О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 22
Текст из файла (страница 22)
6«7 ваа ошцая теопип квивых втозого погадка !25 6!7. Относительно некоторой прямоугольной сцстемы координат кривая лана уравнением: 2хт — 12ху — 7уь+ 8»+ -+ бр =О. Преобразовать это уравнение, приняв за оси координат главные оси кривой. 618. Отнестк к главным осям Кривые. данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями: 1) 9»з — 4ху+бут+бх Ву+ 2=0; 2) 32»з+ 60ху+ 7ут — 16х — 2у+ 1 = 0; 3) 2ху+Зх — у — 2=0; 4) бхз+ 4ху+ Зут — 32» — ббу + 80 = 0; 5) 5хт+ 12ху — 22х — 12у — 19 = О.
619. Уравнение кривой. отнесенной к двум сопряженным диаметрам. составляющим угол и/3, имеет вил: хт+ уз= 4. Найти уравнение той же кривой относительно ее главных осей. 626. Отнести к главным осям кривые: 1) Злв 4ху+ 4ут 2х — '4у+ 2 = О; и = 2н/3. 2) хз+ »у+уз —;2» — 4у — 12=0; м=я(З.
621. Выяснить особемностм в выборе осей координат. если параболы даны следувщими уравнениями: 1) хз — 2»у+уз+2» — бу=О; 4) хз — бу=О; 2) 2»т+ бх — у — 1 = О; . 6) 4ут — 2х — 3 = О. 3) Зхз 4у+5=0; 622. Привести к простейшему виду уравнение параболы ' ' 9»я+24»у+16ут — 40х+ЗОУ=О; м=и/2. 623. Прмаести к простейшему виду,уравнения следующих парабол: 1) хе+2»у+уз — 3»+4= 0; м=н)2. 2) .
з-(-2»у+уз 6» ).2у-З=О; = 73. 3) ха+у=О; и =2н/3. 624. Отнести к вершине следувцнв центральные кривыщ 1) Зху+Зх — у — 2=0; 2) хт+2уз — 16=0; хь уь 3) — а 1. аь аь Во всек трех случаях и ви!2. 126 АИАЛИТИЧЕСКАй ГЕОМПТРИй ИА ПЛОСКОСТИ 626626 625. Найти аснмитоты следующих гипербол: 1) Зхт+ 2ху — ут+ Зх+ 1Оу-+ 14 = 0; 2) Зхт+ 10ху+ 7ут+ 4х+ 2у+1'» 01 3) 10ху — 2уя+ бх+ 4у — 21 ='.0; 4) 2хт — Зху — х+ Зу+4=0.
626. Доказать, что все кривые. уравнения которых отличаются друг от друга только свободными членами, имеют общие асимптоты. Найти, например. асимптоты кривых 2х'+ Зху — 2уз+ Зх+ 11у+ А= 0 прн различных значениях параметра Х. 627. Доказать. что если дзе кривые имеют общие асями готы. то ясе члены нх урааненнй. кроме саободиых членов, имеют пропорциональные коэффициенты. 628.
Составить общее уравнение дла эсех крниык. Имеющих прямые Ах-1-Ву+С=О и А,х+В,у+С~=О своими асимптотами. 629 Кривая второго порядка проходит череа точку(+1; — 1) и имеет своими асимптотами дзе прямые: 2х+Зу — б= 0 и Зх+Зу — '8 О. Состаюпь уравнение этой кривой. 630. Составить уравнение кривой. касающейся прямой 4х+у+ 6=0 и'имеющей прямые х — 1='О' и 2х — у+ + 1 =О.своими асимптотамн.
636в. Какому условию удовлетворяют коэффициенты общего уравнения гиперболы, если гипербола разносторонняя? 631. Какой вид миеет урааненяе гяперболы, если одна из псей координат или-обе осн параллельны асимптотам? 632. Составить уравнение гиперболы. проходящей через точки (+2; +1). ( — 1; ' — '2) и Я. — 9(~). прн условии. что одна из ее аспмнтот" совпадает с осью абсцисс.
