О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 25
Текст из файла (страница 25)
)(айти координаты вершин куба, зная, кто ребро его реево а. ') Если две прямые не пересекаются, то углом между вима пюыеается угол между двумя перщтжающймися нрямыии, которые соответственно птралаеаьзю девины пряизмь 144 АнАлнтнческАя геоыетРИЯ В ПРостРАнстве 697-7ц 697.
Даны точки: Р(+3; — 1; +2) н М(а, Ь. с). Вычяслчть координаты точек„симметричных с данными по отношению к плоскостям координат, к осям и к началу координат. 998. Как расположены в пространстве точки, для которыхг 1) х=у; 2) х=у=«г 699.
Исследовать (рассмотреть сечения плоскостяыи. Варзллельнымн координатным плоскостям) поверхность, изображающую зависимость между площадью прямоугольника н длиной его сторон. 709. Определить расстояние точки А(+12; — 3; +4) от начала координат н от осей координат. 701. В третьем октанте найти точку, аная ее расстояния от трек осей коордннаю И,=б; бг= 3 У 51 с(,=2 )/ГЗ. 702. Найти направление радиуса-вектора точки Р(+3; +2; +6) н точки Я(а, и, а). 703. Определить величину .
и направление силы, составлающие которой по осям координат имеют слелующие величины: Х = 10, У = 5, Е = 1О. 704. Прямаа образует с двумя осями координат углы в 60'. Под каким углом наклонена она к третьей осиу 706. Вычислить координаты точки М. зная, что ее радиус-вектор равен 8 единицам и наклонен к оси х под углом 45, а к осн я †п утлом в 60'. 709. Найти углы, которые обрааованы Радиусом-вектором точки А(+6; +2; +9) с коорлинатнымн плоскостями. 767. Какая эависшюсть существует между косинусами углов, образованных прямою с тремя координатными плоскостями? 708.
Найти зависимость между: 1) радиусом-вектором р и его проекциями на три оси коорлинзт (р„. Р». р ): 2) Радиусом-вектором р и его проекциями иа три йоордннатные плоскости (РР р~. рз). 709, Зная направление прямой (сози, совр и соа 1), найги направление ее проекции иа координатную плоскость (ху).
710. Доказать, что если плэскость отсекает на осях координат отрезки, соответственно равные а, Ь н с, то длина перпендикуляра (р), опущенного на эту плоскость нэ начала 1 1 1 1 координат, удовлетворяет соотношению: —, + —, + —, = —, 711.
Найти расстояние между точками А( — 2; +1; +3) и В(О; — 1; +2) и направлекие прямой, их соединяющей. пгямоггольные кооэднндты 7!2. В точке А(+3; +2; +7) приложена сила В=15. Определить составляющие атой силы по осям и координаты конца вектора. изображающего силу, зная, что углы между этим вектором и осями координат удовлетворяют соотношению: э!па: е1п~: з1п7 = 3: 4: 5, 713. В точке А(+2, "— 1, "+5) приложена сила й 11. Зная две составляющие етой силы Х= 7 и У = 6.
определить направление и конец вектора, ее изображающего. 714. На оси х найти "кочку, равноудаленную от'точек: А( — 4; +1; +7) и В(+3, "+5; 2). 715. На координатной плоскости (ул) найти точку, одинаково удаленную от трех данных точек: А(+3; +1; +2). В(+4; — 2; 2) и С(О; +б; +1). 716. Шаровая поверхность проходит через начало координат н через точки: А(+4; 0; О).
В(+1; +3; О) и С(0: 0; -..4). Найти центр и реяиус шара. 7!7. На плоскостях координат найти точки, которые вместе с началом координат служили бы вершинами правильного тетравдра с ребрами. равными единице, :718; Найти угол между прямой. лежащей в плоскости (ху) и иаклоиееной к, оси х под углом а, и прямой, лежащей в плоскости (хя) и образующей с осью х угол а'. 719. Найти угол между биссектрисами углов хОу и уОш 720. Найти угол, образованный вектором.
компоненты которого Х=10. У=И, 2=2. н прямой, проходящей через точки Р(О; —,8: — 1) и Я(+3; —.2; +1). 721. Найти направление прямой. одновременно перпендякулярной к оси я и к прямой, проходящей через две точки А(+1; — 1; +4) и В(-;3; +2", +4). 722. Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(+5; +2, +6), В(+6; +4; +4), С(+4; +3; +2) и О(+Л; +1; +4), есть квадрат.
723. Какому условию должны удовлетворять направляющие косинусы трех прямых. лежащих в одной и той же плоскости 7 хз уа 724..Вычислить площадь эл~ип~а — е+ гг —— 1. ~Вторый является ортогональной проекцией. круга радиуса г =а на плоскость (ху). 725.
На осях координат отложены от начала координат отрезки. соответственно равные 1. 2 и 3; концы втих 6-1363 146 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОАШТРИП В ПРОСТРАНСТВЕ Тйз — 73$ 2ЭЬ Тп) гесмнетрыческав ЕНАЧЕНИЕ УРАВНенИП 147 отрезков .соединены прямыми. Определить плошаа полученного таким образом треугольнмка. 726, Вычмслить площадь треугольнима. вершины которого находятся в точках А( — 1„0~ — 1), В(0; +2; — 3) и С(+4; +4; +1). 727. Проверить. что прямые, соедннщошие середины смежных сторон косого четырехугольника, образуют параллелограмм. 726 Локазать.
что прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра. пересекаются в олной точке м лепятся в пей пополам. 729. Ланы две вершины треугольника: А( — 4; — 1; +2) и В(+3; +б; — 6). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на осн у. а середина стороны ВС вЂ” на пжжкостн (хх). 730. Отреаок АВ разделен на шпъ равных частей: известна первая точка делении С(+3; — 6; +7) н последняя Р( — 2: +4; — 8). Определить координаты концов отрезка и остальных точек деления. 731.
Найти центр 'твкести тетраэдра. имеющего следующие вершины: А(х,. уи хг), В(хз. ух. Ет), С(хз, уз. Ез). О(хе уе ле)* 732. Найти отношение, в котором каждая из плоскостей координат делит расстояние межку точками А(+2; — 1. "+7) н В(+4; РФ 2). 732». Проверить, что трм данные точки'А(+1; — 5; +3). В(+б; — 1 +7) м С(+6; 6; +3) лежат нз одной прямой. 733. Ланы две прямые: одна иэ пик проходит чешж точки А( — 3; +б; +1б) н В(0; О; +7).
а другая — через точки С(+2; — 1; +4) м О(+4; — 3; 0). Уанать, пересекаются лн вти прямые, н если пересекаются. то найти точку пересечения. 734. Уанать, лежат ли в, одной плоскости следующие четыре точки: А(+3; — 2; +3). В(О; +4; +9). С(+2; О; +6) и 1)(+2; — 8; — 1). 736. Вершины тетраэдра совпадали с точками А( — 7; +3; — 2), В(0; +2; +1), С(+4; — 1; 0) н х)( — 1; О; — 3). В результате некоторого поступательного движения центр тяжести тетраэдра окаэалса в точке М(+6; — 2; +1), Каковы будут координаты вершин тетраздра после этого перемещения) 786. Составить формулы преобразования координат. если первоначально оси совпадали с тремя ребрами куба, пересе» кающимися в одной нз его вершин, а.
нотон — с тремя соответственно параллельнымн ребрамн того же куба. проходящими через противолежащую вершину; направление осей выбрано так. что начало координат кюкдой на этих систем имеет по отношеншо к другой системе положительные координаты. 737. Координаты некоторых тачек удовлетворщат уравнению: Зхт+ уз — 2хл+ 2х — бу+ 4л — б = О. Какому уравнениюбудуг удовлетворять новые координаты тех же точек, есин переиестн мачадо координат в точку Я'(+2„ +3; +7)7 736.
Как преабраауется уравнение я ху. если. не меняя осп ль принять биссектрисы угла хОу за новые осн абсцисс и ордннату 739, Трп ребра куба совпадали с положительным направлением осей координат; затем куб повернули ма угол 9 вокруг диагонали.
Ирояодяшей через начало координат, и ребра. совпадавшие с осями„' приняли за соответствующие новые осн координат. Составить.формулы перехода от старой системы моорлинат к мовой. если:- 1) Э = 120 н 2) 9 =60 . ГЛАВА МИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ' Если мы имеем уравнение с тремя перпяеннымн н будем Рассматривать етн переменные ках координаты тачки пространства, та совокупность всех точек, каорлмеаты иатарых удовлетворяют данному ураевемяю, составит некоторую па в ер хм ест ь.
Иначе, пана уравпепив межау ерема ааарлемагами маабрюкает поверхность, Если уравнение садержнт толька, лве перемевмме н мы пралолжеем рассматривать вх кая две координаты точки прастраиства (вапрнмер, х и у), та ураввеняе представляет циаимдрмчесзую поверхнос гь, образующие которой параллельны асв неластакхцей каардмваты (ль Еслв мы иереиеияые етьга же уравнения будем рассматривать вае коорлимагы точки Соответствующей хаардепапюй плоскости (т. е. половим а =6), то уравнение даст нам направляющую етой цнлввлричесяой паверхиастм.
Если уравнение содержит толька одну каарлчвагу точки пространства (например, к), то ово изображает одну или месхальха (в зависимости от степеаи уравнения) плоскостей. параллельных соответствующей хоордеиатиай плоскости (ул). уравнение представляет совокупность нескольких поверивстея. если левая часть мо, после перенесения в иее всех членов Аналитическая гиозщтвня В пРОстРАнстВВ 746 74$ разлагается ив мждвители. $гравиеииа этих поверхностей риравннвая нуле.аюкаый сомиожнтель отделыю, пность точек. координаты аотарых удовлетворяют дзум , составляет иеиоторую' а и и и ю — линию чеиня $) ((х — 1)Т вЂ” (у+4)э+ха=26, ' лэ уз 3) ,'$;+Х' у+ 1=6; х — у=.:О; 4) Зхз-уз+ бхг = О, г=О. < уз лз 2) 9 9 Ч х — -=О; 7$жвзюпюь щыузнм,' п уравнениям пересе оретветствующиз двух поверхностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
