О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 17
Текст из файла (страница 17)
хй уй 446. На гиперболе — — — =1 взята точка. абсцисса 23 24 которой равна 10 и ордината' положительна. Вычислить фо- кальные радиусы-векторы этой точки и угол между ними. 447. На гиперболе — — =1 найти точку, для кохй 16 9 ТОРОЙ: 1) фокальные радиусы-векторы перпендикулярны друг к другу; 2) расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от правого. 449-4зэ элвйшитдвиьйв свОпстВА КРивых ВГОРОГО поэядцд Яу 448. Какому условию лолжен удовлетворять эксцентрмх' уй снтет гиперболы -~- — ~- —— 1 для того, чтобы на ее правой эетэн существовала точка.
Одинаково удаленнзл от праяого фокуса и от левой директрнсыу 449. Доказать. что пронззеление расстояний любой точки гиперболы до двух асимптот есть величина постоянная. хй уй 460. Нз гиперболе 46 — )6 1 найти точку, которая была бы в три раза ближе от одной аснмнтоты. чем от другой. хй уй 461.
Найти точки пересечения гиперболы им — 36 = 1 СО СЛЕДУйошвпи ПРянмпв' 1) х — бу=О„З) х у+5=0; 2) 2х+у — 18хм0,' 4) $/ГОх — бу+15 — О. 452. Через точку (+2„— 6) провести прямые. Параллель ные аснмптотэм ппюрболы хт — 4уз= 4. 452й. Дана гипербола Охт — 16уз= 676. Найти уравнение тоге диаметра. длина которого равна 20. 468. Через точку А(+3; 1) провестп хорду гкперболм хй — — уз= 1.
деляшуюся попонам в этой точке. 1 463Р. Доказать, что геометрическое место середин парзл дельных хорд гиперболы Зу — р-=1 есть диаметр., хй йй уй 464 Проверить, что осн гиперболы — — -г-. -1 явлаэтсн яй единспюнными:диаметрами, перпендикулярмымн к тем хордам, которые Онн делит пополам. 464'. Доказать, что стороны любого прямоугольника, вписанного в гиперболу —,, — '-1-= 1, параллельны ее осям. 466. Найти вершины квадрата.
иотюрый вписан в гнцеР. белу —,— —,, =1, м нссяедовать', в 'какие гиперболм воз хй уй мовшо вписать квадрат. 466. Написать уравнение прямой, которвя касается гивер болы — — — =1 в точке (+6; — 4) хй уй б 4 боле. Найти нх крнкосновення. 467. Доказа фокусы» то енн тельные, провел ння,: нерпеяляк уравнения к онрелелять если эллопс н гмнербо мавиза,мяд мрямым уг обенм «рнвым в точ уг к другу» ть, что нересе енньв к улярны др «з 437. Провести касателъные к ганерболе — — '-= ) 3 9 через кажлув нз следувнмв точмв (+2; О), ( — 4", +3) н (+В- -1) 439.
К ленной гиперболе — — =1 крозестн кзса«» у» 1е 6 тельнукс Ц параллельно прямой х + у 7=0; 2) параллельно мрямой х — 2у =6; 3) нерненшшулярио той же нряювй .х — 2у = О. «$ уе 489. Можно лн к гипербола —, — —,=1 аровестя васею» Ь» телъные лвбого накравленнв м еслн нет.
то какое огракяченне наложено на угловые козффицяемты касательных и атой гинерболер 460, На гннерболе — — — = 1 найти точно, касатсль«е уз В 9= ные з которых наклонены к 'всн абсцнсс нол углом к/3. 461 3( пшербыв 9 10 1 нрэзестн такув касвтель «з у» нув, котораа иаходнлзсь бы на одинаковом рзсстоявна Ет центра м от правого фокуса. 463. Гипербола кйсается мряюй х — у — 2а»»0 в точке М(+4; +Ф). 'Составить ураыяшяе' втой з'анербалы. 463. Найек условма. нрв мжвром'праман Ах+.Ву+С=О кас$6тса вмкербмма -у- —" »й = $.
«е уе 464. Хзсаанигь уравнение гякербалы,, зная уравненмя ев вснмнтот у~ + Ц~х н уразвеняе олной нз ее касательных: бх бу . 6 ае»0. 468. Прямой уезд яермяещается так, что стфроыы его всв =,7 «е ъе время касавтся гиперболы -г — ~-=~1. Найтн трвекторяв его' вершины. «Э у» 466. Иа твчекмересеченма двректрнс гиперболы — —, =1 с ее лействмгелькей эсьв, крввелены масавельныв к гняер 4зэ ззй.
эламдмтлмзьш своистаа ююых втояого цогядкь 39 466. Доказать» что мронзведекне расскмншй лвбой касательной м гквмрболе от двум ей фокусов есть вевючина постоянная. 469. Йоказагь, что отрезок любой касательной гиперболы. ваклвченнмй нежау асинптотамн, делатск в точке прикосновенна ~ояоийш 479. Деказать.
что касателянъш к гиперболе образувт с аснмнтотамн равновеликие треуголькякв. 476е. Прямая лнння неремещиетса так, что площадь треутользмка, обрыввакшмэ ев с осямм координат, сохраняет ыостояныув велнчнну 8. Найти геометрическое место точек. делящих отрезок этой нрямой, взклвченный микиу осанн, и дакном. отвошемям л' 471 Нзйтм, уравнеыме гнмерболы. зная. что оск ее соответственно 'равны 2а я 23, что центр ее номещен и точку (хм уг) к действвзйльнвя ось иарвллальва осм абсмнсс, 472. Пркзестн к крвстейшему вмду урашввня гнвербов 1) 3«з, 23уя,13х — ' 160у — 316=6; 2) Зла' — буе+.10« — 12у — 31 = 0: 3) хз — 4уе+ Бх+ 5 ='' 01 4) Зхе, уз+.12« —.4у — '4=.6; 3) хг 4уя+ 2х+ 162- 7 мы 01 6) хз' — ут — 4х+бу 6=0.
