О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 18
Текст из файла (страница 18)
49 т, $2 2 4 й 487. Вычислить длину сторон правильного треугольника„ зпксзвйопз в параболу уз='йух. 489. Найти точки пересечивш параболы ут = 96х со сле- 1) бх+у — 6=0; 2) Зх — Зу+2 О; 3) 4х — у+.6= 9; 4) у — 3= 9. 469. Найти точки пересечен»я параболы ут=112х с м» 4+4=' 499, Состаеять урззаемкеойщей 1шрды пзрвбоще ут = 19х "., н круга (х+б)т+ут . 190.. 49$, Через фокус, парабвли ут=2рх проведена хорда, перпенднкулярнаа к ее вск Определить длину щей хорды. 491е. Составить урашищш сторон треуголыписз, вписанного в параболу уз=Зх. зщщ.
что одна кз его вершин со впадает с вершиной параболы, а точка пересечения высот соишдает с фокусом пярвболи. 492. Через течку ~Ц+2;-+1) превеегн такую хорду параболы уе=4х. ' потерев делклмь бы в дмишй течке по 496. Через точку Р1+6; — 7) провестн касательную к параболе уз=3х. 494. Лана парабола ут — 4х н касательная к ней х+ Зу+ +9=0.
Нввгк точку их прккосковениа. 496. Локазвть. что любая касательная параболы уз = 2рх отсекает на 'отриндтельной части оск х отрезок, равный абсцмссе точки прикосновения, а на осн у — отрезок. разин» коломны ебипвипп тачки прпкесповеяив. 499. Лип пврвбши ут:= 19х. Прояесткп ней пвсательнуеи 1) в точке'с вбсцнссой х=З; ' 2) параллельно прямой Зх — у+6 О. "' 3) перпешшкулярно примо» Зх+у — У=О; 4) образующую с прямой 4х — 2у+9= О угол е/4, 49р. Найми "уикшпе. прн петером прямив у=йх+Ь касается параболы уз= 2рх. 498. Найти кратчайшее расстояние параболы ут=64х от прямой 4х+ Зу+ 46 О.
499. Вычислить парачвгр параболы уз=йух, если известно. что ома касается прямой х — 2у+б О. 600. Найти общие касательные эллипса 46+.— =1 и ле Ж 2О. паРаболы Ут = и1зх. 609е Нз параболе уе= 12х взяты грк точки. ординаты которых'уг=б. уз =2 к уе= — 3. Вычислить отношение площадей двух треугольнпкощ треутольпиял с вершннамн в указанных точняк н треугольпякв,: образованного касательными в згнк точках. 601. Доказать, что любая пзсзтплиия параболы пересекает директрису и фокальпукь„хорду.
перпендикулярную к оси, в точках, равноудалищых.от'фокуса. 692. Локщщь, что геометрпчжкеа место оснований.перпендякуляров. опущениях нв фокуса параболы ка ее паса' тельные. есть касательная к вершине параболы. 1ОА АНАЛИТИЧБСКАЯ ГвоывтРНЯ НА ПЛОСКОати »О3 яоу ':д 6Ж Прямо» угол скользит тзк. Что стороны его всв время иасавтая параболы уз.байр». Определыть траекторию его вершины.
бббз. Проверить„что фокус параболы и точки прикосновения двух касательных к параболе. проведенных ив любой точки директрисы, лежат на одной прямой. 634. Сосгазить уравнение параболы, экая, что вершина ее ымеет координвпя (а. Ф), параметр равен р н направление осн аимметрин созпзлзет: $) а положительным направлением осп х: 2) с отрнпательным направлением осп х: 3) с положительным направлением оаи у", 4) с отршштельным направлением оси у. 696.
