О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 19
Текст из файла (страница 19)
то ати координаты опрэлелшэгса из урэвйенийг иззхв+лззув+ яза О~ лыха+а аув+лы во 1 (б) Решив уравнения ($), получим: е~анзз Ю лазе ы( Кривая имеет центр и назывзетсе центрааыюй кривой, «слн система уравнений (5) определенная, т. е. ь .1 " ',*1чьц есаа гнали! уравнения (Б) несовместны (ь О), кривая ве имеет центра в аииечной части плоскости, мы называем ее кривой параболического типц если, ившшец, система (5) неоярвдеэенная. кривая ямеет бесчясаешюе мзюжистео центрои — целую линию центров. так как лмбае точка примой азах+ азат+ лм ~ 9 является центром симметрии кривой.
зстаамш координаты центра н левую часть первоначального уравнение (1) кривой, мы выразим свободный член преобразован. мого ураэиеиия (4) через коэффициенты первоначального уравнеыик лззелзе~з1 лаз лииза~ 2уз еазэззазаа ~ еоеза~ 334 бай ОВШАЙ ТВОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 109 А еаэмааетса дискриминаитом криввй„а Ь пвэыэветса днскрпзпь нантом старзииз членов.
' Таким образом, уравнение кривой, ошесениой к центру, имеет Вкм А едХа+ 2аззХУ+ яыуз+- = О. Ь (т) 634. Составить уравнение кривой второго порядка, про- ходящей перса следующие пять точек: (О; О), (О; +2), ( — 1; 0). ( — 2„' +1). ( — 1; +3). 636. Какую кривую второго порядка можно провестм через точки: (О; 0).
(О; +3). (+б; О). (+2; +2) и ( — 2; +1)? 636, Даны четыре точкнг (О;+16), (+3; 0). (+6; 0) н (+2; +3). Провести через них кривую параболического типа. Укааэиие. Параболическая кривая определяется четырыщ услоененн, потому что меищу ее аоэффициезизмн доливо суще- стэовать соопюшеиие аззаш-~э О и, следояательио, уравнение парабзмшческой кривой содержит только четыре независимых пара- метра. 63Т, Какой вид примет уравнение криво» хт — 4ху+ +. Зуз — 2х+ 1 = О.
если перенести начало координат в точку О'(+1: О)? 636. Дана кривая ху — бх+2у+3=0. Найти преоб- разоиаиное уравнение' втой кривой' после переноса начала координат в точку (' 2; +6). бззв Найти Преобразованное уравнение кривой АР+ бх— — зу+ 1 ~ О, если начало коордимат будет перенесено в точку ( — 3; — 'Ц.
640..Найти центры следующих крнвыхт 1) де — зху*2ут — 4х — бу+ 3 = 0', 2) Зхт зху+ЗУт+4х+4у 4=0; 3) зхт — Зх» — ут+Зх+.Зу=О; 4) ха — 2ху+ ут '4х бу+,3 = 0: 6) хт+ 2ху+уз+ 2х'+ йу — 4 = О: 6) ЗР-4ху+бут —.Зх+6- О; у) Р— 2 у-Зу -4х-бу+ 3=О; 3) ха+ бху+ 9ут+4х+ 12у 6 = 0; 9) 9хт — бху+ут+2х — Т=О; 10) де — 4ху+ 4ут+ 10х — 20у+ 23 = О. иО лм»литическ»п гвомптэия и» плоскости 341-бсй ОЩЦАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРИЛКЛ Ш 641,: Прн какщс значениях параметров а и Ф урапиещв ха+бар+аут+ Зх+ Фу 4 =О изображает: центральную кривую; кривую параболического типа„кривую с лннией центров. 642. Найти центры кривых: 1) Зхз — Зху+ут+4=0$ 2) Зхз — 2ху+4=(Р 3) Уху -3=0; 4) 9ха 12ху+4уз 1= 6; 6) ицхт+2аззху+а ~Р+а О.
