на расстоянии Ь от качала. Найти коорлииаты третьей вершины. 78. Даи треугольник А(+4; +1), В(+7; +5), С( — 4; +7). Найти точку кересечения биссектрисы угла А с противолежащей стороной ВС. 74. Деа подобинх треугольника имеют общую вершину А(+3; — 6) и при ией общий угол. Найти две другие вершинм большего треугольника. если известны вершины меиь» шегш В(+6,2; — 3.6) я С(+б;+1), а отпошение сходствеилмх стоРоп Равно з(гзг 76.
Найти точку пересечения общыс касательных двух окружностей, цептрн которнх совпадают с точкамк С, (+ 2;+ 6) и Сэ(+ 7'/зг + 10'(з), а радиусн соответственно разин трем и семи единицам. 76. Определить точку. в которой прямая, соединяющая Х точки А(+4", + 1) и В( — 2; +4). пересекает ось абсцисс. 77. На прямой.
соедиияющей точки ( — 3: + 6) и ( — 1; +2). найти точку. имеющую абсциссу х=~:6. 78. Найти точку пересечения- диагоиалей' АС и ВО че тырехугольиккж А(+3; — 2), В(+3; +б), С(0; +4), О( — 1; — 1). 78. В трех точках А(+7; +17т), В(+6; +7) и С(+2; +4) помещеим груаы соответственно в 60. 100 и 40 а. Опрелелить центр тяжестк втой системы. 80. Доказать, что если. матеркальиая система состоит ка л точек А,(хм уД. Аэ(хз, ут), ..., А„(х„, у„), в которых сосредоточенм массы шп шз. лгз, .... ш„, то центр тяжести втой системы Определится следующими формулами: у 80е.
В трех точках А(х,. у1), В(хэ. уэ) и С(х„у ) сосредоточены одинаковые массы. Найти центр тяжести втой системы. 61. Олнородкая проволока согнута в виде прямого угла со сторонами а и б. Найти цеитр тяжести втой проволоки. 82. Найти коордииатм центра тяжести проволочного тре угОЛЬигяка, зная, что вершпиы его помещепм в точках А(х,. у,). 88 8 КООПДинатм тОчхи НА ПлОСКОсТИ В(х, ~у я С(хз, у,). длины сторон для краткости обо значим так: ВС = а.
АС = Ь. АВ = с. 83. Определить положение центра тяжестя сямметричной стержиевой Фермы АВВС (рис. 16), у которой АВ=6 лг. СО=3 х и РВ=1 х. Ряс. 17, 84. Найти центр тяжести четырехугольной одпород иой доски, зная, что углм доски помещаются в точках: А(+4;+4). В(+6~ +7), С(+10~+10) к О(+12; +4). 86. 8мчислить координата цевтра тяжести фшурм, размеры и форма которой хаим па рис. 17, приняв за оси координат стороны АВ и АС.
4. Косоугольная систвмв коордмивт Вместо того„чтобм брать лее взаимно перпендикулярные оси координат. мы можем вмпь мобые дее пересеканашеся прямые Рпс. 18. к опредезять пожваеияе точек плоскости по отяоюеняю к инм. Угол е между положнтельнмм направлением ося х и поаояякчльпым ваправзепием оси у назмвается коордяпатнмм углом (ряс. 1в). Если коордяиатнмй угол отличен'от прямого угла, система координат пззмзается косоугольной. Чтобы определять коорляиаты точки М (рис. 18), проводим через пес прямые МА и МВ, 'пзрэююльиме осам; тогда ВМ ОА ' АМ ОВ абсцисса х= — — — и ордяпага у * — = РО Рг) Косоугозьяме координаты тоющ ие равнм расстояияям этой точки От Осей яоорляиат 30 лиэлптмчвскэя геоыйтпия нл плОскОсти Пестреем течку Р(+б;.-1) при условии в=э)З.
За пси коэрдиизт возьмем дэе прямые, пересеэжощвссэ щж углом э/3 (рис. 19); па каждой вэ пнх амбарам положительное и»правление и 'елппипу ллпэм. Ог начэза ксэрлвяэт О, вправо по оси х, откладываем птржэж ОА=*Зэ; через те»ку А проводим пвж»УэЬ пэраэлеэьпую осп у, и па пей откладываем виээ от точки А стрезпэ АР, разный единице длпиы; конец этого отрезка'и будет искомой точэой, В косоуголыюй системе' координат прпэодэтсэ вычнсэять величины всэиогп рода (длины, углы, площади) по болев сложэым~ ° » э Рвс. Ж обобщенным формулам„содержащим каордэпатимй угол эь Расстояние между двумя точками А(х„у,) я В(хэ, уВ будет (ряс.
Щ АВ (хэ — х,)э+(Уэ — Уф+ (хэ — х,) (Уэ — УД ° сээ э. (1') Расстоанэе точка м(х, у) от качала эсогдпнэт выражается формулой Оээ .эз+ + «у ° спэ эъ ' (2') Между координатами концов отрез»а АЗ в углом т, образованным этим отрезком с положитеаьпмм направлением пск х, су» ществует спотнощевяж уэ — у, э!и э (3') хэ — х, э!я(э — э) Преобразовав это равенство, можяо по»учить дэв вычпслепяя угла т формулу: э юэ' Ф (уэ уд Фпв ( ") з") "Д+(ъ-у,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
