О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 20
Текст из файла (страница 20)
— — 10 2 2 01 6 =- 1 2 7 — (Зб.(-35 — 00 — 20)=*Ц 1 1 3 б 5 7 20 в — 114. Таяны образом, уравнение определяет дае дейешительные ве ресеиаощиеся прямые. Найдем точху ия пересечение из уравне- ний (О), которые в иенам случае после умноженэя иа 2 примут вяд: -7-3-0)у=*-б. -х+2у+7=Ц ) х -3 Угловые коэффициенты прямил вмчнслеются иэ уравнения (10), которое е денном случае имеет вих дэ и а6, атвуда й~ 0 й Лэ 1. Искомые ярямые приладят,иерея тачку (-б; -4) и имеют угловые коэффициенты, соответственно равные 0 и 1; следовательно.
их урэенеюы булуп у+5 *0 и у* х — 2. Снособ 2, Убедившись. что даниое уравнение нэобрьмэет вару пряных, решаем его относительно ордииаты; уэ — (х-7) у-б +10 (й, х — 7 / (к+а 2 У 4 Отсела у х-2 и у -б. Это нбудут уравнения искомых пря- мых. Второй способ приминает к иеьосредствеииому рээложеиию лееой части ураяиеаш на ииожитвнь 666. Найти уравнение каящой нв двух прямыд. совокуп- ность которых дана уравненнемэ 1) 21хг+ ху — 1Оут — 0; 2) хг+Зху+ут+2х+2у — 4- "0; 3) уэ — 4ху — 5лт+5х — уаиб; 4) 4х' — 4ху+ )Р+ 12х — бр*9=О. 004 ббй овщьи твогня киивыя втогого поэидкл пз '664. Допевать, что венков однородное уравнение второй степени. т.
е. УРавненке вида апхт+2амхУ+амУт=О. ияобраиэет вару прямык, проходящих через начало координат. 656. Исследовать кривые: 1) 2 +Зху " бут=б; 2) .'Р+4ху+4ут= О 3) 10хэ — уху+)Р =О; 4) бхэ — 4ху+ут=О. 656„При каком эначенин параметра а уравнение хэ+ + 2ауэ — х+ у =,'О представляетг 1) кривую параболического типа; 2) распавшуюся кривую) 667, Прн каком' значении параметра а уравнение хт+ + 2аху+ус — бх — Ту+6 =О цредставляеп 1) пару прямыя; 2) кривую-параболнческого тпйау 663. какой' вид 'имеет 'уравнение распавшейся кривой, если отиести ее к.центрур 666е Какое постоянное, число надо пркбавнть к левой части уравнении Зхэ+бху —, Зуя+ Зх+16у' =О, чтобы новое ураинвйне 'представляло совокупность двух прямыяу 669, При каких' аначенняк параметров а и 0 уравнение хэ+4ху+аут — Зх+20у =О представляет пару параллельных прямых7 666.
Какие кривые определяются уравнением хт — 2ху+ +Аут — 4х — бу+3 =О при рвэличиыкацачениик параметраЗ7 . 66!. Какой шщ ниеют кривые. определяемые уравнением 2хт+бху.— З)Р Зх+.Ху — 2=0, при различныя яначемнях,параметра М 662. Написать уравнение иннин второго порядка, проходящей через точки (О; О), (01+3), (+6; 0), (+2; +2) и (+4:+1). 6. пересечение кривой вторщо порцдка с прямой. Уравнении касательной Координаты точек нересечееиа кривой, второго нарядна ацхе+ 2а мху + аыуэ+ 2амх+ Заму+ аы = 0 с прямой д 4 Ву-(.С О определяют, реюэя совместно уравнения (1) и ('). 118 АИАЛИтичесКАЯ ГЕОМЕТРМЯ ИА ПЛОсКОСЕМ ббз — ббб Эта система ураеиеинй лолмна„вообще говоря, иметь лве пары ращений.
а потому кривая 'второго порядка пересекаетсв с нрдчой В двух точхах (аействнтельвма мнимых нли слившихся), В част ности, если чти дее точки схнвамтсю, прямая нааываегса касательнойй к нрнеой в данной точке. Касательная в кривой (1) в точке (х', у') имеет уравнены (а„х'+ ааг'+ ам) х+ (амА" + амУ'+ ага) У+ (амх'+ яму'+ ам) ав О. (13) + Вели данная крямаа $ +87+С-0 касается ариной (1), то координаты точки арикосновення олределмотса из условна пропорцнонахьиосги коэффициентов уравнення атой прямой и уравнения аасательной (13)ч — '-+ = '+~в' а*'+~ю'См д, '+МУ'Хм нч В С Особмм случаем пересечення ириной (1) с прямой (ч) яеляечся тот, когда пра нсхлмченни одной нз ксчцхаинат аа их уравнений мм получим для оярелеаеная другой восрдииатм уравнение не второй, а первой степеин (хохффицневт при явадрате опрстяляемой координаты обращается в нудь).
В этом саучае иа кокечной части плоскости существует тольао одна общая тачка у кривой (1) н прямой (ч). мм будем говорцть, что оан пересеялются лищь в мяой точас, угловые аовффвцневпа етах праммл определмотса нз уравнения ам.+ 2а1ХД+аылх О, Если уравнения (1) н (ч) несовместим, т. е. ае имеет обппщ конечных, ращений, мм говорим. что кривая (!) ае имеет нк одной общей точки с прямой (ч).
В атом случае при иснмочеиян панай из каор дават на уравнений (1) и'(ч) в нуль обращаетсв не тольао щмффнцаент аря квадрате, но н пря первей степени определяемой координата. 663. Найти точки пересечения кривой хе+ ху-$-2ут— — ух — $2у+ !О=О с осами координат. 664.