638. Уравнение гиперболы, отнесенной к главным осям, Аа ув имеет акщ —,— —,= 1. Преобразовать это уравнение, приняв асимптоты гиперболы за новые оси координат. 634. Отнести гиперболу 2ху — 'бх+4у — 1 =0 к ее асииитотам 636. Как преобразуется урааненне гиперболы 2хт— — 12ху — 7ут+Зх+бу= О, если ва оси координат принять ее асимптоты? Угол»=и/2. 686. Сколько членов второй степени и какие именно могут войти в уравнение: 1) эллипса; 2) гиперболы; 3) параболы? 627 овшдя тновия квизых этозого повядкл !27 б. Преэбрааопаиие ураинэппп приаой эторого порядка с поыощьщ мипарпаптоп Если одна и те ае вриазя второго порядка, отяесеивая в двум рвзлячвым преизвольие ямбраяяим системам координат с воорданвтиыии угламк» и»', наебрзмаятся урваиенияию „+2 илу+ от+2,.**2и„у+~,-О апх +2аиху+алув+2аих+2аму+ай* О, (1') то имеют место следующие равенствгс ап+ атт — Загсов» ли+ай — 2аы сев" — жатв ю ю Ф апаы-лю апаы- ви --ввт— ваяв» ° Ф У ап аи а~в ай атз аю в Ф ° ии аы азэ т.
е. существуют выражения, составленные из ковффипиевтов 'уравнения кривой и соответствуйпинэ коордивитвого угла, хеторые ие меняют евсей величины яи при вазом преобразования декартовых координат. Таяне выражения называется и и в в р и в и т з н в врввой второго порвдвв. А1ы момен полыюваться тремя вышеприведенными иивариаатвмн: 7 аи+~ав — 2аюв сев» (26'] !~ змг» э з Хв» (27') тв вв А (З') длв упрощения уравнений аривой второго порядка. если только уравнение кривой после яреебрзиииниа седермят ве более трех ковффицяеитов. 637. Пользуясь яивариаитами. отнести к главным осям кривую 40хт+ Збху+ 2бут Зх 14у+ 1 = О, зная.
что » = н/2. 128 АиАлитическАВ ГеюыетРив иА плюскОсти 838 887 Решение. Нскомое уравнение имеет слелувнцвй внх лил»+аз»Ха+еж*-О, причем в' вХЯ. Для прямоугольных систем коордиват инварианты упрощаются, так как з!Вв з!Ввв'в= ! и сюзм в созе' юю, и мм юудем иметь. Хв =ли+в»в, 'Х»~$! Хв~д. Найдем числовое значение зтвш инва. рнантов, исвмоля из данного уравнению Х, 40+25 бб; Х,*=40 25 — !82 =676; 40 !8-4 Хв ж 18 25 -7 — 676 1 — 4 — 7 1 Составим теперь выражения зтнл же ннвариантов через козффн Цнвитм ПРЕОСРа»ОВЗННОЕО 7Разввииж Хв* а!в+В»„Х» апаш! Хз .а,ваыазт Тзк как инваРнаитм ™е менЯют своей величины пРи преобразованяи координат, то мы можем прправнять между собой найденные для инз выражения, содержащие козффицнеяты первоначального н преобразованного уравнмввс вы+в»2 85: вввяю= 578! в!!а»вяз» вЂ”.б75 Нв етой системы уравнений мы определяем неизвестные козффвщненты преобразованного уравнению ав, — Ц а,', 1х ໠— — 52.
