О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 23
Текст из файла (страница 23)
юлзрно-сопряженных дтивой тачая Р." нх геометр1и чесюе место есть праман-поляраа данюй инки(позвав Р). Нз двук еопрваеннпя точек кзхР дая лежит иа поляре фугой. Поаяра 'точкйР(х, у') имеет уравнеюе: (яих +лнд' +л|х) х+ , ° +(япх'+ яхту'+егэ) у+ Рис. 33. +Фа,хг+ у+)-й (19) Если точка Р лежит на кривой, то ее поляра созязглет с кз сательюй з втой точке.
квхдая врямаа Ах+?гу+с ' О имеет опредехеввый новос относитезью давай кривой втщико порядка; иаврдпнатм етого позмса опредаззк вся нз условия вропорЫнональноетн коэффициентов уразнення прямой и уравнения поляры; ;+о««+м '"+ ««+ А Ег,'нг ю дзук щюмыа. Олив преходят чарек нозюе дрУтпй«то и другая проходят через новос первой. Таяне две щжмме иаввавтеа сояряженнымы отюсителью данной кривой. 644. Составить уравнение поляры точки )з(+2; — 1) Относптелью крпюйг хв-1- бху+)Я+Ох+ 2у — 1 =*0. 646.
Найти позеру точки. 1) ( — 3; + 5) относительно крквой 4хз+ 2ху — ут+ + бх+ 2у+ 3 О," 2) (О;+ 1) относительно кривой ЫР-хч-?у~+ 4у 0; 3) (+1„— 2) относительна кривой 2хз — 4ху+бут— бх+6=0; 4) (+7; +5) относительно кривой хх — 2ху+2ут— — 4х — бу+З=О; 5) (О; О) относительно кривой хт — 2ху+2ут — 4х— — бу+ 3=0; б) (О; 0) Относительно кривой адхз-)-йа„ху+ апут+ + 2агзх+ Заву+ азх = 0; 7) (хн у,) относительно кривой —,+ —,=1; ла уз 8) (+5; + Э) относительно кривой — — — =1; 9) ( — 3; +2) относительно кривой уг=12х; 10) (+.1;'+1) Отюснтельыо кривой хт — 4ху*Зуа+ + 2х — 2у =ж О. 646.
Вычпслнть каордимвты полюса прямой х — бу+8=0 относительно кривой; Зхх — бху+.Зут — 4х — бу+10=0. 642. Найтп кавос прнмайг 1) 19х-:-,17у . 41-а=б Относительна кривой 2хх — ху— — Зут — х- бу — 15=0; 2) осп абсцисс относительно кривой 2хт — 4ху+бра— — бх+бжнО: 3) 15х+4=0 относительно кривой 9хт — 4ху+бут+ +бх — бу+2=0; 4) х+ Зу+ 1 = О Относительно кривой Зхт+ уху+ + бут+4х+бу+1=0; 5) х — у+ 3 = 0 относительно 'кривой 2хг+ 5ху— — Эут+Зх+16у — 5=0; 5)'Эх ' 4у — '12=0 относивльно кривой — + — =1~ У' У) 2х+бу —,1О=,О относительно кривой у'=бх. 643. В точках пересечения кри юй хт — 2ху+ ух+. 2х— — бу=б с прямой Зх у-)-бе=0 проведены касательные к втой кривой. Найти точку пересечения насательнык.
649. Из точки«Я4(+3„+1) проведены две касательные к кривой Зхт — 2ху+Зут+4х+4у — 4 О. Найти уравнение юрды, соединяющей абе тачки прикосновения. 660. На прямой 4х+Зу' ' !2=0 найти точку. полярнасопряженнув с началом координат относительно кривой 9хг + 24ху+ 16ут 49х+30у О. 132 АИАЛИтичЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИА Пдаакости йэ! Вэй 661. На прямой 4х — у+50=0 найти тачку. полярна- сопряженную с тачкой (+5; +1) относительно кривой хэ бху+9уэ — 12х-1-14у —,7=0.
