О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 21
Текст из файла (страница 21)
метром исе они проходят через„центр крююй. У нараболм асе диаметры 'зиралаеаьим мемду собой. Направмяпв хо1ш н направление сопрваеииого им диажтра называются сопряжевшыми,: яапразлеииями огаоснтвльао данной кряеой. Вазисвмость между двумя сопражеииымя ивпрвавеяяямп следующею во+а,в(й+й')+амза' ц (10) Сопряженными днаметрамя цззмааются такие даа диаметра, яз которых.кмклмй делит пополам хорды, парзллельнию другому'. У параоомв сопряженных диаметроа иет, тах хах все диаметры имеют евою п.во же нмвраазеиие. Главными осями кривой называются лизметрм, перпендихуляряые а сопрвхеииым, хорхам; нх вапраззеияя называются главными иаправлеииямвь В случае прямоугольной свстемы: координат глазные направления определяются из уразиеннж а„й +(авв — ам) й-а„-~.
(17) иаи 1627 ~ — ' °, 2а|в (13) а~ в — аю где у — угол между одним нз глзвивпг направлений и направлением оси х. 8 случае иосоугозьной системы кеорлинат зиеева (а~в-аю соз и) йв+(ац — авв) й — (авв — ап сов е) В (17) 120 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГВОМИТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ббт бйб окп»лп теоуия квииых втоуого порядка 121 Всвкзя кривая второго порядка имеет дяа глааиыз паправле ния, аа ясключевием окружности, дла которой главиые направления пеопределеяиие.
' Угловой козффипиент . опреяеляется для всех дчзиагроя парабоыя по формуле: д — ю а~а аы (10) аы аы' й=--~-, (19') есзп длк старших шыффяциеятоз параболы введеим обозначению ап= И, ар=яр и' аю Рз. Главная ось параболы как один мз ее' диаиетроз имеет зто жа направление и з случае щымоугольиыз координат оиа язобрвкается уравнением Тл+ ~Т у "~0. Ф (2О) Второе главное направление параболы перпендикулярно к ее лзшнетрам, ио второй главной оси у параболы нет. Вслп отнести кривую к двум сопряженным направлениям, т. е. выбрать аа оси координат щымме. имевшие сопрюкеииые иытраелеаиа относительно атой ирпвой, то в уравнение кривой не войлет чаев с произведением координат (а~з о». У параболм, кроме тото, исчезнет епш один из стаРшил членов (аи 0 зши аы О).
Вели центральную иривую отнести к двум сопряженным диамиграм' (или к главным осям то уравнение ее примет еид: ацхт+аыУТ+ б ~ 0 (21) Г»ростейшее урззяевне параболы мы получим, поместив качам» коордшшт в яершииу, т. е. в точку пщюсечениа кнраболы с глазной асмо (и' ' О), ембрав гааваую ось за ось абсцксс (ах» 6» а' =*О м а, '*щ и касательяую и вершине (оиа перпендикулярна к оси) зв ° мь ослиная: аЫ +2аш» (22) При таком же выборе осей иоордвязт мантра,зьнаи кривав нзобрззятся уравнением а' лл+»ут+2а, 0:.
(23) дсимптотм кривой можно рассматривать как те ее диаметры, юторые сами себе сопрвкекы. Угловые козффицишпы асииптот опрелеляютсв из уравнения ам+ 24И Д+ Аз 0:. (24) дсамптоты могут быть только у цшпрзльиыл крвизп: гипербола янеет две действительные асниптотзЬ эллипс дзе мнимые; в случае наресеязюпвпма прямил ашвпмоты совпздмет с агами иряиызиь Если принять асимптоты гипербомя. Ез,оси.координат, то урзяиеаие зпзй гиперболм примет зял: 2зылу+а~а .
В (~) 637. Найти дяа сопряженных диаметра кривой хт — 2ху+ +Зут — бх — бу+Зя О, ив которых один проходит через мачадо координат. равенны Лзииая кривая центральная, потому что Ь чьО. Урааиеиие всякого ее диаметра булат (х — у — 2)+ л( — л+2у— — 3) О, где Д вЂ” угловой коэффициент сопряженного лизиетрз. Так аак искомый лиаметр щюзодит через качало координат, то сяободяый член ыо уравнения должен рззяяться нулю, т.
