О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 12
Текст из файла (страница 12)
297. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты а и Ь. чтобы прямые ах+йу+! =О, Ях — Зу+ +5=0 и х — 1=0 прокодвлн через одну и ту же точку? б д 72 *нллнтичяскэя гяоыятэыя вл плоскости йвй-ЗВЗ 296. Треугольник даи уравнениями сторож х+2у+ +3='О; 'Зх — Уу+9=0; бх — Зу — 11=0. Проверить, что его высоты пересекаются в'одной точке.
Угол и=я/2. 299. Написать уравнение пряыой„проходящей через точку пересечения прямых Ух — у+Э=О и Зх+бу — 4=0 к через точку А(+2; 1). Решение. Всакаа правая, проходящая через точку пересечения двух дазвых прямых, нэобрэзится урэввенмем 7л — 7+3+ + В(За+53-4) .О. Нувзю' тольао недобрать зяачевме параметра я тэи, чтобы прямаз прошла через, точку А(+ж — 1), т. е. чтобы координаты этой точна удозаетзорвш уравнению прямой; вставляя мх в уравнение пучка, получим: 18 — 37 О, нли в 6, При этом зиаченнм параметра мы поаучим- искомую прямую иучза Ух-у+ +3+6(Зх+бу — 4) =О, млн 25х+оймй™у ив 21 закО. 300.
Через точку пересечениа прямых 2х+ 5у — 8 О я к — Зу+4=0 провести прямую, которая. кроме того. 1) проходит через начало коордипат1 2) параллельна оси абсцисс; 3) параллелыа оси ординат", 4) проходит через точку (+4; +3). 301. Через точку пересечения прямых: 2х — 5у — 1=0 и х+4у — 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точкамн А(+4; — 3) я В( — 1;+2) в отношении Х = т~э. 89Р'. Зная уравнение Зх 2у+6=0 одной из сторон угла н уравнение егО биссектрисы х ' Зу+бчмО, составить' уравнение второй стороны угла. 663. Не вычисляя координат вершин треугольника, написать уравнения прямых, проведенных через эты вершины параллельно протнволежшцим сторонам.
Стороны треугольника ланы уравнениями бх — 2у+6=0, 4х — у+Э=О и х+Зу — 7=0, 303. Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон: 2х — у+3=0. х+бу — 'У=О и Зх— — 2у+6=0. 304. В треугольнике АВС иазестны; сторона АВ: 4х+ +у — 12=0, высота ВН: 5х — 4у — 15=0 н высотзАН: 2х+2у — 9=0. Написать уравнения двух других сторон и третьей высоты.
Угол м =ми/2. 365, Найти уравневна прямых. принадлежащих пучку (х+2у — 7)+6(Зх — у+5)=О н перпендикулярных к кшздой из основных прямых пучка. Угол м=н/2. ЗЗЗ-ИО' пэямля шсция 73 Эбй, Найти прямую, которве припалаежит одновременно двум пучкам: (х+у — 1)+6(х — 1)=0 ы (Эх — Зу)+ +4"(у+1)=о. 307. Даны стороны четырехутольникш х — 'у=О, х+Зу=О, х — у — 4=0 н Эх+У 12=0: определить его диагонали. 6. Смешанные задачи ии прянув 308. Через точку Р(0;+1) провести прямую так, чтобы ее отрезок. заключенный между лвумы данннмп пряными х — Зу+,10=0 и 2х+у — 'Э*юО, делился в точке Р пополам.
368в. Найти уравнение прямой, зная. что ее отрезок. извлеченный между" ,осами координат в первом квадранте, мвов бильжо 'ее 'расстояния от начала координат, а площадь треугольника, обрзжшаныого искомой прямой с осями, равна 4.5 квадратной единицы. Угол ш п(2. 309. Пряная ливия перемещается так.
что отрезкы, отсенаемнв ею на осях координат, сохраняют постоянное отношение 'и г 6= и., Найти' траекторию точки. делящей и отношии Х отрезок подвижной пршшй, заключенный между осями координат, 366э. Стороны угла, данные сэоимн уравнениями 2х— — Зу+! =О п х+4у — б= О, пересечены рядом марал лельных прямыш у=2х+Зс Найти геометрические места: !) середин отрезков параллельных прямых, эаключенных между сторонамк угла; 2) точек, делящих а опюшенин 1=3 отрезки параллельных прямых. ааключенных межлу сторонами угда. 316. Найти' центр, вписанного круга и центр тяжести раввобедрениого треугольника, если даны уравиеыия боковых сторон треуголышка: 'Ух — у — '9= 0 Эх+ бу — Зб = О и точка М(З; — 8), лежащая иа его освозанян.