Исследовать, как расположены относительно осей координат следугощие кривые: 1) хт+ 4ху — 4х— ' 'у+4; 01 2) — йх — у+3=О; 3) хт+бху+Оут — 18у~О. 666. Вычислить длину хорлы, отсекаемой кривой 2хт— — 4ху+бут — Вх+6=0 на осп абсцисс.
йбб Мгб ОВЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1$7 586. $$ри каком значении параметра $ кряпчя 2хт-Зху-$- + у' — ух+!у + 4 -0 отсекает на оси ординат хорду длиной в 3 единицы и прн каком значении й соответствующая кривая касается Оси Ордииатр 667. Найтя точки пересечения кривой хт — 2ху — Зуав — 4х — бу.+3=0 с прямымн: !) Вх — у — 5=0*, 2) х-(-2у+2 =*0; 3) х -(- 4у — 1 = О; 4) х — Зу = О. 668. В точках пересечения кривой хт — 2ут — бх+4у+ +6 О с осями координат провестя касательные к втой кривой.
669. Написать уравнении касательных к кривой Зла+ +,2ху+Оуа+Зх — 4у~О в са точках. абсциссы которых равны —,2. 670. Зная уравнение касательной к кривой, данной Общим уравнением. вывести ураннения касательных к кривым. ваданным простейшими уравнениями." Э + р'.~ 11 х — 1; у 21вх( ху~ш, Аа УЧ 67$, Через начало коорднпат провести касательные к кривой Зхт+ 7ху+Зут+ 4х+ 5у+ 1 = О. 672. Через точку (+3; +4) провести касательные и кривой 2ха —, 4ху+)Р— 2х+'бу — 3.= О.
. 673. Через точку ( — 2: +!) провести касательиме к кривым. !) Зхх+2ху+Зут+Зх — 4у=О; 2) 2хт — ху — ух —. 16х, Зу+ !ВММО и выяснить. почему в каждом иа этих случаев мы можем провести только по одной касательной. 674. Среди прямых, касакяцнхся кривой ла+ху+ух+ +2х+Зу — 3 О, найти те. которые параллельны осм абсцисс. 676.
К данной кривой ха+ ху+ут+ 2х+ Зу — 3=0 провести касательные, параллельные прямой Зх+ Зу — '5 =О, н определить точки прикосновения этих касательных. зпхлитичвсквя гкоывтэпя цл плоскости 375-539 676. Написать уравиение параболы. иасающейся оси х и точке (+31 О) п оси у в точке (О," +6). 577.
Составить уравиемие-кривой второго порядка. проходящей через начало координат и касающейся прямой 4х+ + Зу+2=0 в точке (+1; — 2) н прямой л — у — 1=0 в точке (О; — 1), 678. Написать уравнения прямых, прохоляших через начало координат и встречающих кривую блв — лу — у'+ +ба — Зу+2=0 лишь в одной точке. 679. Через точку (+2. "О) проведены две прямые. имеющие лишь по 'олиой обшей точке с кривой Зхв — 7ху+2ув+бт — 4у — 5=0 Составить уравнения втнх прямьш и вычислить угол между ниии, еслп система координат прямоугольная.
. 589. Какой угол образуют с осью абсцисс прямые, астречаюшив кривую лх — 2«у + ув — 4« — бу+ 3 = О лишь в одной точке7 Координатный угол м=п/2. 681. При каком значении параметра Х кривая лв+ 2).ху — ув+ бх — 9 = О пересекает прямую 2л — у+7=0 только в папой точке7 682. Какой аид имеет общее уравнение кривой второго порядка. если ее пересекают лишь в одной точке: 1) прямые, параллельные оси л; 2) прямые, параллельные оси у1 3) прямые. параллельные одной ив осев координату 686. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты .общего уравнения кривой второго порядка, есин оиа не имеет нв одной обшей точки: 1) с осью х. 2) с осью у, 3) с осями и и у7 584. Кривая второго порядка проходит через точки (О; 0).
(О; +2), (+2; +4) и пересекает лишь и одной точке каждую из прямых: Зл —,2у+ 1=0 н 2л+у — 6=0. Найти уравнение этой кривой 685. Кривая пересекает каждую из осей коордннат только в начале коорлннат Кроме того. известны две ее точкй (+2; †!) и ( — 2; +2). Составить уравнение этой кривой. 686.. Кривая второго парилка имеет центр в точке (О; — 1).
проходит через точку (+3; О) и встречает кшкаую на кра- евшая твозпя хгпвых птогого позядкх 119 мых 2« — Зу-)-1=0 н вг+у — 6=0 лишь в одной точке. Найти'уравнение втой кривой. 680а. Найти гео«етрическое место центров всех кривых второго порядка, касающихся оси абсцисс в точке (+2; О) и оси ординат в точке (О; +1), 4. Диаметры кривой. Главные осп. Аснмптоты.
Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным , иапрпвлеипдм) уравнение кривой, отнесенной «пснмптотпм Если в кривой второго порядка провести все хорды одного и того же павраалеийя, то геоиетричесшю место, середин зтпх хозд представит 'некоторую прямую. которую называют диаметром, сопряженным данным хордам. уравнение диаметра: (апл+а,ау+ам)+й(ав,х+аму+аз,) =О, (15) или 7'+й „=О, (75) где й асть усзовой коэффициент соирвкевпых хорд. Меем й, и е. меняя направление хоря„цоаучим бесчисленное миохвспю даа .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
