О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Две стороны СВ =а и СА Ь треугольника АВС рззлелепы точками М и )Ч е отиошеиншг Х в Ц1 (считая ат обшей вершины). Иайти геометрическое место ' точек перв сечения прямых АМ п В)Ч прн переменном 687е. Найти траектарпв центра круга, описанного около треугольника, когда одна-из его вершим остаетсп иепадвиж иой.
а протмволежзшая сторона, не меняя сваей длины. сиользнт по прямей линии. 666, Шарнирный мездннзм (рпс, 68) состоит из двух подзвжных .стержней АВ:п СЙ в пеподвяжной ликейки А(.. Стержень АВ прикреплен: пшрппром В к стержню СО. причем АВ=СВ, и вращается окало неподвижной точки А. 689.
Иайти трмкторив любой точки шатуьа паровой машины (рис„бй). Р к звание, Эта задача атлзчмтся от предыдущей тем, что АЗ ф 4'В. л г г 1 в т г Ф 699„Найти геометрическое место точек, симметричных лг ге с центром эллипса — + — =1 относительно его касатель- лт И ПЫК1 м=и12. 691.
Доказать, что кркзаз предыдущей задачи может быть получена кзк траектория середины М малого стержня СО шарнирного аитипараллелограмма АВСО, у которого закреплено противоположное звено АВ (рис. 80). 692. Найти геометрическое место точек. симметричньи с центром гиперболы —,— —,=1 относительно ее касале -$$ лФ тельных. Угол н= 'и/2. 698.
Докамть, что кривая предыдущей аалачи есть траекторня середины большого стержня аитнпараллелограмма, противоположное звено которого закреплено. Рис. 61. 1зб лпалмтнчпскля гвожпппв на плоскости ббб 666. )(опалять, что шарнирным меканиамом ОАВСО (рис. 61), так пааываемым пнверсором, осуществляется пря' нелинейное движение точки В.
Пояснение к рис. 61: точки О п М неподвижны. около нпх врашлипся стержнк ОА, ОС и МО; все семь стержней соединены иежду собой шарнирамн. 1(лина стержней: ОА=ОС=1; АВ=ВС=СО=ОА=а; МО=ОМ=Ь. ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАВА Тй ПРЯМОРГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ Поюжеине' геометрнческпа обраюв в пространстве можно паредемаь'по отношению к прямоутольпой системе коордкнат, состоящей ю трек ваакмпо- перпекдккуларпмх осей координат, пересекавшнюя в одюй п той же точке (начало координат 0), и трек шиккпстей. Попарно як соеаншпощиа (координатные плоскости). На кажюй осп выбирается положитеаьюе иаправлекю и елкикпл дакнм и Помакаипе точки М в прпстрммтве (ркс.
62) оаредеааетса трека аксаями-ее коордннатамк вбсциссой Ва( ОА т ~й ' ют 140 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ордцнатой Р А( ОВ У= — =— е е и зпплнкатой аи ос е е Каждая иэ ииз дает расстояние точки л( от одной иэ плоскостей координат, со эиэком, указывэвщцм, по какую сторону от этой плоскости расположена точка, а имснио: взята ли оиа н сторону положительного нли отрицательного направления третьей оси (не лежащей в соответствующей координатной плоскости).
Три коордклатные плоскости (рис. 63) делят прострэистзо на восемь частей (октаитов). Координаты точек, расположенных в различных частях, имеют различные зизкк. Точки, лежащие на коордииатнмз илоскостах, ммевт одну из координат, равцув нулю; точки, лежащие на осах координат, имеют две коорлииатм, разные нулю; начало координат имеет эсе трн координаты, равные кулю. Абсцисса .
Ордиката . Апплнката Зная три координаты, можаю построить одну-единственную точку. Эта точка служит юнцом ломаной линни, которую мы по- ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ лучом. отложив из оск х отрежж ОА, величииа которого равна абсциссы нэ конца его параллельно осн у.— отрезок АВ. Величина которого равна ординате, и иэ 'его конца параллельно оси л-от резок ВМ, величина иоторего равна аицаикэте точки. Иа рнс. 64 построена точка Ат( — 3; +2; — 3). Таким образов, установлено взаимно однозначное соответствие между точками простраистэа и тройками чисел (х, у, л). Этим сОотивгс'гнием можнО ВоспользОзаться для нмврзжсния одновременного измеюция трех величин, или, иначе, для изображении зависимости одной функции г от дауа иезааисимых персмениьсс ";"- — - в Тэк, например, объем е определен юй массм газа зааисит от темпера.
г турм Г и давления р. Зависимость между 0 ' этими тремя величинами дается форму- 1 лого НЬ ~1+' — р цоонажеможет быть изобрражеиа геометрически. Будем отиквдмвать теипературу по Оси х, дзвлежв-по еси У и объем газа — но Рис. бз. осн м. Выбрать определепнув темпера« туру и дазлацне-значит дать определенща» значения дзум поординатам х и у, т. е.