е. — 2— — Зй О. отауда Ф=:з»», Вшаекз зто значеиие параметрая общее ура зиекяе диаметра и преобразован его, получим: бх — Ту = О. Эго —. едкого нз пскоиыя диаметрам его угловой козффицяепт =з(т» следовательно, уравнение сопряжеикого ему диаметра будем (х — у — Д+71т( — х+йу — 3) ~ О, или 2х+Зу — 20 =О 669. Череп точку (+1; 2) проведен диаметр кривой Зла 2ху+ Зут+4,к+ 4у 4=0. Найти уравнение етого диаметра и диаметра. ему сопряженного. 66(Ь.,Пинк кривая 2хз+ бху — Зуз+ Зх+ 1бу = ' О. Найти ее диаметр, параллельный ося абсцисс, м диаметр, еиу сопря»кеиный.
699, Найти два сопряженных диаметра кривой ху — уев — 2х+Зу — 1 =О, кз которых один параллелек оси ординат. 691. Дана кривая Зла+Зху+2ут+Зх — 4у: О и один пв ее диаметров х+Зу — 2=0. Найти диаметр„ему сомршке нный. 699. Составить урлииенпе диаметра кривой 2хт+4ху+ +бут — 'бх+6=0. параллельного прямой 2х — у+6=0. 699.' ОпРеделить диаметр кривой блл ху — 2хз+4у= О, обрааукацнй угол в 43' с осью абсцисс, Угол ы к/2. 694. Лана крякая» Зля+Уху+,ВУ+4х+Ьу+1=0, Найти геометрическое место середки ев хорд: 1) параллельных псн д; 2) параллельных оси у: 3) параллельных прямой х+у+1 О. 696. Найти диаметр 'цриапй .Вхя — Зху+уз — Зх+ + 2у — б = О, проходшцяй через середину хорды, отсецаемой этой припой ив прямой х — 2у — 1= О. ч" .я 12$ дпдлнтвчнскли гаоывттня пд плоскости яья 449 696, Найти середину хорды.
отсгкаемой кривбй 2хт* +4ху+Зу — 3 — Зу=о 'на' пр х+Зу — 12=0. 397. Найти такие соиракепные диаметры кривой Зхт— — бху+ буз — 4х — бу+ !0= 0, которые образуют между собой угол в 43 . Угол и=к)2. 698. Найти зависимость между угловыми коэффициентами прямых, имеющих сопряженные направлепня относптеньтии 1) вллипса -,к+ ~й- — — 1;. 2) гижрболы -в- — — =1. хз, уз . лз уз 699.
Через точку (+11 — 3) провести хорду эллипса 13+ 19 =1,,сопряжеии)чо диаметру 2х+бу=0. у 699.' Найти направлении и двину лвух сопряженных ~ша метров вллннса — + — =1, нв которых один проходит хт уз через точку (+2," +3), 90$. Найти угол между двумв сопряженными диаметрами вллнисв -6-+ — =1.
мв иоторых один образует угол в 36' у' с большой осью. 662. Определить дышу тех сопряженных диаметров эллипса -$6+ — = 1. которые обраауют межлу .мбей з угол к/3. У к з з а н н е. В этой задам удобно' воспользоваться теоремами Анозлоняя.". а*фЬ'=в' +Ь'з плЬ л'Ь'ынт.
гвя а и Ь-поду. огн эллипса; а и Ь' — сопряилвиме яолулмзметры епх т-угол между агами сопряженными днанетрзмн. 6$3$, Даны размеры двух сопряженных диаметров эллипса 2а'=18 и 2Ь'=14. и угол зыжду ишш ф=вгсз!и 2$-, Н Вычислвть длину его осей. 604. Определить угол мввау двумв сопряженными днаметрамп гиперболы — — — "- $. жыя, что действительный де уз 9 из этих лианетров втрое больше действительной оси.
