О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 10
Текст из файла (страница 10)
237. Относительно прямоугользюй снсгемы координат даны уравнения нескольких прямых.' !) Зх — 2у+У=О; 4) х+Чзу — 3=0; 2) 6~х — (ту — ! О; 6) — 'Ц, х+ Чюу — З=О, 3) 9эх — 9эу — 2=0; 6) х — 6=0. Которые нз мик прнмых представлены пормвяьнымц урявнениямир ' 236, Привести к нормальному вццу уравнения прямыхг 4х — Зу+! О = 0 бх+ 12у — 39 = 0; 6х+ Зу — 16=0; х — 2у+3 = 0; у — х )/3 =4; х* соя 100+у * з1ц10 +4=0. Система коврдинат — 'прямоугольная. йй6. Найти расстояние прямой 9х — 12у+!0=0 от начала координат. Угол ю=к(2. 240. Проверить, что прямые 2х+ У'Ъу — 16 = 0 и фг!!х — Зу+ЗО=О касаются Одного и того же круга с центром в начале координат, п вычислить радиус итого круга. Угол в=и!2. Указание. Еоз касательные отстоят ог центра кИта нара» стоянии, равном радиусу.
Есле давим» зримые касаются укаааикого крута, то оня должны находнться на одинаковых расстоанющ от начала координат. О2 аналитическая гкомвтвня нл плоскости 241 — 243» 241. Через тачку Р(+5; 0) провести касательную к ок- ружности хт+уэ=9.
Угол а=к/2. решение. Ланнав окружность имеет центр в начале коор- дннат н радиус г 3, "слелозательно, вскопая насэтеэьгжя находится ат начала координат на расстоянии р 3 Булем искать нормаль- ное уравнение этой прямой; параметр р уже известен. н уравнение имеет внд: х сов а+уз!ие — 3 О; второй параметр а определяем иэ того условия, что прямая проходят через точку [+Ц О), и сле- довательно, координаты атой точки удовлетворяют уравнению иря- мой.
Вставляя эти координаты, мы воэучнм: 5 соя а — 3= О, откуда соэ е '/» Определен воследний кси99нцнеат; «--*гг=«сг-* ь Задача имеет даа решеншс э)»е+ 470-3 = О и эгьт «Тэу-б=о. Это обстоятельство нмсвт место потому, что из внешней точки можно провести две аэсательные к окружности. 241е. Найти те касательные к окружности ха+уз=29, которые проходят через точку Р(+7; — 3). 242. Привести к нормальному внлу уравнения прямых: 1) х+бу — 4=0 при условии, что м= к/3, . 2) 2х+5)/Зу — 7 =О»»» а=к/6, 3) 5х+2у+13=0»»» м=йк(3.
243. Дано уравнение прямой Ох+3 у'2у,—.1=0. отне- сенной к косоугольной системе коорлинат с координатным углам м=к)4, Вычислить длину перпендикуляра, опущен- наго на начала коорлинат на прямую, и углы наклона етого перпендикуляра к осям. 244, Найти длину перпеклнкуляра. опущенного нз точки Р(+4; — 1) на прямую 12х — бу — 27=0. Угол м=к/2. 245. Найти расстояние точки: 1) Р1(+4~ — 2) от прямой Зх — 15у — 11 =О; 2) Рэ(+2; +7)»» 12х+ бу — 7=0; 3) Рз( — 3; +5)»» 9х — 12у+ 2=0; 4) Рэ( — 3; +2)»» 4х — Ту+26=0; 5) Рэ(+3; +5)»» Зх — 4у — 15=0„ Система координат — прямоугольная.
24бе. Из всех прямых, параллельных прямой — †-= 1 х 3 4 найти те, которые проходят п» расстоянии пяти единиц от точки (+2; +3), пвямзя линия 246. Найти расстояние точки Р(0; +5) от пряной у'=":)/Зх+7, зная„чта м=бк~б. 247. Определить координатный угол. если известна, что расстояние точки Р( — 1;+2) от пряной х+2у — 6=0 Равно з1з.
