О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Итак, два 'уравнения между ерема координатами нзобрвкают ленив. Если иы имеем уравненва двух поверхносте$с Р(х, у, л) О н У(х. у„л) =6. (1) то уравнение Р(х, у, л) — л /(х, у, «) *= О (2) представляет поверхность, проходящую через линию пересечепяя данама двух поверхностей. Меняя параметр й, поэучнм пучок поверхностей. Яинюь пэображаезая двумя уравнениями (1), пожег 'быть опредезена любммн двумя другимн поверхноегямн пучка (7) Трн уравнения между тремя вооряинатамн опредезяют окну нли несзолько отдельных точек — точек пересечения трех поверхностей, если только уравнения неэаенснмм между собой, г. е. соответствующие поверхности не принадлежат одному и тому же пучку.
Поверхности и линни могут быть определены теми геометрическими свойствами. которые присущи ик точкам, м тогда аознякает задача о составлеиии их уравнений, Нет нааобностн расска трнвать асе точки, обладающие известным свойспюн; достаточно ввести обраэуюззую точку, юморзя своим дввжавием описывает соответствующий геометрический обрак Есзи движение образующей точки ограничено одним условиезь дла аналитического Выра женив которого достаточно одын'о уравневия, — соответствующее геометрическое место точек есть поверхиосп» Если движение образующей точки ограничено двумя иезавнснмымн друг от друга условиями, могущими быть выраженнынн двумя ураеиепиями,— соотеететэуювщв совокупность точек 'есп' лиана» 749.
Исследовать» какие геометрические образы даны уравнениями: 1) ха+уз+ге=1 2) хе+уз=1; 3)' хт 1; 4) з-у*=о; 6) хз.+у+я =О; 6) +)Р=О.. 7) хе=О; 8) хух=б; 9) у — фбг=О. 74$, Исследовать. какие геометрические образы даны следующими системами уравненийй 746 749 геометвичпскок Вилчвнип талвнипип 742. Найти цилиндр, проеыгирующнй на плоскость (ху) кривую: < — 9уз+бхУ вЂ” 2гх+24л — Оу+Зг — 63= О. 2х — Зу+г =9.
743. Найти проекцию кривой » ха+ гз+ Зуг — 2х+Зг — 3= О. у †я+1 ма плоскость (хг). 744. Написать уравнение шаровой поверхности. имеющей центр В точке С(+3; — 1; +6) н радиус $$ = 7. Рнс. 67. Рнс. 66. 746. Найти геометрическое место точек. находящаяся на расстоянии четырех единиц от плоскости (уг) н на расстоянии 'трех единиц от точки,А(+б; +2; — 1). 746, Написать уйапиеиие плоскости.
зная, что точки А(+4; О; — 3) н, Щ+$; — б; +2) симметричны относительно Втой, плоскости.. 747. Определить траектораю точки. движущейся в плоскости (хг) так, что ее радиус-вектор все время равен расстоянию ее от точки А(+б; — б: +1). 748. Найти геометрическое место точек, равноудалениых От данной точки м данной плоскости. 749. Найти геометрическое место точек.
сумма расстояний которых от двух данных точек $о(с; О; О) и 11( — с; О; О) есть величина постоянная, равная 2и. 161 ГЛАВА 1Х ПЛОСКОСТЬ Ах+Ву+Сл+В =О 1 А,х+В,у+С,г-1-В,=О 1Г (й) (1О) збб лналмтичкскля гнсывтвыя и пвссткднстви убо-убй 766.' Стержень перемещаатся в простраиспю так, что трм его постоянные точки А. В и С (рис. 66) скользят по,трем координатным плосиостям. Чем ограничено движение четвертой точки М. произвольно выбранной на стержнег 761. Исследовать поверхность предыдущей задачи, рассмотрев ее сечения плоскостями. параллельными координатным плоскостям. 762. Составить уравнение поверхности. Описанной стерж« нем. скользщцим по трем ребрам куба. из которых никакие даа не лежат на одной плоскости (рис.
67). Ребро куба равно а. Всякое уравнение первой степени относительно координат точки пространства Ах+ Ву+ Сл+Ы О (1) изображает и л о с к о с т ь, и, обратно, всякая плоскость может' быть представлена уравнением первой степени..'Уравнение пло скости содержит три независимых параметра; Если в урзвиещю Ц) отсутствует свободный член, то щюскость прозодвт через начало ююрдннат. Есаи отсутствует член с одной нз координат, то плоскость параллельна соответствующей осн коораииат; если одновременно отсутствует свободный члем н член с одной из координат, то плоскость празоднт через оютвегствующую ось.