652. Через точку М(О; +3) провести прямув, полярносопрвленнув с првэой х — Зу+22=0 относительно кривой 2ху — бх+4у — 1=0. 653. Найти условие, при котором дзе прямые Ах+Ву+С=О и А,х+В,у+С,=О являются сопрвяенными относительно кривой апхэ+2апхУ+ амрз+ 2амх+2авУ+ азэ —— О. Какай вид примет эта условие. когда кривая дана простейшим уравнением г 654. Докаапь, что поляра точки относительно круга перпендикулярна к прямой. соединяющей эту точку с центром круга. 655. Докааать. что если две точки сопряжены относительно круга ла+ ут = !!э и расположены на одном и том же его радиусе, то расстояния нх от центра круга удовлетворяют условию р*рэ=!!э. 656.
Доказать. что диаметр. делящий хорду пополам, проходят через полюс этой хорды. т. е. что ан ей поляриосопряжен. 657.,Проверять. что поляра любой точки директрисы кривой относительно этой кривой проходит через ее фокус. Укаааиие, Уравнение кривой взять в кананачесной (яра стейшей) Форме. 656.
Доказать, что всякие дее полярна-сопряженные прямые. проходящие череа фокус, перпендикулярны друг к другу. Указание. Уравнение ирнвай взять в простейшей Фариз. 659..Доказать, что поляра любой точки асимптоты гиперболы паоаллельна втой асимптате. ле уэ 666. Концы малой осн эллипса ~+ 15 =1 соедввены с его фокусами. Найти полярнув фигуру получившегося ромба относительно этого,же ваанпса. Указзяне. Полярная Фигура даниага многаугоаьннаа ео ставлена нз полюсов его старом и иеляр его вераниь йэ! йбэ ОвщАя теОРия кРивых вгаРОгю пОРядкА 133 хэ уэ 661.
В гиперболу —,1- — 5-=! вписан треугольник, вер- 1 шины которого даны своими координатами: А(+4; +6). В(+4; — 6) и С( — 2; О). Найти .фигуру, полярно-сопряженнув с треугольником относительно втой гиперболы. 662. Найти геометрическое место полюсов касательных хэ уэ к окружностм хэ+ уз=9 относятельно вллипса — + —" =1. .9 в 663. Найти геометрическое место полюсов касательных кэ уэ ле уи к эллипсу — + — 1 относительно гиперболы — — -= !.
лэ Ьэ лэ Ьэ 664. Если соединить любую точку Р(к,, у,) с фокусом эллипсе Р и провести через Р перпендикуляр к этой прямой (рис, 54), то этот перпендикуляр. поляра р точки Р и директриса, ' Р соответствующая фокусу Р. Яересекугся а одной тачке. Докааать эту теорему аналитически к' геометрическя., и 665.
Найти крмвув второго Р, порядка. которая имеет центр в Г точке М(+з/э; +® и поогнашению к которой вершины тре-' угольника () (О; О). А( — 1; + 1). В ( ~4 + ® служат полвсамн Рис. 54. противолежащих. сторон. 666. Относительна кривой второго порядка ась ординат служит полярай тачки (+5; 0) и ось абсцисс — нолярай точи~ (О; +3). Составить уравнение этой кривой. аная. чта она прохалнт через точки М(+1; +2) и гэ(0; +эЦ, 7. Задачи на фанальпые свойства кривых, пе отнесенных к главным направлениям') 667. Составить уравнение параболы. Фокус которой находится в точке ( — '(э', — э!з) и директриса лана уравнением 3 -Зу+3=0.
666. Состааять уравнение параболы, зная две ее точки (+ 2; О). (+ 12; О) и уравнение директрисы 2х — у+ ! ='О. ') Ва есел залатал этого параграфа предполагается, что н. и/3 114 АнАлитическАя геоиетэия НА плоскости 99 б?7 669. Составить уравнение кривой второго порядка, зная ее 'эксцентриситет е= г' 5.
фокус Р(+1; +1) и соответствующую директрису х+2у — 1 = О. 676, Кривая мрохмнт через пиву А (+ 7; О); кроне таге. известен ее фокус е" (О; +1) н директриса х — у+3=6. Написать уравнение этой мривой. ' 67!. Найти раэмостороинюю. пщерболу, директриса которой лана уравнением х+у — 1=0 н соответствующнй фокус — ксюрлннетами х=+1, у=+1.
672. Найти фокусы и директрисы кривой бхт — 8ху+ + 5ут — '12х+ бу = О. Указание. Один на сиесебев ренмнна зантмчзетсз в том, чтобы отнестн дзинув «рнзую к ее глазным осям, определить координаты фа«уса по «зноннчес«ому уравнению н потов вновь верейтн «перзонзчзльяой системе «еорднлат. Даре«тряси апределютсн ка«поляры фокусов.