243. Даны вершины треугольника А( — '/т. — злы), Л(+4;+3) и С(+2; — 1). Вычислить длину его высот. Система координат — прямоугольная. 249. Дан треугальнкк: А(+1; +2), В(+3; +7), С(+б; — 13), Вычислить длину перпендикуляра, опущенного пз вершины В на иеднаку, проведенную из вершины А. Угол а=я~2. 260. На аси ординат преюугольной системы координат найти точку. одинаково удаленную от начала координат п от прямой Зх — 4у+12=0. 261. На оси абсцисс найти точку, которая отстоит от прямой — +-=1 на расстоянии б=а.
Угол м=к)2. у а Ь Решение. Обозначим иснамую тешу через М(х, О»; приводим уравяенне пряной к нормальному виду, вредварнтельйо оевоЬх+ ау — аЬ боден его от знаненателе1с *=О; вставив в левую жУЭ+И часть етого уравнения коердннатйточкв М, приравниваем ее дээь Ьх — аЬ мому расстоянию а. Тогда мм получки: — =а. Из этого ж УФ+И равенства определяем едннственнув нензвестнув: х=ах — г' ат+ЬЭ.
Ь Зван перед рэдакалом зависит от того, ннежт лн отрезан а и Ь одаиаковме вли разные знаки. 262., Днагокели ромба, длиной в ЗО и 16 единиц, приняты ва асн координат. Вычислить расстояние между параллельными старонзмк этого ромба. 263. Через точку Р( 2; +1) проведена прямая тзк, что ее расстоянве ог точки С(+3; +Ц равна 4. Найти угловой ков4)фнциент втой примой. Р е ш е н н е.
Уравнеине всякой пряной, проходящей чеоез точау Р(-2„+1), имеет вше у — 1 й(х+2) нли Лх — у+23+ +1 =О. Требуется апреаешть параметр л нз условна, что прямжг проходят на расстоянии четырех единиц от точки С(+2+1). Выракевне етого расстояния через невзвестный параметр д мы получим«если приведен Трезвенна прямой н нормальному аиду и в левую часть его встаевм коорлянэтм (+3; +1). Танин образом 64 АНАлигическАя гпомктвия ИА плоскости 268» 26! .
ЗЛ вЂ” 1+йл+! получим: Лв+ 1 =ж4 раааа зто уравнение огноси- тЕЛЫЮ Л, НайДЕМ Л Ф в/ь 263е. На расстоянии 5 единиц от точки С,(+4; +3) провести прямую. отсекающую равные отрезки на осях прямоугольной системы координат. 264. На расстоянии 5 единиц от начала координат про- вести прямую так, чтобы онз прошла через ту точку прямой Зл+бу — 39=0, которая имеет збсцнссу х= — 2. Угол в=я/2. 266в. Из начала координат провести прямые, прохоллщив на расстоянии трех единиц от точки М(+2 )/2; +5 у'2). 256.
Доказать, что прямые Зх — 4у+10=0 и' 6»вЂ” — Зу+16 = 0 параллельны между собой, н найти расстоя нне между нимк. Угол в=к(2. Указание. Искомое расстояние Л легко определить, зная расстояния обеих прямых от нзчааа координат, а именно: »в ='1 р жр, 1, верхний нлн нижний знак берегся в ззянспмостн от того, находится ли начало координат межху пряиымн нлн по окну стореву от обеих прямых. 256. Дана прямаж 12к+бу — 52=0. Найти уравнение прямой, параллельной данной н отстоящей от иее на рас- стоянии б 2. Угол е= ~42, 25у. ()тноснтельно прямоугольной системы координат даны уравнения двух параллеаьных прямых: бк . 6у — 3= 0 и 2х — Зу+У=О. Составить уравнение прямой.