Какими особенностями должно обладать уравнении второй атененм 4»а+В»у+Сух+В»+Еу+.р О. чтобы соответствующая кривая была параболой Ц с осьв, параллелывй оси»; 2) с осью. параллельной оси у? ббб. Определить координаты вершины параболы, величину параметра и направление ося, если парабола дана одним нз следующих уравнения» Ц ут — 1бх — 2у — 19 О; 2) уз — 'бх+'14у+49 = 9; 3) уз+3» — 16=6„ 4) хт — бх — 4у+29=0; 6) у=мхт+В»+С; б) у=хе — бх+13; 7) у — х +Ох. бббз. Исследовать кривые, предварительно упростив нк уравнения с помошьв преобразования координат: Ц 2»з — 4ху+ 2ут + Зх — бу+ 2 = О; 2) хз — 2»у+уз+ 4х — б= О.
ббу. Доказать, что пврвбвлык ыиемяцне общий фокус и совпалаз1щие, но протиоополпщю пзвразлезыьв Осп, нерв. семавтсл под прямым углям» ббй 313 ВЛВЫВНТАРНЫЫ СВОПСТВА КРИВЬШ ВТОРОГО ПОРЯДКА 133 633. Составить уравнение параболы. симметричной Относительно оси х и отсекзвщей на этой Оси отршюк +и и на ося ординат отрезкы ~ 9 (рнс.
62). 661 А,Парабола симметрична относительно осн х. вершина ее ' помещается в точке ( — 3; О) ы ка з осы ординат она отсекает херцег. ллина которой 1=12. Написать 3 уравнекые втой параболы. 616. Составить уравнение па- з рабольь симметричной Относительно Осн у, отаеквощей на оси абаиисс отрезки ~л к на осы ординат отрезок. равный +Э. 6$ $ ?йостоааи АРка ниеет р . 32 форму параболы. Определить параметр втой параболы.
Внял, что пролет арки равен 24 м, а,высота 6. м. ' 612. Камень, брошенный под острый углом к горизонту, описав дугу параболы и упал' на расстоянии' 16 м от печаль мого пожнкеиыя. Определить -параметр яараболыческой траектории, зная. что наибольшая высота. достигнутая камнем, равна $2 м. 6$3. Струя воды, выбрааываемая фонтаном, принимает форму параболы. параметр которой р=б.1 м. Определять высоту струи. если навестно, что она падает в бассейн на расстоянии '2. м от месм выхода., 6$4. $$айти геометрическое место середин ордимат параболы уз= 2рх. ' 6$6. $тайтп гсомсгрнческое место сереллн хорд параболы, проховпцнх через ее фокус. 6$6.
Пршвй угол Вращается,около своей вершины, со« впадавшей а вершиной параболы.' ...Доказать, что прн етом двнжениы прямая линия. аоелииявщая точки пересеченяя сторон угла а параболой, тоже вращается около некоторой точки, лежащей на Осп параболы.. 61У. $$айти Геометрическое, несго центров кругов, проходящих через лавнув точку и'касавщвхая лапкой прямой. 6$6. Пайти геометричеаков 'место центров кругов, касаю- щнхая, Оси ординат и круга"хт+уз= $.
198 азгллитичвскля гномпгиия иА плОскости 819 581 опщдя твозия кпмвык.птозого повядкд 1бу '6; Полярные уравпеппп привык второго' порпднп 616. Относительно полярной"системы координат сосгавшь урзвнеээие окружности, радиус, которой равен а и центр находится: 1) в полюсе. 2) и точке,(а. О),, 8) в точке (рз, рз). 629. Относительно полярной системы координат' составить уравнение аллин«а. центр которого совпадает с полюсом и фокальная ось — с полярной осью» 621. Под каким углом к фокальной оси наклонен тот диаметр влляпса рт= , длина которого раша 288 16 — усев«у ' лииицзму 622. Сосэявить уравнение вллнпса.
приняв его фокальную ось за полярную ось и поместив полюс: 1) в левом фокусе аллин«а; 2) в правом фокусе зллнпсз. 623. Вычислить длину полуосей н расстояние между двуэи 3К2 фокусами алаипвщ р= 2 сову 624. Составить уравнение гиперболы, центр которой совпадает с полюсом и лайсгвительная ось-с полярной осью.