Если отсутствуют члены с двумя координатами, то плоскость параллельна той координатной плоскости. иоторая содержит соответствующие осн. Если отсутствуют члены с двумя коордюютаии и свобсщимй член, тб плоскость совпадаЕт С Одной из координатных плоскостай. Есан, наконец, отсутствуют есе члены с коордннатами, а свободный член отлнчей от нуля, то уравнение смысла не имеет. Если за параметры иринам величины отрезков а, Ь и с, отсекаенмз плоскостью на осяз координат, то ураенеюю плоскости примет акл; Если зз параметры принять длину перпендикуляра р, опущенного на плоскость нз начала координат, и направляющие косинусы етого перпендикуляра (соза.
омР, созТ), то получим нормальное уравнение плоскостй; х созе+у созй+л.соз1-р=б. (б) з(тобы привести общее ураввеюю (1) плоскости к нормалыюму миду, его пужаю помножить на пормнрующнй множителю М ! (1) Знак нормирующего миожитела должен быть противоположен визит свободного члена уравнения (1). расстояние ююскостн (1) от начата коорпнизт н нанраваяющне косинусы перпендикуляра к атой плоскости выражыется через козффнциенты ее уравнения следующим образом: 1 Я'+в'~-С' 1 Я+в ~Г В С соз й*= ж . ссну Фа+а+с ' ' Гл +а*~.с ' расстояние' любой "точки Р(х', у', л') от плоскости (1) вычн слзется по формуле мли„если' плпскоеть дана нормальным уравнением. по формуле 3 1х'сола+у'соей+а'сает-р6 (б') т, е. расстояние точки от плоскости равно абсолютной величине левой части иормальногс уравнения пмнжостн, в иоторой текущие координаты изменены координатами данной точкзь Угол мезщу лзумя.шюекостяии определеечса слпаующим образом: АА,+ НВ~+ССг * ~+в+с'.
гя+щ+и, ' Условие параллельности плоскостей (7): А В С А, .В; С,'. Усажие иерпендикуларности плоскостей: АА~+ВВ~+СС~ = О ВВ»» ° М 6» Р»Е М Р д( У д Эма В» 3» 3 ° в О(3 '"м ( р ВР(ем Э(ю«д ( у 3 Ю 1 р ° 3 3(Э э ю а ° ° емеа 4 (м у р э' 3 е юеэ»» «44 Ю+ар+» ОЮО»и двд+седвд В ОО 4-» ° 3 е»4 4«, » вр 4» 3» 43 «Ю 4 В ы.в 4.» +О а ° ! .$.в,У+»в+3» В 3» в Овр+» да+4»О +»р+»в+Од О +3(»ЮЕ»Э+»Э+Од 6 ОЭ ю .е Р у 3 а» у ю» 3 ° а,а» юе» ° 3 р Р 3 4*+»3+» +О-Й в сдав+с, +О, 6 ад+ад+с.
+О.-а 'В'м ° реею О е ю 4( — В Вед Рд+6$ — 3 В ОЭ ме» ° с р р а УЭ-МВ 3 ЮЮЕ» 3»1 юээу, аа 2+3+1 а 6 Э Ю В л(-э+э+ ь з(+э-э-»2 ООЙ+О+(О О(+2. Ф +ВЙ О(+О +Э 6» ОО» +13 ОО УЗВ Э 'М» В а »44»4 Ма 4»ее 4 М(+У.— 13+23. 3 3 Ю»»ар 4 е У. ИВ 3 У Р 4 В ЮЕЕ»З 2» »+У О рю,а,аююуМ В «.В»+С*+О О 3,4 4» 4»ю ю»М мра 4 43» "М 63 Р ° рэа е 43» 4 уур 4 у» ам 6» »им»Э 3»юа Вр эре »Р 3 .,Щ З»»ме,» »6 юм а р е р юа»м»»О ЭУР-а'+1' а ара»+ЗР р» О 2(ОО-'О Э . 632»-Ю-» 233 (З.