643. Какой внд примет уравнение кривой 2хт — бху+ +Зуз — 2х+2у — 10= О. сслп перенести начало моор динат в ее центр? 644. Пользуись перенесением начада координат, упрг~- стить уравнения следующих кривых: 1) ухз+4ху+4уз — 40х 32у+6=0; 2) хе — Зху+ 2х+2у+1=0; 3) бхз — 4ху+ 9уз — 4х — 32у — 6 =О. 646. Составить общее уравнение авек кривых второго порядка, имеющих один и тот же пвнтр (хз, уе), 646.
Кривая второго порядка проходит черьеапйчвло коор цниат, серва точки А(ОР +1) н лз(+1; О).' Кроме того, известен' ее центр "С(+2; +3). Составить уравнение атой крипйй. 647. Найти геометрическое, место центров криаык хз+ +2ху — ут — Зах+4ау+1'=О, где а — 'переменный параметр. 646. Найти геометрическое место центров всех централь ных кривых второго порядка, проходящих 'черви четыре точки: (О; О). (+2; О), (О; +1) и (+1; +2).
2. Условие распадение кривой второго порядка ' па пару приищи. Исследование общего уравпензги Второй степени Если леван часть уралпещщ кривой второго иорюпщ а„а+2л, у+ 3+2 т+2а У+е э О (1) может быть разложена нз дза линайнмх множителя: лплз+ 2люху + аззуг+ 2а,зг+ 2еззу+ азз (А,х+ В,у+ С,) -(Азх+Взу+ Сз), то соответстеующзя кривая состоит ю двух пряных, уравнения которых мм получньь прнрзяяииая нулю отдельно каждый нз линейных множителей. г»в 'говорим, что кряезя зторого порядка распалась на изру аряных. Необходимое и достаточное условие тою, чтобы ураэиечне (1) представляло пару прямых, эззлючастси и Равенстве нулю дискрийннлнта кривой,г.е ~лн а,зою Ь~ лз, лю лю ~~0.
Есля зто условие еыгюлиено, то координаты точки иересеченка соетвзтстцующнх двух прюазх определяются нз уравнений .о„х+аюу+ею. О, ' имх+июу+нюь~б~)~ 1 в угловые ноэ$$ициеиты этих пряных удоялетзоряют урзэяеняю: азз»з+ уа,з»+ и, ~ *~ С. (1О) ' исследование уравнений (й) и (1б) наказывает, что среди центральных нривэщ. (В Р*О) сущеаюуют Раснавкзззся крявые, состоищяе кз двух раззичимд нврщюкзяициацз пряных (д, чь йгу ири этом не исключена возноюввспь Чте ВО'О, п угловые коэффициенты нрямзщ оказмааютсв тогда мивпымщ и этом случае ирамые ющвзаются минмымк, не еин инеют общую вещественную точку,— вся ярияая стянулась в одну точку.
Лрк ныпоаиеинн усаовяй Ь О н Ь О кривая Распалаегса яа Две йзрзллельиые прамые (Ь, = Ьз) И нмсег лииию цеитрОВ (систсна уравнений (9) становится неоиреаелещюй); .Навещь. воэяяикне, что те ицюллельные правые, на которые распалась крнаая~ ющьются; тогда не созыв Ь = О, но и все остальпые'миноры второю порнлказ) дяюциипщзитз Ь обращаются э нул Ац~ установление, энне нераснздающейся кривой пользуемся пнленещюм ВЬвравлснря осей коордниаю всегда зозмоищо найти такую ернмоугпйьйую систему 'координат, чтобы иреобразопащюе урааиенне кривой не,содержало члена с произведением коардивзт, ю ю всегда мщкно подобрать такой угол а между вовой и старой,осямя абсцисе, чтебы паеМ ереебразовання координат ') Уравнения (9) рзвносилбвв уравнениям (5), определяющим ппмгр кризо(к асли прияла Разил»затон ка пару пересекающихся пряных, то точка кх пересечения является центром кряюзй.
