О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 15
Текст из файла (страница 15)
376. Дано уравнение эллипсы 26лв+ 169ут= 4226. Вы- числить длину осей, координаты фокусов и зксцентриситет эллипса. 377„ Расстояния одного из фокусов эллипса до кцнцюв его большой юси соответственно равны 7 й '1. Составить уравнение этого эллипса. 373. Дан эллипс своим уравнением: — + — = 1. Полз 'ух 9 4 строить его фокусы. не вычисляя нх координат, 379. Сторона ромба равна 6 н высота 4,3. Через дзе противолежащие его вершины проходит эллипс, фокусы которюгю совйцзавт с днумя лругнци.варнищами'ромба. Со- ставить уравнение элликса, приняв диагонали. ромба аа оск координат. 369. Вершина треугольника.
имеющего неподвижное осно- вание, перемещается тзк. чтю першмтр треугольника сохра- няет настоянную величину. Найти,траекторию вершины прн условии, что основание равно 24 с.к. а перзжмтр равен 66 см. 381. Построить эллипс, пользувсь' егр юиределенйем. У к а з ам н е. Точки еллипса служат вершивамн треугольников, имеющих общее основание (рзсстоянве между 4езусанв, равное 2г) в лавлую сумму двух других сторон (2а). 382. Составить ураввение директрис эллипса.
зная, что директрзсы перпендккулярны фокальной оси и пересекают ее в точках. которые являются четзертымн гармоническими к фокусам относительна вершин. 363. Дан эллипс: — +'1(у=!. Написать уравнения его лз уз 36 ' директрис. 334 аннет элвмвптлзыьш сэопствл кзнвых втюзого позядхл 87 634, Пряже л= жй: служат 'директрисами эллипса, малая осв которого равна 6. Кайм уравнение мого эллипса.: 386.
Опреднаятэ. Эксйентрисмтет 'эллипса, зная, что 1) малая ось епй видна:-иа фокуса под прямым углощ 2) раостояние;между фокусамн равно расстоянию между вершинами малой и болыной осей; 3) расстояние между директрисами в четыре раза больше расстояния между фокусами. 336. Меридиан земного шара имеет форму эллипса. отношение осей котоРого Разно ™~но.
ОпРеделить зксцентРнситет земного мсрндхзаа. 367. Нз эллипсе †+ в 1 найти точку. отстоящую .аз ут ЗО 24 нз расстоянии пяти елнннц от его малой оси. 383. Эллипс проходит через точки М(+ у 3; — 2) и Д(( — '2' у 3", +1). Составить уразненпе эллипса, приняв его осн за оси координат. '669.'Доказать, что для всякой точке Р(кн у ), лежащей внутрн: зллнпса —,+ — = 1, имеет место неравенство У* ,т ут —,+-у ~ 1*' а дла всякой, внешней точим ()(л „у ) — неравенство — + — х ~'1' ' т лх, ат 390. Определить положение точек; А(+6; — 3).
В( — 2," +6). С(+3; — 6). Х>(+ )/50; О). Е( — '4; 2 )~ б) н 0(+1; + у'26) относительно эллипса 4 — +-~У вЂ” = 1. 39$'." В:пллипС' 36. +лю- = 1 вписан правильный трент угольник. одна пз вершин которого совпадает с правой вершиной большой'.оси. Найти координаты двух других вершин треугольника. лз у ° 393. На эллипсе -1®-+;-3.ж 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в четыре рзз» больше расстощши от ее левого фокуса.
393." На эллипсе —,+,, =1 найти точку, для которой произведение фокальных, радиусов-векторов равно квадрату малой полуоси. 99 аидднтичзскдя гвомвтгня нд плоскости 994 ЮИ 394. Нз эллипсе. один иа фокусов которого имеет коор- динаты (+З„О), взята точка М(+41 +2,4). Найти расстоя« ние этой точкя до соответствующей директрисы, знзв, что центр эллипса совпадает с началом координат.
396. Найти точки пересечения эмнпс» Зб + — = 1 лй у* 12 с прямой 2х — у — 9=0. 396. Через Фокус Р(с. О) эллипса „-Ь-+ —,=й1 прове« дй уй дена 'хорда. перпендикулярная к большой оси. Найти длину этой' хорды, лй уй 89у. Дан вллнпс — + — =1. Найти длину его дза- 16 9 метрзй). направленного по биссектрисе координатного угла. хй уй 398. В эллипс ® + †, = 1 вписан првмоугольник, две противоположные стороны которого проходвт через Фокусы. Вычислить площадь этого прюзоугольннка. 399. Вычислить длмну стороны квадрата, вписанного в эллипс -~+ — =1.
у' Ьй хй уй 400. Дан млняс -6-+ — =1. Через точку (+1; +1) провести хорду, делюнуюся в этой точке пополам. 461. Написать уравнение прямой, касающейся эллипса — + — — 1 в точке (+2; — 3). 402. Составить уравнения касательных, проведенных иэ точки А( — б;+3) к эллипсу - -+ — =1. лй уй б 9 403. Найти те касательные к млипсу — + — =4, колй уй 99 24 торые параллельны прямой 2д — у+1у= О.