З О м(»аю» в Эа Заа О»а»э ззаммм (юм (м . !!ее»»ею»Э «а»е 3 (443» юрмюм» Рм ммр (+з -' '-ЭОЗО »УЭюМ Р «в Ч У(-2.+13-2» »3 Уе»В(Ю а 3 В»»»»еа 'ЮВ» 3 4 4 »М а (+4!6;-23 (+Э+14+33 УЮ. В»»Е Ю В» Ю» ЮЕ »М УМ »4М«» эз» вЂ” Зу +и О ю» 44+6 63 !УМ+У-М-36 Э 63Э-Зу+ -Э »34-у+» †( э а3»=у а Юр.Эре»В»эю»м(»33 а е»+ау-з — м а ПВ П »43 3. +у рю !3 6 4 4»ра ее»ем»4 «рм»46!»41»»» ауэ у »р.з»»« МУЮ Ю»4 4 1 В В»4 ВЭМЕ» 4"У Ю ° М» ЗРЮ»3 »м»е ру» 43"»е 434 э» 4м уа В» ю М, В 4 ° »»4 Ю е М У Ю»(Э »3 Ю ° М» н '+йю+а~ ~+:.\ы» ~ .Ф=.-'-.И. * «« — в н .Й+в Г:-*,+ .+'-" ас м + ""Ф ю ° + *~ р ~-ф+м,~» Д'"р в ~ с '~ф ~~, + ю; и' е 4~~" -Ф Ю «ми-'м «~ю+ Н~ 4~ ~ М ~ю — а~.
и 1 й ~,«е ими~-а~ я- ~а~м ьм-» м~ ~- Ф еьй=" ~а~ н.~- В~ИМ ФРЯ"~ *"„6~-.. ~.~»М- в +во- е~ +а Й ° в — 1*-а 33 у-'.а. аИ ° -л-и-~ ата *- ) ° 3)а-З) . 1 .зи,в, 1»+3 а 3 ~ - та — РИ =-И- т)у- — тт- 3-1 а а и у т * е «) УР 3 И РИ У У У ) )васи~ "" ' ""!"""'"'~ ' з, в. е. о. »-3,*-1 )«УЗ!+3+2+13 -И- »-1 — '- — —.У аа а . Р«„ Р а у ° у у ° 3 Р 3 1 +3 23 У Р 3 Р 3 !.~ -.-- з з — и 1-! з~ е 1 — и — в» авва * — 3 т + 3,.).В Зв "И- Р 3 т е РР-ат3!.
и ),, ва ° !л.""' ит)»13,) -1 .13 2 а ° 1*) ю » Фйе» *а 3 РУР -Р-. У. 13 У 3-«- -3 ! .а иу . Ве 3 т Р 3 Р ° 3зи ° Р Вав.иа — 2)Р * — и у — в и ви а)И Р*« —: — «3 3 "3,+И» 3)+В -Р+1.3 а» а аавИИ«и у е и а ° у И 1+3 +а ' И Вва. — а — "у- — 3 †. Вва З -. — 3. -3 М . вот -3 Ее — 3 ваз. 2-* а--в аае. -3--" 3--2-1-. аез. 3 +и-в ааае. )аа-вы 1 3, )а ) з "'" "Ии« вЂ” )в ае- --У.и Р 3 т и) +3 — 1 ) ) ни и) ) ата. 1)а «и и .Взе. ° -3»- -и -2) а ави и -иу-и +33-а аев. -"«3- 4.3 Йф- -;).33ИВ -И»+ -)З ааааа .).У»+в — йа ееи и — )и — и — и в ан. и) — и»з-)и— )и аааа໠— йу+)и — зи авва. +у- +з-а и 3) .
° т ° Р и« а ) еуа. у а!а и) и ею+2»+и и 33 ЮРУ)3333«НУ) Р ии 2 3» и а Рзз*зюаи ° )в«ув а и 1+а )аии ) ° и у УЭ ВРУ Ю 44-ар 4' Э-ююю, +4 — Вюр-44+ЮР а ЭЮВВР-Э,У 444, ЭР.РУУ В В Р Ю 4 4 4 44 ВР ° Рр У .НВУ В .е ю ю ий В'Вюэ р ю. р м а Вр вюею УЮ Ур В ° 4 * — Э 4 РУ Ую Э 44' ВВЮ Э В 4 4 4 У 4 У вЂ” * ° Вэ„°, у, ю-ЮУЭ эюю.у+ф+у-4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