им парал- лельной ' и ' проходящей посередине между инин. 258. Через начало координат и точку М(+1; +3) про ходят две параллельные прямые. Найти нх уравнения, если известно, что расстояние между ними прямыми равно У' 5 п координатный угол в=к/2. 268, Даны дее прямые: Зл+4у — 10=0 и бх — 12у+ -(-26=0. Найти точку, которая находилась бы иа рас стоянии 6=5 как от той, так к от другой прямой. Угол в = к/2. 260.
Найти центр круга, касающегоси двух данных прв пьес Зк — 4у+!О= О н Зх+4у=0, причем раднуа круга г=8. Угол в=к/2. 261. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя прямыми: Зл — 9у+18=0 н бл+Уу — 21=0. ПГЯМАЯ ПИПИЯ 66 1)рпверпть, что ати биссектрисы перпендикулярны друг к другу. Угол в=п(2. Решениев Искомые биссектрисы являются геометрическим местом точек, рзвноудаленных от сторон угла, Танин'образом, если мы возьмем па биссектрисе авбую тому М„то ее расстояния ага н атэ до двух дапзых прямых должны быть' равны между собой, Учвпывзя пояснение к формулам (14)-(!6') (стр..
60 — 61), можно вычислять»(в и в(э со знаком плюс нлн минус в Зависимости от рзспвюжсниа точек и прзмых. Тогда для всех. точек биссектрисы М,М» (рнс. 44) Лв н йэ будут поаучатьса с одинаковымн знаками, Н ДЛЯ ТОЧЕК 6ИССЕКтРНСЫ М»М, ВЕЛИЧННЫ Нв Н Лэ 6УДУт НМЕтЬ разные знаки. Обозначив через Х и у текущие координаты биссектрисы, будем кметы 2Х 9У+ 18 „6Х+ 7)в — 21 Уржимвке биссектрисы М,Мэ; в» в»+в». »»+в»-ва -в'и " гч или. после упрощени(с 8Х-ЗГ-З, О. Уравнение биссектрисы М,М;. вх — а»+ ва вт⻠— ва -1/а . У86 пли окончательно".
4Х+ 16У вЂ” Ю ц ' Угловые коэффициенты прямых: йв»ь4 н Лв=* — в/„т. е. 'они' противоположны по ливку н обратны по величине. что язляегса условием перпендикулярности прямых. 3-1868 66 АнАлитическАЯ геоыатвиЯ нА плоскости 263 219 262. Написать уравненпа биссектрис углов. образованных прямыми: х*7у — 6=0 и бх — бу+1*э О. Угол и к)2. 263. Вычислить координаты центра круга, вписанного в треугольник АВС; треугольник дан сноимн вершинами от моснтельио прямоугольной системы координат: А (*еф + тгз). ,В(0; +4) и С( — 3; — 2). 264. Через точку М(+1; +2) надо провести прямую так, чтобы она прошла иа одинаковом расстоянии от точек А(+3; +3) и В(+б; +2).
У = /2. 266. Даны дзе точки*. А(+2; — 3) н В(+б; — 1). Провести прямую так. Чтобы она прошла на расстоянии 6 единиц от точки А и на расстоянии 4 единиц от точки В. Угол и= к(2. 266в. Вычислить площадь треугольника, образованного биссектрисами внешних углов треугольника, стороны которого дани: Зх+Зу — б О; х — у — 1=01 7х+у+ 1=0. 266. Точка движется так. что расстояние ее от начали координат осгаетса все время вдвое больше расстояния от прямой у=х/$/ 3.
Найти траекторию движущейся точки. Угол и к/2. 267. Составить уравнение прямой. параллельной прямой у=з1ых+1 и проходщцей от точки Р(+6; — 2) на расстоянии 3 4. Угол и и/2. 266. Нужно восстановить границы квадратного участка земли по трем сохранквшнмси 'столбам: одному в центре участка и по одному иа двух противоположных границах. На плане положение .Столбов, определено координатами: среднего М(+1; +6) и двух боковых: А(+6; +9) н В(+3; О). Составить уравнения прямых, иаображающпх искомые границы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