404. Провести к эллвясу -Йэ+ — =1 касательные, уй 25 перпендикулярные к прямой 18м+ 12у — 116 = О. 406. Известно. что праман 4м — бу — 40=0 касается уй эллипса — + — =1. НаИти точку мх прикосновенна. 50 466. Найти уравнения тех касательных эллипса Зхй-(- +Иуй=й 46, расстояние которых от центра эллнпса равно 8. ') диаметром эллипса называется всвзая хорда, ирохокз- ввш через е|'о центр лэт 41т мвйщмтавиыя свойства ИРКВых ВТОРОГО повядкд 99 хй уй 40у, доказать, что масателзпыв к млнпсу й+ Ьй =1, проведенные в концах одного и.,тщо же диаметра, параллельны между собой; и, обратно, если дее касательные к эллипсу паралделЬны, то точки касания лежат ма одном и том же дяаметре. 409.,9(айти урзвпения сторон квадрата. описанного около эллипса й 6 + 1 лй уй .
з= 409. Найти уравнение той касателыюй эллипса — + хй 25 + — =1. Отношение расстояний которой от двух фокусов уй' 9 рмщо 9. ,416. Доказать, что произведение расстоянии любой касательной .млнпса 'от двух его Фокусов есть величина постояннав. развив квадрату малой полуосм. 4И. Вывести условие„прн котором прямая Ах+Ву+ +С= О касается эллипса — +-ь- 1.
у' ай Ь 419. Эллипс проходит через точку Р(+3; +'йгй) и касается прямой 4х+бу=26. Написать уравнение этого эваипса и найти точку, в КОторО» Ом касается данной примой. Осн координат совпалаягг с осами эллипса. 413. Эллипс касаетсп двух прямых: х+у=б и д — 4у=10. Найти уравнение этого эллипса при условен. что осн его совйюдают с осями координат. 414.Найтиобщие касательные кследующнм двум эллипсач: — + — =1 'н ' — '+ — =1.
уй йй' у* б .4 4 б 416. Соетдвмгь урввмения . общих касательных двух млипсрщ +,уз~1 м + ай 1. лй ' ' лй у' "6 ' .'4 лй уй 416. Доказать, что касательные к эллипсу —,, + — = 1 отсекают на двух касательных, яроведенных в концах большой осн, отрезки, пронзаеденве которых есть величина постоянная, равная Ьа. 417. Доказать, что; отреакм касательных к мляпсу йй рг+ ~ =1, ааключенные между касательными, проведен- ными в,'вершинах большой,оси, видны пз фокусов под:прямьц! углом.
416. Найти геометрическое 'место точек, нз которых лй уй эллипс —,, + з, =1 виден под првмын утлом. 410. Доказать, что всякая касательная к эллипсу абра эует равные углы с фокальнымп радиусами-векторами точки прикосновения. 420. Эллипс с полуосями л и Ь перемещен так, что центр его совпал е точкой С(л', у'), а-оеп осгазмеь параллельными осам координат. Какое уравнение нзобракает эллипс в этом иовом положенннр Указание. Нового положеиня зланпся относителыю осей можно достигнуть при ненеиенмнем ' ьйлннае пзрмаэаьным перемещением осей координат а неренеаом нечааа в точку( —.л' у').
420е. Исследовать кривые, приведя вх уравнения к простейшему зилу: 1) ля+уй — 2к+бу — 6 О; 2) жй+4уз+4л 16у 3=0; 3) лз+2у+йл 4=0. 421. Эллипс каааетеа осм ординат' в пачйле координат. а центр его находится в точке (+61 0). ч.подвить уравнение вллипса, аж,' что Экеценгрнснтет''его я='0;3'. 422. Эллипс: касается осн абецпсе в точке А(+7: 0) и оси ординат а точке Э(О; +4). Соошвнтд уравнение влдипеа. если 'извеапю, что оси егп параллельны осям' координат. 422й'. Исследовать кривую. прпазарптельно повернув оси координат тзк, чтобы преобразованное уравнение не содержало члена е произведением координат'.ля+му+2~-4,6=0.
423. Эллипс касается осн у в точке (О; +3) и пересе- ь, кает ось л в точках (+3; О) н (+7; О). Каково уравнение эллипса, если осн его параллельны осям координата' 424. Подвижная точка Р описывает окружность ха+уй=ге. Какова*будет траектория лругой подвижной точки М. кото рая лепит ординату точки Р в'поатоышом отношении зг 426. В эллипс —,+, =1 вписан треугольник АйМАз, одна нм сторон которого А,Аз епвазллет с бэльшой веью. Вершина М двнжетса по эллипсу.,Определить траекторию, которую при этом опишет центр тяжести треугольника ЛйМЛз. 429 ~2 элпзмжтаяныц сэйжсц$а квивьйх Втового погадка 91 Вокруг начала коэрднняг врапыется стержень ОР~р е угловой скоростью м, а вокруг Р вращается второй стержень РЯ=0 е угловой еквроетыя — м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