з) Мяворами второго порядка называется те определители втоРого порядка„которые поаучмощн на Ь вычеркиванием щоюго нз столбцов к одюй цз строя;,например, В получается вычеркиванием последию1 строки н послющего спйбцл. И2 АЯАлнтнчискАЯ гиюмктпня ПА плбскОсти $49 по формулам егп е »' Мп «+ у' соз « згп « новый коэффициент а,з обратплся бм в нуль Уравнение кривой.
отнесенной к центру, примет пи.с , °,,э .А аг'" +зш" + ь О. (! 1) Если Ь ~ О, уравнение (11) изображает эллипс (действительный нли мшгммйК если Ь < Π— гиперболу. )(ля крнпой параболического типа 1«цап — а,т О) одновре- Ф Ю меиио с а,т обрашаетса в нуль один пз коэффициентов ац я авз т. е. преобразованное уравнение будет содержать лишь один член второй нсшпени: "и» +2«,з» +Згшу + "зз=б (12) (12') епт +2«ш» +2«НУ +аж Ц оба этн уравкення изображают параболы, у которьпг ось симметрии параллельна одной ма осей юординат. Таким образом. при исследовашш..общего ураянешш кривой второго порядка можно поаьзоватъсв следуаяцей таблице!с 649.
Исследовать. какие кривые дины следующими уравмееиями: 1) хт — 2ху+2ут — 4х — бу+3=0; 2) хт — 2.ту — 2уз — 4х — бу + 3 ««О.' йьб 661 овщля твОРня кзниых Втопего пояяйкв Из 3) «з — 2ху+ у' — 4« — бу+3 = 0; 4) «3 2ху+2ут-4х-бу+29=0; 13 5) хт — 2ху — 2ут — 4.т — бу — —. = О. 3 Решение. Возьмем уравнение 1); коэффициенты в нем нмемг СЛЕДУЮЩИЕ ЗпаЧЕНИЯ: ап 1; а~э'= — 1; азз 2," а~э — 2: азз" -'К ам 3. Составим из нпх дпскриимнант кривой б. дискримниант старших членов Ь н вычислим оба зняс определителя: ан аж а~э 1 1 — 2 А = а„.н азэ аээ — 1 2 — 3 6 — 6-6-8 — 9-3 = — 26: ам азэ аэз -2 — 3 3 Ь~» ' »««.»»«2 — 1=1.
Итак. Л ча О П Ь ~ Ф'сзедеватемлаь мм имееч эллипс. 666. Определить внд следузощих кривых: 1) ' хэ+ 6«у+ уэ.)-. 6«+ 2у — 1 = О; 2) Зхй -Злу+Зря.+4«+4у — 4==0: 3) хз —,' 4«у+ Зуз+ 2х — ''2у' О; 4) ут+:Зху — 14«а=.О: 5) хз — ху — ут — х — у =О; б) «э+уз 4х — бу=О; Ч) ~х+~у=)~е: 3) хз — 4«у+аут'+2« — Зу — 1=0; 9) Зу+Зх+12у-3=О; 10) 9хз — бху+)Я вЂ” бх+2у=О; 11) 4«я 4ху+уЧ-4« 2у+1 «нб. 66!.
Пользуясь раалояюиием левой частя уравнения иа множители, выяснить геометрический смысл уравнений: 1) ху — йх — ау+ай=О; 2) хт — 2«у+ бх = О; 3) «-4у+бу О: . 4) Охт+ ЗОху+ 2буз О; 6) 4хт — !2ху+9ут — 26 нО. 1И днллитичисклп гвоыитяни пд плоскости Ш-йбй 666. Проверить, что уравнение ут-ху — бх+ 7у+ 10 = 0 представляет пару прямых,. н найти уравнение каждой ив этих прямых. Решение. Способ 1. Прежде всего состэеляем оба днсирямнианга и вычисляем. их величииг: 1 5 0 — — —— 2 2 1 7 2 б 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
