О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 7
Текст из файла (страница 7)
координаты точек зтересеченнз двух зиной можно еычнслвтв, решая совместно уравнения зтнз линии. 1бб. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек А(+2; +1) н В( — 1; )-4). (Сасшвить уравнение н определять вид кривой,) 165». Даны дзе точки: М( — 1;+3) и И(+5; — 3). Составить уравнение прямой линии. перпендикулярной к отрезку МИ и делящей ега в отношении Х= 2. 168. Определить траекторию тачки М. которая прн своем 'движение все время остается вдвое ближе к точке А(+1; О). чем к тачке В(+4; О). 16У. Требуется разложить силу Р=15 кз на две силы, отношение которых равно 2: 3.
Найти геометрическое место вершин силовых треугольников. удав летно ржощих этому условию. !68. Точка движется так, что расстояния ее от двух пересекающихся прямых остаются все время в постоянном от ношении. Написать уравнение ее траектории. 168*. Составить уравнение геометрического песта центров тянсести треугольников. имеющих две общие вершины А(+1; О) и В(+5; О), если третьи их вершины лежат на биссектрисе координатного угла, 169. Найти геометрическое место концов векторов, изображающих силы, приложенные к точке А и имеющие относительно центра О момент данной величины М.
Рас«таяние центра О до точюз приложения сил ОА= а. Указание. Моментом силы зз опюснтезьно центра О нззыэзетси произведение сизы на рзестозвне прямой, во которой ова направлена, от центра, Рещнть аадачу предварительно в полярных воордвнзтал. 188-183 гваыатгнчискокзндчвннвтэдпнинин 45 160. Два стержня вращаются вокруг двух неподвижных точек, расстояние между которыми равно 2о (рис. 32). Прн этом вращеник стержни остаются есе время перпенднкулярныни друг к другу.
Найти геозютрпческое место точек пере. сечения стержней. Рис. 33. !61. Вокруг точек А(а. О) м В( — и, О) вращаются дза стержня. причем произведение атреакав. отсекаемых инн на асм ординат. считая от начала, равно постоянному числу Ь ° Ьз = пз (рис. 33). Написать уравнение геометрического места точек пересечения' вращающихся стержней. 16!э.
Найти геометрпческоэ место вершин всех треугольников, имекицнх общее основание а=12 н равные суммы квадратов двух других сторон Ьт+сз= !00. Решить эту аадачу и н общем инде. 162. Эллипсом нааывзется геоиетрнческое песта точек, сумма расстояний которых от двух данных точек — фокусов эллипса есть величнма постояннаэ. равная 2а. Составнть уравнение эллнпса.
зная, чта расстояние между его фокусамк равно 2с. !62э. Сосзивить урашюпнв геометрического места точек, паходюппхси от 'точки А(+3; 0),вдвое ближе, чем от прямой х=12. 163. Г и п е р б о л о й называется: геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух даннзпс точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная. равная 2а. Расстояние между фокуамш рзшю 2с. Написать уравнение гмперболы. 163е. Найтя траекторню точки, которая прн своем двияюнии остается все время п полтора раза дальше ат точки Г(0;+8), ч и с примой у з) 48 Андлигйчзскья гяоиятэия НА плоскости $64 188» $88 1$1 гкомвтэичясков знлчвния кэавнвнни 47 $64; Параболой называется линия. облалающаа тем свойством, что каждая ее точка нэхолптся на одянаковом расстояпнн от данной точки Ннжуса) м данной прямой (дяректрнсы). Напнсать уравнение параболы, обозначив через р расстояние от фокуса до директрисы.
164*. Составить уравнение геометрического места центров окружностей, касающихся ося х и проходящнх через точку (+3; +4). 186. Точки.М движется так, что для любого момента $ ее координаты могут быть вычнслены по формулам: 1) х 91, у=г(3; 3) к=а созФ, у=и з1пг; 2) х=5гт — 1, у=10гт+ 4; 4) х=п созФ, у=8 з!пг. Состаэить уравнения соответствующих грэекторнй. 168. Шарнк скатывается по желобку н. приобретя скорость о. срывается с него в той точке, тле касательная нмеет горнэпнтальное направленне. Определять дальнейшую трзекторню шарвка (ркс. 34).
Указание. $$о вазону ннерцнн шарик должен продолжать двнженне яо — у нанравэееию насатеяьэей с постоянной дэ скеростыэ е, т. е. по пршвестзнн г секунд он доаяен быль на вг метров правее точки срыва Но, кроме того, ва него действует снла тяжестн, виорэя заставляет его онуекатьея в вертнкаэьном напраэленнн е постоянным усяореююм д 9,8 ж)ггл~, т. е. зо прошествия г секунд он дошкен нахо даться на ЛГ2/2.н нвже. чем в. первоначальный момент. (Сопротивление воздуха в расчет не принимается.) 1ВУ.
Пренебрегая сопротнвленнем воздуха. определить трзекторню тела, брошенного со скоростью е вверх пол углом а к горизонтальному направлению. 168. Решнть предыдущую задачу. полагая а = н/4; тд= 28 эд/сэк. и определить. пя каком расстоянни упадет тело от нсхолной точкн.