606. Найти уравиывя паук сопряженных диаметров гяя ° ут перболы б — -и- — — 1, угол между магорымй рдвиявтсв иг4. фв1 ~ $9 сдынлд тяоэни квывых втояого позядкд !23 606. Дана иарабожн хз — бху-. г-9ут — 12х+ 14-У = О. Написать уравнение диаметра втой параболы: ц проходящего через начало координат; 2) соярыкенного хордам„параллельным осн х; 3) сопряженного хордам, пврадлельным оси у! 4) образующего угол + и!4 с. сопряженными иордани", 6) перпендикулярного к сопряженным хордам. 667.„$$айти диаметр параболы уз =2рх.
сопряженный тем пойлам которые наклонены под у~лом в 46' к оси параболы, 666; Написать уравнение диаметра параболы хт= бу, сопраиынного с пряной, 4х †у †. 609. 'Найти главйые' оси крнвыхг 6$6, $$амовы будут главима вси распавшейся нентральнвй крнзойР 9$$. Найти всь параболы хз 2ху+ уз+ х 29+ +3=0. Ряжения. Все дизнегрм данной параболы имеет угдозов козффкниент в $ $см. $!9'!1. Ось параболы есть диаметр, сопряженкмй первендждулврнни хордам, т, е. хордам.
с угловым коэффициентом Ь, =-- ! !система аеординвг предполагается пряноуувымжзв всяяегэ джзмвгрз этой нзрзяелы Оудзт 3у+$+Ь4-йх+2у 2) =0; врн Ь= — ! им подучим уравнение осж 4х — 4у+3=9. 6$2. Найти ось симметрии и вершину каждой из следующих парабол: 1) хт+4ху+4ут — бх — 2у+! =О; 2) 9хт — 12ху+4у) — Зх=0; в = и)2. 3) Зут+2х — бу+3=0. Указание. Вершина параболы нзжжвтся язк точка пересе пения параболы с ее осьми !24 аиллйтичвСКЯЯ ГПОМвтнид ИА ПЛОСКооти 633~ Щй 613.
Найти общий диаметр лвух кривых: хт — ху — у — х — у='0 ' н хт+2ху+уз — »+у~О. .6!4. Составить Уравнение кривой второго порядка, про- ходящей через начало координат, если известны две пары сопряженных ее днаметроа: х — Зу — 2=0. 1 бу+3 О, 1 Ỡ—.5У вЂ” 4= 0 ) 2» — у — 1=0. ) Р е ш е я и е.
Угловые зоз99нцнентм сопряженных дианетров удовлетзоравт Уравнение: а,ь+ам(а,+вь)+ама,йь О. Угло- вые аоз99ицзеитм данных аианетроз: а, ° ь!ь и лз 1, дь О, йз = 2; вставляя етн значения а указанное уравнение. поаучнш Зан+4а,ь+ам= О, ан.а„:ам *2: — 1: — й ац+ 2а~ь Координаты центра искомой ариной мы можем определить, РЕШЗЯ СОЕНЕСтаа УРЗВИЕЯИЯ Ааух ДяаМЕтРОЗ: Хь *ЬГь Уь Зти координаты должны удовлетворять уравнениям: Р' *~ О н Р й зоторые в данном случае переаишутся тзк 2хь — уз+ам О и — х,— 2уь+ам 0; вставим вместо хь и уь змчисаенные ьш зна- чения а тогда получим: аы — ! и ам -1.
Кроме того, арияаа проходит через начав вюрдннзж значит, аы О, н уравнение кривой будет: 2хь — 2ху -2уь — Рх — 2у * О! нлн хь ху -уз †— у О. 615. йве пары прямых: 2х ЗУ= О. х — у=О и х+ 2У=О Зх — буаиО служат сопражениыми днаметрамн кривой второго парадна. Составить уравнение этой кривой. зная, что она проходит через точку (+1; +1). 616. Выяснить особенности в выборе осей координат, если кривые даны следукицими уравнениями: 1) Зх'+ 2ху+ ут — 7 = 0; 2) бхь+Зуь+х 2=0; 3) х +Зу +4» — ЗУ=О; 4) ла — 2ут-+3= 0; 5) Зхь — 4уь+2у+5=0; 6) Вхз — Зут+ 2» — 5У+ 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