Крутой способ позволяет избезмть преобразования юордмзат, а нменю: вбозначим коордннзты одного ю нскоммх фокусае через хь у~ и уравнение сеотзетствувщей Лнректрлсм возьмем в юр мальйом внле хсозе+ув$н«р *41 тогда уравнение «рнной может быть представлена та«: (х- хдт+ (у — у1)з е'(х со« «+ уз!ૠ— л)т. Из условна ирепорпнонзльностн «азффнцненюв етого уравнен«я н дзнюго ураененна мы определим пять не«заветных: хн ун е, е н р, что даат нзм сразу «оордянатм фе«уса н параметры нз уранвенвя лире«трисьь 673. Найти фокус н директрису параболы Охт — 24ху+ + 16ут — 16х — 12у — 4 =О. 674, Гипербола проходят через точку А(+2; О) н имеет следующие фокусы".
Р,(+2; +3); гз(+1; 0), Составить уравнение втой гиперболы. 676. Даны фокусы эллипса Р,(+ 1; +3). Рт( — 1; +2) н озла на его касательных: х — у+4=0. Найти уравнение этого эллипса. 676. Можно лн найти гиперболу по заланиям предтнествувщей зздзчв? 677. Дапы дза фокуса кривой Гт(+1;+ 1), Рз( — 2; — 2) н одна на ее лиректрнс: х+у — 1=0. Найти уравнение втой кривой. бтб-бб4' оэщвй теогия книвыи этагого понядкл 135 676. Составить уравненне крпэай второго порядка, зная 1 ее эксцентрнснтет е = — и координаты двух фокусозт (0„0) и ( — ~й; +~/Б). 676. Верщина параболы совпадает с началом координат, з фокус нахадитсн в точке (+1; +1).
Каково уравнение этой параболы? 680. Составить уравнение параболы, проходящей через точку А(+2; +1), еслк известна ее днректряса х — 2у— — 5=0 и ось симметрии 2х+у — 1=0. 681. Кривая второго порядка прохолит через начало координат, имеет центр в точке С(+1; +2) н ее директрисой служит прямая х+2у — 1=0. Найти уравнение кривой.
682. Гипербола имели фокус в точке ( — 2; +2), п пря» мыс 2х — у+1'='О и х+2у — 7=0 служат ей асимптстами. Найти уравнение гиперболы. 683. Гипербола проходит через точку А(0; +1), имеет фокус в начале координат. н прямы х — 1=0 служит ей аснмптотой. Найти уравнение, этой гиперболы. 6. Сжвщцпиые ацдачи 684. В точках пересечения асей координат с прямыми, принадлежащими одному и 'тому же пучку, проведены пер пепдпкуляры к соответствующим осям. Найти геометрическое место точекпересеченняэтнх перпендикуляров; угол Ю ° е 2' 684э.
Стержень Щ вращается около не- К й подвижной тощи Р и полталккюет прямоуголыпзй треугольннм АСВ. сюльэяшяй по Рнс. 35. прямой /И (рмс. 55). Найтя геометрическое нестоточек(лт)пересечения стержнвР(( с нроюлжением гипотенузы АВ. Составить уравнение, исследовать и вычертить соответствующую кривую. Привести полученное уравнение к простейшему виду. 13С лиьлитнческая геомвтгня нл плоскости бвз 69$ . 685. Нлоскость в скользит по. неподвижной плоскости 8 так. что дзе ее тачки А и В перемещаются ао лзум перпендикулярным прямым неподвижной плоскости. Определять и исследовать траекторию любой лругой точки С ползижиой плоскости (рис. 86).
взз-ззз азщея теогия кгывыз втогого погадка 1зт Рис. 56 Рис. И. 686. Дакааать, чта оси эллипса. описанного точкой С в прелшествувщей задаче, направлены по прямым ОА' и ОВ', саелинжощнм начало координат с концами того диаметра круга ОАВ, который проходит через точку С (рис. 6?). Найти величину этих осей. Какие точки йайвнжпай плоскости описыввот зллимсы с совпадавшими' асями? Какие точки описывают эллипсы с соотэетстзеняа разиымн асями? 666е, Окружность катится без скольжещш по внутренней стороне лругой неподвижной окружности, радиус которой влзое больше ралиуса катящегося круга. Какова трлектария любо» точка„неизменно связашвй с катящимся кругом? 687.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
