О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 13
Текст из файла (страница 13)
мы получаю ванболсе прсстое ураинеине Окружности ха+ус= А (2) Общее уравнение второй степени Ахт+Вут+Сху+Ых+Еу+Р О (3) пуедставллет спРУжноспь если коеффиЦиенты НРи кеадРапш коОР- дяизт равны межлу собой и асли, крою того. отсутствует член е..пронзиедевием координат, т. е. А ПИ С О. (4) Чтобы найти эшен пересечении окружности (1) м праной Ах+ВУ+с о, пале совиестю ранить атн даа ураенениа.
Исключив ю низ Одну из координат, ыщример у„мы получим Квадратное Урпанеииа Отнаеительпа 'абсциссы точки пересечевкж если его квадратное уравнение знает вещественные и раюшчнме корин (тюдкоре1юое количество положительюе), то окружюсть и прямаа Имаме две различные точки пересечения. — прямее является секущей; если это квадратное урзеиев~е имеет вещественные. Ио разные корни (подкореаное количеспю равно кулю). ю обе точки пересечения сливаются в одну и праман касается Окружности; если квадратное ураавеюю имеет мнимые корни (подкореиное юличество отркцатчпьнае), то окруююсть н прамая не имеют деяствнтельиыз точек паресечениа — прзмаа прсжодит вне окрул~- кости. Если х, н у„' обапмчаот коорпанаты КЗКОВ-нибудь точки окружности, те касателыма к Окружюсти в атой точке имеет ураеюннж (х — а) (х, — а) +(у — Ь) (у, — Ь) гт, (б) илн хх,+уу, гт (б) в аависимоста от того, Определаетса ли.окружность уравнением ($) или (2).
318. Составить уравнений окружности, имеющей центр в: 1) (+2; — 5) и радиус. Равный 4; 2) ( — 3; +4) и прокодящей череа начала коорзипзт; 3) (О; +4) и про' пцдпщей через точку (+5; — 3). $13. Найти уравнение окруююстн, если известны координаты 'концов одного пз ее диаметров АВ: А(+1; +4) н В( — 3; +2).
йпь-626 влвыннтзвные сВОпствл данных птпиото пОвядкл пг ЗЗО. На оси абсцисс найти центр окружностп, пропадя. щей через точки А(+2; -1-3) В В(+5;+2). и мвппйзть урцзюние атой окружности. ( 321, 'Написать уразиепие Окружности, прокодящей череп тойМ" (+3; О) н ( — 1; +2), зная, что центр ее лежит аж прщюй х,— у+ 2 = О. 322.
Составить уравнение окружности. проходящей через трн данные точки: А(О; +2). В(+1, "+1) и С(+2; — 2). Р е ш ен и е. Уравнение ксюмой окружносгн (к — а)*+ +(у — Ь)т гт содержит трн параметра а, Ь и г, которые следует определить Раскроем в уравнешщ скобки и перенесем все члены в левую часгь; тогда уравнение примет внш хе+ ут — 2ах — 2ьу+ +зе+Ьт — ге= О. Тзк кзк, по условикь точки А, В и С лежат на окружности, то нз координаты доажны удовлетворять атому уравнению, аь проюведя подстановку, мы получим три соотноше иня, связывающие искомые параметры: 4 — 4Ь+а +Ь вЂ” ' О, 2 — 2 — 2Ь+а. *+ЬЗ-~=О, 6 — 4а+ 4Ь+ аа+ Ьт — гт О цтобы исключиты; вычтем нз последнего уравнения сначала Вйрюе 'ИОТОМ ИГОрое ПОЗУчим: 4-4 +6Ь б„б-Ьи+бЬ-О, откуда а ' 3; Ь -2. 'Вставляя полученные аиачеина а и Ь в первое уравнение, определим гт, а имеишн гт 25„ и ураннение искомой, Окружюстй будем (х+ 3)т+(т+ 2)* 26.