н искомое уравнение будет: !Злв+5272 !. Таким ображм. пользувсь инварнввтамн, можно привести уравнение кривой к простейшеиу Виду, ие отыскивая еь центра, осей и не со»тазам формул преобразования координат. 636. Пользуясь иивариантпми. привести к простейшему виду уравнения следующих крпвых: 1) х»+ 2ху.— 'у»+ Зх'+ 4у 3 = 0; 2) 7х» — 24ху' — Збх+24у+176=0; 3) б + Злу+. 5)л — 13 — 13у+9 =0: 4) бх»+!2ху 22х 1Яу 19=0; б) бху+ Зу» — 12х — 26у+11 =0 при условии, что все онн отнесены к прямоугольной системе координат. 639. Пользуясь инвариантами, упростить уравнения сле дующих парабол: 1) х2 — 2ху+ у2 — 1Ох бу+ 26 = О: 2) 4х» — 4ху+ ут — 2х — 14у+ 7 = 0; 3) х» — 2ху+ут — х — 'Яр+3=0; 4) 4х» — 4хУ+Ут — х — 2= Ох 648 848 Опщлп теОРиЯ кРивых ВтюРОГО пОРЯдкА 640. Упростить уравненмя следушцшх кривых» '1) хт — Зху+у»+1=0; ю — кХЗ, 2) Яхт+Яр» — 2х — бу+1 — 0; ы — кр 3) 4х» — 4ху+ут — 4х бу-~-7 —.0 ю — 2 р 640е.
Отнести к главным осям кривую х»+у»=4. если известно, что м=к/3. 641, Отнести гиперболу Зут+ бху — 12х — Ябу+ 11 = 0 к ее асимптютам, пользуясь инвариантамн. Угол м=мХЯ. р е ш е н в е, Уравнение кривой, отнесенной к аснмптотам, имеют внд: 2ев»хУ+ вы ~ О. Нам надю найти двв невзвествык ко»ффнцпентв а,», азз и новый координатный.угол м'. т. е. угол между аснмптотами. Найдем числовую вшшчнну нвввриаквтмЬ пользуясь ланным уравнением, пРи в' *88; Хг РВ, Хв=' — 9, Х»=8!. ВыРажениЯ зтнх ннваРнаетов в новых козффяцйевтах будуж в 22 в» в Яяв»сюз м' е,т вйеп Х, вв— з!пв в' ' Ыпв и 'в Хв' — — 2- 'н Хв* звп в' Фв а,» звпвив = ФВ в Ялв» соз в' — — =8, а!пввг и Ы х 81' В,»аы Решив ил, получим: »Зм' ж»Хв.
з!Ввв' »Хнй яь» =-9 п а,»- ж»Хв искомое УРввнение'бУДетт ж в»Х»кУ вЂ” 9 .б:. ВыбнРаем направленце осей так, чтобы гипербола была расположена в нормальном угле и вертиказьном к нему углщ тогда после упршценвй получивс лу »Х». 642. Отнести к асимптотам гиперболы, данные отнюсктельно прямоугольной системы, координат уравнениями: 1) 2х»+Зху — 2у» — 8х — 11у=О: 2) 4х»+2ху — у»+Ох+Яу+3=0; 3) у — Яху-4 — Яу-2=0.
Х1ля определенна трез величин в', е,» и азт имеем три урав- нению 130 Аналитическая геомктзия ИА плОскОсти $43-$43 643 йва Овпьхя ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 131 643. Относительна пакаторой прямоугольной системы координат кривая изображаетсл уравнением бхт+12ху— — 22х — 12у — 19=0.
Составить уравнение втой же кривой относительно ее эерпвны. Указание, Отнести крввум к вершные значат принять акяу ю осей кривой за ось абсцисс, перенести начззо координат в нержину и щанять касательную в нержине за ось ордввт. 6. Палгос ы поляра Две точки Р и'() называются полярно-снаряженными отяоевтельно кривой ' второго порядка, есзн прямая, нк сееднимохцая, пересекает крнеув в двух точках ?4 н Ф, гармонкческн раз- 4 деаввкик данные пнвп Р я 0 (ряс. 33). Существует бесчисленное мкожестзо точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