()в(мывлмгь нолоквнне мх центров н величмну осей. 432е.: Исследовать кривые,' предварительно новернуз осн квердшшг тек„чтобы нреобразозанные уравнения не содер« шш31 .члыш,. с»мрэяаведшшем координат: .' 1) 'ла+ 4хсу'+ уз — 3 = 9 2) Зхт+Йх» '4ут+ 10х=Ю; 3) 2хт+24ху, 'буг — 1бх+20у — 12=0. 478' Пзктр гнкерболы ашвщен в точку ( — 1б; О), один нз фокусоа соввашет с йвчалом коорлянат.
Найти уравнение гянерболы, если, крема того. кзвестко, что она отсекает от осн ордкнат хорлу. длина котэрои равна 32. 474. Через вершнну А(э1 6) пыпрболы — — — =! нро- дЭ уя лз И велены асе вовюжные вшрнмь' Найгм геометрическое место нх серелшь 1рв дндлнтичяскдя гяоыатзмя пд плоскости 47б-Пй 476, Найти геометрическое место середнн фокальных радиусов-векторов. проведенных из правого фокуса ко заем яз уз точкам гиперболы -т- — -П. — 1.
О 476, Даа стержня, вращаясь в противоположных напра влеииях около двух неподвижных точек А и В, образуют всв время с прямой АВ углы, лшюлняющне друг друга до прямого угла. Найти геометрическое место точек пересечения стержней. 477. Найш геометрпческое место точек пересечения перпеманкуляров,-опущенных на фокуса гиперболы —,— —,= 1 ма касательные, с прямыми. соеднняюшдми центр с соответствуюишмн точками прикосновения. 476. Найти геометрическое место центров кругов. отсекающнх на двух перпендикулярных прямых отрезки данной данны (2а и 2Ь), 479.
Доказать, что геометрическое место центров кругов, касающихся внешним образом' данной окружности и прохолящих через одну н ту же точку, есть гипербола. * Парабола Парабола есть геометрическое место точек, раввоудааеяямх от постоянной точки — ф о х у с а параболы — н настоянной щжной-ларек»рисы нзра- бохЫ. асан за ось ебснисс принять нернекпшуляр, онунынный нз фокуса на кирза»рясу, а нзчыю зооравнат,поместить посредине между фокусом н директрисой (рнс, йб), то уравнепне параболы будет' х * ух „йря (22) где параметр р есть расстояние фокуса от директрисы.
Пар»беда имеет одну ось снннетрнн, которая совладает, ирн таком выборе системы координат, с осью я. Бдннстзенная вершина нарабеаы глен»дает с началом коердинам Рнс. 50. второй точки пересе»вши пара боды с ее осью симметрия нет, тзн как результат исключения ордяваты нз уравнений параболы н ее осн вмрззнтса уравнением первой степени. ™В~сааза прямая, параллельная":-; -:;;;."!г осн я. встречает параболу также тошно в одной точас.
Прямив:; ..::":;~ 4»о 4»4 влнмяйтдзпыи свойства кянвых ВТОРОГО йозидке 101 люеа.о аругаго нанравзенюв пересекают параболу в двух тезках (денствнтеаьных нлв мнимых), Фохззьиый разнус-вехтер любой точки параболы равен г==я+ —; р. (28) согласие оярахеаевяе параболы, л аи1, (29) гке Л обозначает расстояние точхк вар»боем от днрехтрвсьь Кзсатезьная к параболе у~~ 2р" и точке (яп у1) определяетсз уразненне1в уу, р (я+ я,).
466. Составить уравнение параболы. зная, чтсч Ц расстояние фокуса от вершины равно 3; 2) фокус имеет координаты (+6„О). а ось ординат служит директрисой; 3) парабола симметрична относительно оси я. проходит через начало координат и через точку М(+1; — 4); 4) парабола симметрична относительно оси у, фокус помещается в точке (О; +2) и вершина совпадает с началом координат; 6) парабола симметрична относительно осн у. проходят через начало координат и через точку М(+6: 2). 461. На параболе ут=йя найти точку. фокальный радиус-вектор которой равен 26.
462, Н» параболе у»=4.6» ванга точка М(я. у). находящаяся от директрисы па расстоянии Ф 9Л25. Вычислить расстояния втой точки от вершины параболы. 466. Построять параболу, пользуясь ее опраделеннем. 4ЭЬ. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами а и Ь. Оба катета'разделены нй одинаковое число частей; через точки мления катета а (рнс. 61) проведены прямые, параллельные катету Ь, а точки деленяа' катета 6 соелинены прямыми линиями с вершиной про'мнюлежашего угла.
Найти геометрнческоа место точек пересечеикя прямых. проявленных пз тех точек деления катетов;:поторые имеют одинаковые номера. если нумерация на катете а начинается от вершины острого угла. а па Ь от вершины прямого угла. лв1~ ввй элвикмтлвпыв свопстнд кзпвых втового повядкл 16) 496. Какам треугольнвщщ мовпш восиользозвгьсл. чтобы. согласно предыдущей залаче, пост)мнпь параболу ут~ бх,:: и как дополнить зто построейие. чтобы получать точки параболы вне треугольникаг '489. Найтв признак, но которому можно было би судить о расположении точек, данных ..авовмн впорлмнатщпь опшсительно параболы уе=2рх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