Ныбрип, точку из плоскбстн (хуй Выбранным значениям неззВисвмык переменных сеет нетствует определенный объем гзжц этп значение функции откладываем ю перцежщкуляре, юсстзнлеиюм к взоскости (ху) в Выбращвй ~очке. тбеняа температуру м давление, мы переходим иа плоскости (.Оу) от Овцой точкп к другой и иад квелой нз них выучим в пространстве точку, аюлнкатв которой ранна соответствующему объему газа Совокупность вснк этих точек в пространстве даст ивкоторув повсрзюсть, и св высоте ее точек над плоскостьв (ху) мы судим об измевеюи объема газа с изменением температуры и давления. Бели мм выберем постовнвув температуру (х СОНЗЦ ц будем маиать только давление, то придется ограничиться рассметрещвм тнх точек позерхноств, которме лежат в плоскостть паралаельной плоскости (ул), — лиция пересечения втой 'илосвестм,с иовсркностью дзсг иам график объема газа В Заиисиместп От дзцлвцжь,узк кзк'зависимость между Объемом и даиаением при поспжнюй 'температуре иырвкзется формулой ер еапвс, то ливка', нзображжощан зту азвнсимоспь,— 'гипероола.
Даная даизенщо пастояюее значение (у сонм.) и меняя температуру. Мм получим в плоскости, параллельной плоское'ги (хл], кривукь изображающую зависнмпкгь между объемом газа и темиератгрой црн юстовнюм давлеще. Зависимость эта выражается формулой и = е, +СОТ н сащпстсткувщая лицин — прямаа. Итак, поаерхжмть, ацобрзжавщак за~и~~и~~~~ объема газа ет температуры и от давлении, пересекается пласкостями, иараввльиымн пжмвжти (хе), по прямым, а плоскостями, параллельными июскости (ул), пе гиперболам.
з плоОжостжс, параллельных плосюсщ (су), мы поаучнм монн (Ррамме), юображавщие 142 Аналитическая ГеОметРЙЯ в поостзлнствп зависимость, которзя должна существовать между температурой и давлением при сохранении пестоянного объема'). Расстояние (г) точки (Ат) от начала координат называется радиусом-вектором втой точки, и мы имеею Тз ~ хе + уз + лз (1) Координаты точки суть величины проекций ее радиуса-вектора на оси координат: х=*рсозе. у у соз Р.
(У) ,з — з соа 6 глв е, Р, т обозначают углы У между радиусом-вектором и пожзкительпым направлением трех осей координат '(рис 6$3 зтн углы свюаны соотиошеииею Рис. бб. созте+соззР+созтт 1. (3) Соотвеяенне (3) справеданво для угдов, образованных любой прямой с тремя взаимно перпендикуларинми всеми. Расстояние между дауне точками А(хи Уьщ] и В(хм Уз лг) аычнслветса по формуле АВ = (хз — хдз+ (У вЂ” УДз+ (аз — лФ (4) Это расстояиве рассматривается' обыкновенно только по абсолюпюй величине. Нз'иравлеиие отрезка АВ характеркзуетса угламя е, Р, Т. которые ои образует с положнтельпнмп направлениями осей координат: соха= (уз учР+( ~ — лУ Уз — У~ соз Р р (хз — х )з (уг уд *(лз л~)~ лз.
л! созт= Рг(хз — х )з е-у')з «лз-л1)з Если направление двух прямых дано угламн (ю Р. Т) и (*'. Р'. Т') ° ) Вышеприведенная поверхность взвивается гиперболическим парзболондом и будет подробно изучена'в дальнейшем. баб-ббб ПРЯМОЗГОЛЬНЫП КООРДИИАТЫ 143 то угол Е между ними') вычисляется ио формулы солт соза ° созе'+совр.сояР'+сову*соя)' (б) условие перпендикулярности пряиню созе созе'+соеР сеР'+сову солт' 6. (7) Есин даян дзе точки А (хи уи л,) К В(хь уе, хз), то коорди- наты всякой .третьей точки с прямой АВ опрвделнвтси 4ериуламю х~+Зхз у~+дул л1+Алз ." (+Х ' "= Г~~Х ' л 1+Х ' где Х обозначает то отношение, в котором точка С делят отре- АС жж'В ' " СВ Площадь плоской фигуры можно вмчислить, зная плецадь ее проекция,.е нмеппо площадь проекцли равна проектируемой пюицзди, умнаженмтй на косинус угла мюгду пяоскостьв фигуры и нлоакостьв проекции.
яли, иначе„квздрат площади всякой пло- ской фигуры равен сумин ввадрщап ялеюлдей ее пронщяй иа три взаимно перпендикулярные плоскоспь Если, ие манан нанраилеина осей. перенести яачало коорднпат и точку О*(н, з, с), то коорпиизты любой точки (х„у, л) выразятся через ионне координаты '(х',у',л') той же точкй сзедумщич обрззокс . х=х".+а, у* у'+$, л л'+с. (9) Если, не меам начала коорднмат, взмиюиь направление осей тыь чтобы новые оси образовали со старой осью х углы е.
а' и е", со старой осью у углы Р, Р' н'Р м со старой осью л угаы т, т' и Т", то х х'созе+у'кое е'+л'созе", у х' соз Р+ у'соз Р'+ л' соз Р~, (1О) л = х' сое Т+ у' соз Т'+и' соз у', 666. Построить точки: А(+3; +2; +1). В(+4; — 11 — 2). С( б; +3; +4), 4)(+1; +4; -З), а( — 3; +Ж вЂ” 1). Г(6; +6: — 2). С( — 1; — 3;6). У((+216: — 1), У((6161+6). (( — 2. -б'+.). 666. Куб стоит мз плоскости(ху), причем центр его осно- вания совпадает с началом' координат, боковые ребра лежат в координатных плоскостях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