Пентр искомой окружности можно также определить как точку перееечении периеидикуларов, восставленных ю середин дауа лорд, например АВ н,4С. 323. Найти уразиеике окружности. описанной около треугольника, нершины которого имеют координаты: 1) (+73 +У) (Оь +3) н ( 21 +4)г 2) (О; +4). (+16:+2) н (+3: —,2).
326, Кзк расположены точниг А( — 3; О), ' В(+5; О), С(+4 +2)г ()(+2;+У). В( — 4:+5), Р(+3 — 1), а(' 2', +3) Относмтехьно опружностн (х+1)з+(у — 2)а=257 325, Определить центр н рздпус окружности, данной уравнением; хл+ут — Зх+бу+21='' О. Р,ешение. Ланное уравнецяе «юедстаелаег окружность, таа как Оиутствует член с пронавмюнием' координат и коаффициснты ири квалратаз координат равны Мажду собой. Приводим это Уравнение к юрмзтьному виду [х — а)з+(у-Ь)э=гй Лли етого 18 аналитическая таоыитвмя л плоскости 826-439 собираем отдельно члены, сегыржзигне абсциссу (хэ — ба). и члены, содержащие ордииагу (у'+зу); потом доиолизем нд до полных веадрзтоз, прибавив к первой группе+ 16 н ко ангрой+9, после чего будем иметь сумму дауд ивэлрапвг (х — 4)" +(у+3)' К,левой части уравнения мы прнбавилв 16+6 26; чтобы уравнение осталось равносильным прежнему, прибавим и к правой части 26, что вместе со свебоэиым членом, перенесенным в разую часть.
даст 4, и окончательно уравнение окружности примет виж (х — 4)'+(т+8)э=з, откуда змглючаем, что центр имеет координаты а 4, й~-3 в радиус г 2, Эту же задачу можно решить' иначе„еосиодьзовзвглись теи. что в данном.уравнении в в искомом коэффициенты должны бить пропорциональны гоба уравнения изображают одну и ту же кривую). Раскрыв скобки в нормальном уравнении и сраениваа коэффвциевты, получнж 1 1 — 2а — 2З аз+ Ь' — гэ Т г В 61 2ьг 8 6 а — =4; Ф= — — = — 3. гэ =аэ+Зэ 21 4.
2 2. Отсюда можно сделать 'слезуюшее заключение: если в общем уравнении окружности коэффиздеитм при ивадратад координат равны единице, то координаты центра равны половинам коэффи циеигов ири первых стеиеизд соответствующих координат, вэвтэпг с обратным эизком, а квадрат радиуса определаетсв по формуле ге=аз+Зэ — Р, где Р-свободный чаев даизого уравнения окружности. 326. Привести к нормальному виду уравнения следующих окружностей: 1) хе+уз — 4х= О: 3) да+уз+2х — 10у+1= 0; 2) хе+уз+бу — Т=О; 4) ЗхЧ-Зут — 4х — бу — 15=0. ЗЙУ.
Исследовать, какие липни изображаются уравнениями: Ц ха+уз=О; 3) хе+уз+10х — 4у+29=0; 2) хе+уз= — 1; 4) де+уз 2х — бу+14=0. 328. Какой вид примет уравнение окружности хе+уз+ + 2х — бу+ 1 = О. если перенести начало коордюжт: 1) в точку А( — 1; +3) плп 2) в точку В( — 4; +3), н как расположены зти точки относительно окружности? 329. Как преобразуется уравнение окружности хе+уз+ +4х —.12у — 9=0, если перенести начало координат в ее центр? 388 844 злвызнтлуные сзопствд ЕРиВых ВТОРОГО новация ?9 338, Какие особенности можно отметить в расположении окружности относительно осей координат, если некоторые пз коэффициентов ее общего уравнения А(хе+уз)+с)х+ -)-Еу+Р=О обращаются в нуль? 331.