626. Вычислить угол . между аснмптотамп гиперболыг бй » т ="» 626. Составить уравнение гнперболы, припав ее фокальную 'ось за полярмую ось и поместив полюс в правом фокусе гиперболы. 62У. Сосшвить уравнения асимптот н директрис гнпер- 2 628. Составить, уравнение параболы, приняв ев ось за полярную ось п вершину за полюс. 626. На параболе р = — найти точку, радиус-вектор 8 сову знээ»Г которой равен расстоянию втой же точки от директрисы параболы. 639.
Состзвнть уравпепне 'параболы. фокус которой совпадает с полюсом п ось которой служит полярной осью. 63э. На параболе р= „,. ' найтя точку: Ф': 1) с наименьшим радиусом-вектором; 2) с радиусом-вектороы, равным параметру параболы. 662. Доказать. что пронвведеннв перпендикушэров. Оп)~- пюнмык вв копцов любой фокальнвй корды на ось параболы. имеет постоянную величину. 633.
Относительно прямоугольвой, системы коордкмат написать простейпще уравиення следуюпзнх кривых: 28, ''9 »»'»- »з=»» —,» '»»-э-зж-,» 2) з= » 4) р= =из — ° 8 8«ов и и о-созе ГЛАВА М ОВП(АЯ ТЕОРИЯ КРИВЬ(К ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. Общее уравнекпе:крнввй второго порядки. Преобрвшшппце' етого урпвяенпп прп параллельном перенесенпм осей координат. Центр кривой Общее уравнение кривой второэтэ иоряхзз, т. е. уравнение второй степени относительна декартов«в«координат х и у, содержит шесть членом,трн члена второй степени («квадратами каждой нз координат и с их пршиведеиием)„двз члена первой степени,н сжэбоюэый член, Все яееффнниянты йпме урбвиззия абоивзчзвтся буквой а с нижними:уваэзтелямзь заеисящнмМ от того, какие переменные миожмшвн' ах«пят в состав чзеию мнэиантелю.
х соетеет- 4 ствует яаззтель 1. Иншкитезю у — уяпштель 2, а в члены нпииш« ме«тз нпмжтзющих множителей отмечжет«я )жазателем 8. Порядок, в петером расположены указатели, не играет роли: аээ,*»вам. аэз азь аз« = аз« йезффнюэекты с двтмя неаданзхоззэмн ухазяшвяни Имеют еще числозой множитель ю Тзхпи обраюн. Общее уреза«мне крнвзй атореге пош«ша имеет нию а«эх«+ уазьту+ аззтз+уаэьт+ 2аыу+ азз = Ю. (1) Ддя опредеяешш яйнвой.втор»по порядка нет надобно«ти знать все шесэь коэффициентов.— до«тапино знать шжь незаввснмых их отношений. Кривая' второпз периш»в определяется шмыг усзоеиимн. Если, не меняв-иввравзеввя асей шнзрба»вт. перенести изчззо координат в любую,точху О'(х';,у',), то уравнение кризей (1) преобрззуетса и следуюеже: аззХ'+ 2азз~ГУ+ашрэ+2РХД+ аз 1'+2Г' = О, (2) где 2г =анх +2а~эх у +айУ» +2аэзх +2»»ззу +а«э, 21»» — — 2 (апх'+ а,тУ'+ аза) (8) 21'„2(азз '+яму'+ам) 1бб Аиалитичискан Гиоывтвия ил плоскости ъ е,.коэффициенты прн стэрзяиз членах ие изменяются; яоэффициенгамн при перепл стененэг иоординат будут частяые пронэшэзные от левой части первоначального уравнения по соответствующим координатам с авнеиой текущих координат косрдзпатамн поиого начала„сэабодимй чаен предсшаляет всю аевую часть первоначального уравнение.
в кеторой произведена та зке аэмешь Если ариэае (1) обладает центром симметрии н начало координат перенесено в этот центр крнмзй (.Т», уа), то преебраэоэаниое уравнение ие может содержать членов первой степени н потому примет вид анХа+уа,аХУ+лааУа+зуз О (4) Твк кэа координаты центра обрекают а нуль коэффициенты 2Р' п 2га .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