Угол и = я/2. 310э. В равнобедренном треугольнике известно уравнение основания х — 2у+3=0; уравиеыие одной из боковых сторон 4х — у+5=0 н точка Р(+1.2; +5.5) на другой боковой стороне. Угол в=и/2. Вычислнтье 1) расстояние боковой стороны от противолежащей вершины; 2) копрдинаты центра тяжести; Э) площадь треугольника. У4 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИА ПЛОСКОСТИ 311 ЗГЗ~ 311, Составить уравнения сторон треуголышка. зная одну из его вершин А(+3; — 4) н уравнения двух высот: ух— — 2у — 1=0 и 2х — Уу — 6=0.
Угол е=и(2. ЗП». Даны лве вершины .треугольмика А(+2; — 3) и В(+5; +1), уравнение стороны ВС: х+2у — 7=0 и медианы АМ: 5х — у — 13=0. Составить уравнение высоты. опущенной нз вершины С на сторону АВ. я вычислить ее длину. Угол е= к/2.
312. Составить уравнения сторон треугольника, зная пюгу вз его вершин А( — 4; +2) и уравнения двух мелиан: Зх — 2у+2=0 и ах+бр 12=0. 313з. Дан треуголыщкг А(-4; +2), В( — '2; — 2), С(+6: +8). Через концы его медианы АМ проведены прямыв АР м МР. соответственно параллельные двум другим медианам. Проверить, что стороны треугольника АМР равны по длннв мелианам треугольника АВС. Вычислить отношение площадей треугольников АВС и АМР. 313. Составить уравнения сторон треугольника, зива одну из ега вершин А(+2; — 4) к уравнения биссектрис двух его углов х+у — 2=0 н х — Зу — 6=0. Угол е=п/2. 313».
В треугольнике А( — 3„— 1), В(+1; — 5). С(+91 +3) стороны АВ н АС разделены в отношении 3= 3. считая от обшей вершины А. Проверим, что прямые саедн няющие тачки деления с противолежащими зершннамя, к медиана АМ пересекаются в одной точке. 314. Прямые Зх+4у — 80=0 и Зх — 4у+12 = 0 касаютсл окружности. Радиус которой Ы = 5.
Вычислить площмь четырехугольника. Образованного этими касательными и радиусами круга, провелепиыми в тачки касания. Угол е= »~2. 314». Зная вершины треугольника А(+3; — 2). В(+4: +5) и С( — 4;+3), проверить, что высоты его пересекаются в одной точке, в вычкслить плошлдь треугольника. верши нами которого служат основания высот данного треуголь ника АВС, Угол е= я/2. 315.
Даны уравнения сторон треугольника: 2х — 5у— — 2=0, х+у — 8=0 и бх — 2у — 5=0. Найти внутри треугольника такую точку„чВзбы прямые. соединяющие ев с вершинами треугольника„раабивалн его нв три равновеликих треугольника. 316». Проверить, что тачка пересечения высот треугольвика лежит на одной прямой с точкой пересечения его ме- Зц 31т элвынптазиые своиства квивых втазога позядка уб диан и с центром описанного круга.
Взять, например, треутольннк А(+6;+8), В( — 2;+9), С( 4;+5) (е. н/21. 318. Относнжльно полярной системы коордвиат составить уравнение прямой, выбрав в качестве ее параметрощ 1) длину перпендикуляра Р, опущенного нз полюса на данную прямую. я угол и наклона этого перпендикуляра к полярной аси; 2) угол 6 наклона прямой к полярной осм н отрезок а, отсекаемый прямой ив осн„ считая ат полюса.
316», Через точку А(ре ег) провелена прямая, образующая с полярной осью угол 6. Составить уравпевяе этой прямой. 317. Относительно полярной системы координат составить уравнение прякой. проходящей через точки (р,, е,) н (рз, чт). 317». Относительно полярной сисшмы координат составить уравнения слелуюппщ прямых: 1) прямая прахоялт через полюс н образует с осью угол к~5> 2) прямая проходят на расстоянии четырех елнниц ат полюса' и наклонена к полярной оси пад углом к/3; 3) првмав проходит через точку А(6; н14) и перпенлккулярна аси: 4) прямая проходит через точку В(2; »16) и параллельна поляргюй асн 5) прямая проходит через точку С(3; 412) и образует с осью угол »~4; 6) прзмаа проходит через точки Р(5; е112) и О(8; бк/12) ГЛАВА Ч ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ' ВТОРОГО ПОРЯДКА' ) 1.
Окружность Окружность ееп. геометрическое месте точек, равиаудз ленных ат одной и тай же точки, иаяываемой ее центро м. Зели мы обозначим через л и Ь коердйизтм центра н через г-радиус окружности, т. е. рзсспиаие любой ее точки ет центра, то 9 В насгаащей глава мы будем нозьзозатьсз только прямо угольной системой каерлннап 76 днллмтмчпскля гнозгптямя нл плОскОсти 616 616 нормальное уравнение Окружности примет вин (х — )а+(у — Ь)з (1) В нормальнее урзаюкие Окрузикмтп азодзт три параметра: юординаты центра я радиус. Перенеся начало координат в ее Юитр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