Найти точки пересечении каждой из окружностей: 1) (х — 4)т+(у+ З)т — 26; 3) ха+ ут — 4х+4у+ 4=0; 2) хт+)гт-бх-10у+9=0; 4) (х-5)т+(у — З)эма1 с осами координат. 332. Составкть уравнение окружности. зная. что она касается оси х в начале координат и пересекает ось у в точке А(0. +4). 333. Составить уравнение окружности. зная. что оиа касается осн у в точке А(О; — 3) и имеет радиус г = 2. 384, Окружность касается обеих осе» координат н проходи3,."берез точку А(+2; +9).
Найти ее уравнение. ."333.'Написать уравнение окружности, которая касается осж х--в' точке(+5; О) и отсекает иа осн у хорду длиной в 10 единиц. .836., Найти центр..окружности, радиус которой г=бО. зная. что окружность отсекает на оси х хорду длиной в 26 единиц и проколет через точку А(0; +8). 887, Написать 'уравнение окружности.
имеющей центр е точке (+6; +7) и касающейся прямой бх — 12у — 24 О. 333. Найти точки пересечении окружности хт+ ут+ + 2х — 4у — 20= 0 с прямыми: 1) х — у — 4 =0, "2) Зх— — 4у+36=0; 3) х у — бвюаО. 839. Как расположены црвмые: 1) х — 2у+ 5 = 0; 2) бх ' 12у+26 О; 3) Зх 4у+30=0; 4) х+у— — 17 = О относительно окружности х'+ у' = 36? 840. Лана окружность (х — 1)т+ уз 4. Через точку А(+2; — г/т) требуется провести такую хорду, которая делилась бы в втой точке пополам. 34!. Написать уравнение касательной к окружности хт+ +уз=5 в точке (+1; — 2). 842. Лана окружкостщ (х — 1)з+(у — 2)т 25.
Составить уравнение ее касательной в точке (+5; +5). 343. В точке (О; +3) провести касательную к окружност хе+уз-йх-Зу=0. 344. Написать уравнения касательных. проведенных кз начала координат к окружности хе+ ут — 10х — 4у+ 26 =0. 00 Анллитичкскля гяоыктзия нА плоскости $4- $4$ ..решемие. Способ 1. Всякан ирамав, врохолащан.,через начало координат, имеет уравнение у ° Лх надо подобрать угловой ков4н1аииект так, чтобы .праман У= лх и 'давим окружность имели лае слаюниеса точки пересачекна рыкаем совместно оба уравнения (исключаем у): хт+ Лглэ — 10к — 4йк+ 25 О,' хз (1+ Ла) — 2х (5+ 2Л)+ 25 'О.
В случае касания корни этого уравнения долины быть вещестзеа иые н равные; поэтому составлнем подкореввое количество н при- равниваем его .кулак' (5+2$)т — 25(1+Лг)* ф ремне ато урав- иекне~ мы найдем: Л~ О н йз.~ 21" 1 уравнЙВНВ искомых касатеаь 20, иых будут: 1) У=О и 2) у* — х, или 20х-21у* О. 20 21 Способ 2. Уравнение данкой окружности приводим к нор- мальному виду.
"(х — 5)'+(у — 2)э=а; тогда уравнение Всякой касательной имеет внд: (х' — 5)(х — 5)+(у' — 2)(у — 2) 4 Ко. орднкагы точнн касания х', и у' Определяются мз наук условий: 1) касательная проходит через начав координат, и, следовательно, коордмнаты начала удовлетворяют урюваенюе касательной, т. е. -5(.к' — 5) — 2(У' — 2) 4„илн бл'+™2У' — 25=0; 2) точка прн- косвовешю лежит иа Окружности.' еледователыкь ее координаты (х',у') удовлетворяют уравнению окружности, н мы киеве х' + + у'э — 10х' — 4у'+ 25 О, Из»тих двух уравнений определяем ' Ф - г, Ф, 105: ° 100 кооИинаты точки касания хг 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