$86». Две точки. лвиэаясь' равномерно н с одинаковой скоростью. описывают две вэанмно перпенднкулярные прямые. 3наа начальное положение подвижных точек, составить уравнение геометрического места серелин отрезков, нх соедтиюШнх. в различные моменты двнженвя. $69. Найти геометрическое место вершин раановелнкнх прямоугольников, дэе стороны которых лежат на сторонах одного м того же прямого угла. Укаэанне, Ддя вывода уравнення прянэмэем эа оси координат стороны данного прямого уела, а потом преобразовываем уравнение, приняв за. поэме оси коордйнат биссектрисы еюрдннат иых угнж.
$69». Прямая перемещается так, что треугольник, образованный ею с осами коорданат, менэетсэ. по сохраняет постоянную площадь. Найти траекторию середины отрезка, отсекаемого осами коорлкнат на этой прямой. $УВ. Если дэе одинаковые н достаточно близкие друг к другу параллельные пластинки погружены в жалкость, то вследствие каппллэрностя яоакость поднимается между ними выше уровня в сосуде (рнс.
35, а); эта высота поднятия И Ряс. 8$. обратно пропорцнонллыи расстоянню х( между пластннкамн, т. е. Л =»е!о. где с — нестоющий мноноггель, зависящий от поверхностного патяженяя н пдотностп жндкостн. Если в ту же жидкость погрузить пластяпкк,' образующие весьма малый лаугранный угол с вертикальным ребром, то жидкость падннмется между ними (рнс. Зб, 8), согласно данной формуле, нв резные высоты.
Какую крпвую образует край жндкостн с внутренней стороны каждой плзстннкну $9$. Лемнпскатой называется частный взд овала Кассннн (см. задачу, разобранную в тексте) прн условии, чгй 48 АИАлитическАя Геоыегзия НА плбскОсти 172 17$ а=Ай. Найти уравнение лемннскаты в декартовых и полярных координатах. Построить лемннскату, приняв и= б. . 172. Дана пряная Ол и на расстоянии а от нее лана точка А (рис. 33). Через эту точку А проведены всевозможные прямые. и на каждой из иих от точки В ее пересечения с основной прямой Ол отложены з обе,стороны отрезки постоянной длины, разные Ь.
Таким образзи, на каждой из прямых пучка А выбраны дзе точки М и М,. Найти уравнение геометрического места этих точек. Полученная тяпни образом кривая называется конхопд'ой. Начертить конхоиду для трех случаев: а ~ ь„а = Ь н и с, ь. Рис.
36. Рис. 37. !73. Лава прямая Ол и внешняя точка А на расстоянии и от нее. Вокруг точки А вращается луч АВ. н на нем в обв стороны ет точки В (пересечения его с прямой Ол) отло жены переменные по величине отрезки ВМ=.ВМг* ОВ. где 0 обозначает основание перпендикуляра„ опущенного нз А на основную прямую. Прн вращении луча АВ точки М н М~ описывают кривую, называемую строфондой.
Со ставить уравнение етой кривой н построить ее. 174. Дана окружность. диаметр которой ОА= 2г(рис, 37). Из конца диаметра 0 проведена хорда ОВ. и из конца ее В опущен пергендикуляр на диаметр' ОА; пз основанкя этого перпендикуляра С опущен перпендикуляр обратно на хорлу ОВ. Какую кривую опишет основание М этого второго перпендикуляра. Когда хорда.ОВ вращается вокруг О? Укааанне. Вывести урзиневне искомой кривой сначала в шызриых коердннатаж 17$, Дана окружность.(радиус ее г) н на ней точка О. Вокруг точки 0 вращается луч, который пересекает окруж- 173 173 геомет ическое значение гвавиеннп ность в переменной точке А.
От точки А в положительном направлении луча Отклааызаем отреаок АМ АВ. где  †точ окружности, диаметрально противоположная точке О, Какую траекторию г оплшет точка М ири вращении луча? д 176 Дана окружность. диаметр которой ОА=2г 1 (рис. 33). В одном конце и диаметра проведена каса л тельная АТ, а череа другой конец О проведен секущий луч, встречающий окружность вторично в точке В н данную касательную в точке С. На этом' луче от его Рис.
33. начала 0 отложен отрезок ОМ, равный отрезку ВС. Пря вращении луча вокруг точки 0 величина отреака ОМ меняется. и точка М описывает кривую, нааываемую цп с с о и до й. Составить уравнение циссонды п построить ее.' 177. Отрезок АВ.неизменной ллины 2п скользит своими концами по сторонам прямого угла'. Из вершины прямого угла 0 на этот отрезок опущеп перпендикуляр ОМ. Найти геометрическое место оснований етых перпенликуляров. Указание. Предварительно вынесен уравнение искомой кривой в позярнмх координатах. 176.' В точке О к плоскости чертежа прикреплен ползуи так, что ои может только вращаться вокруг этой точки, а стержень.З(1., в него просунутый. может свободно сколь- вить в нем и эиесте с иим вращаться, вокруг 0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
