О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Уг» 'О, хз 'а — ' Ут ° ~ и вставляя их в общее уравнение касателывй, нолучим уравнеивя искомых нрамыю у ьо н 20х'-21У О. 846. Составить уравнение касательнык, провелениык 1) из начала, коордвиат к окружности (х-2)т+(у-4)т=2; 2) ив точим (+7; +1) ц окружности Аз+ух= 26. 346. Найти ге касательные к окружности ха+Уз=б. которые параллельны прямой 2х — у+1 О.
347. Вокруг начала координат описана Окружность ра- диусом г'=12; провести к .Ней касательную так, чтобы отреаок Отой касательной От' точки принпсиовеиив до пере- сечения с положительной частью оси х имел длину 1= 55. 348. Написать уравнение ОКружиоетн. прахопящей Через точку (+1; +1) н касающейся прямык Ух+у — 3=0 и х+7У вЂ” 3=0. 349. Известно, что прямая" бх — Зу — 38 О касается окружности (х — 1)т+(у+3)а=26.
Напив точку мх при- косновении, $ЗО $5$ ВЛВМРПТАРНЫЕ СВОНСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА $1 360. Под влиянием некоторой силы точка М двигалась по Окружности (х — 5)т+(у+ 3)з»»25. Действие силы прервалось з тот момент. когда точка М совпала с точкой А(+2; +1). Определить дальнейшую траекторив подвижной точки. 361. Точка М двигалась по окружности (х — 4)т+ -1-(у — 8)г=20. потом сорвалась с нее, и относительно ДЗЛЬНЕйщЕГО ЕЕ СВОООДНОГО Дзкжвння иЗВЕСтнО, чтО она пересекла ось х в точке ( — 2; 0).
Определить точку окружности, с которой сорвалась движущаяся точка. 362. Определить угол. под которым видна окружность ха+уз= 16 нз точки (+8; О). 362». Найти геометрическое место точек, из которых дднпая окружность хе+уз=гн видна нол прямым углом. 363.'Написать уравнение линии центров двух окружностей хт+ Зт бх+ Зу = О и хт+ уз+ 2х' — 12у+ 1 = О. 364. Найти уравнение общей карлы двух окружностей: '".- еФ+ уз = 10 и хт+ ут — 10х — 10у+ ЗО = О. 363. Дана окружность ла+)л — 4х — б= 0 н точка С(+6; +4).
' Написать' уравнение окружности, имеющей центр а точке С и касающейся данной окружности внешним образом. У к а з а н и е. Если дае окружности касаютса друг друга внешним обрааонь то сумма нх радиусов равна расстоянию мвкзу цийрамн. '- 366. Через '"точку М(+2; +1) провести окружность, касающу1пся Окружноети ха+уз Зх — 4у+19=0 н имевшую 'раднус. равный едннипе. 367. Под 'квкмм углом' пересекаютсв окружности хт+ +уз 16 'и (х — 5)а+уз=97 Указа'ине. Углом, под которым нересекаютса окружности, назыааетса угол между касательными к зтнм.окружиостим в одной нз точек нх пересечеиик 368. Найти условие, при которем две окружности (х — аг) +(у — 01)) = гз1 к (х — ат) +(у — Ьт)' = гт ортогональиы, т.
е. пересекаются-под прямым углом. 4-185$ 669. Через »очку М(+24 +3) провести омружносэь. ортогональную к окууинкэсти да+уз~ 1 к кмеэмиув р*- дкус г=3. 369. Найти иемгры к»добив сл~увщвх ллук окружностей: ' хе+ уэ — бх+2у+ б- "0 и хе+уз+4х+3 м0. У каза ям». $(»итром пеяобня двух окружностей иэзмээетсв анке, ебищжощая тем свойствен, что из аюкяой ирялмй, через нее вреза»ждей; отрезки.ат этой жжик ло томи нар»се»элия с обеими о»ружносппщ иуоиоуцваиэльны' кк уалиусам. Кюялэя пара .
окружностей нме»т дэз цшпра нолобиш онк давят отрезок между центрами этэз ояружностей внутренним н вневпшм образом в отношении, равном отношению рэдэусоз, 361. Составить уравнение общих касательных двух окружы остей ( — )'+(у — 1) -1 ° ( +2) +(у+1)*-9. У кэ азяме. Общие кэательэые двух еэрузвюстей попау»о проходят через мз центры подобна (См.
залечу ЗЮ) ' 362. Найти длину касательной. проведенной нз точки М(+2;. +6) к оауужтнжти (х+3)з+(у — 2)эажйб. У к аз ание. Если мы веуеиесем все члевм нермаиэногеуразвеиэв окружности (х — е)э+(у — З)э ~ге в,щвую часть, то эта левая часть (Г (х — л)э+ (у — З)э — гэ н даст ква»рэт длины касательной, вровюввней ва точки М( ° у)' .дэи (рнс. 4б), яли, ива»». дэстстепевь точки М(х у) Е»коснтельно шлуужиоств. если точка ЛГ(х, у) лежат изозрузпюсти.
че еэеишв ее . уашв вуде; ° еаза М лежат" внутри окрукиоств, тоетеэвиь ее етуннатель- изя в аасателькые, вуозедея- Рнс. еь име из зэой' жэииь — мнимые. 363. Вычислить длины касательных, пуск»денных к окружности х'+уэ — 10х+2у+10=0 из следующих точек: М~(О. — 1). Мя((-1„1), М~(+21 О) М»(9; 9). 394, Найти геометрическое место точек, обладающих тем свойством. что касательные, проведенные ив нкх к окружности (х — 6)т+(у+ 2)» =9, виевт щвну и ту желдину(= 4. збб зте жчвыиктм кыв своиствл кэывых втово о поэядкз йз 396, Найти геометрическое место чечен.
степени которых относительно' двух ленных окружностей хз+ ут — Вх+ -~-бу=О н хт+уэ — 10у=О находятся в постоянном от моижнщс 1) ) =2; 2) Х=,фм 3) Х= 1. 366,,Д»казать, что уравнение (х —,а) +(у — Ь) — г +) ~(х — аэ)э+(у — Ьл) — гл~ = 0 представляет пучок окружностей. нрссодящих через точки пересечения двух основных окружностей (х-а)э+(у-.й)э— — г;= О и (х — а~) + (у — Ьл) —.гг= О, что центры всех итих окружностей лежат на одной прямой н значение пзузнс- тра Х 'разно отношению.
в котором центр соответствующей окуухпюсти делит етуещэк между центрэмн лзух основных окружностей. ' 362 .(:оставить уравн»ние уавщалькой оси следующих Аэух окуужйостеВ 1) аз'+)у йах ййу+ ая+ йэ — ге='6, хе+уз-йагх-2(чу+а1+31 — г',= 0; : 2) хе+уз бх -46+9=0, хз+ )й — йх+ 19у+ 2б = О 3) хт+(у, 1)э= 5 н (х+ 2)т+(у+ 1)эхю 4. Указание. Уазнззльвэя ось двух екружностей есть геомег Рву»с»пе мс»то точа», вмеэиииз од»вековую степевь относэтельне этйх еэуужлостей, (См. задачу Зб2.) ' '»)66. Деклзщъ.
что .уданкзльнзя ось лзух окружностей проходит" вереи .точки - нх пересечения, перпендикулярна к линия центрой. и сдуФкт,усом»три»секим местом центров окружностей, оутогонвльных к двум данным окружностям. 369, Чеуез точку ( — 3; +1). провести окружность, имеющую одну н,у.
же радикальную ось с дауна дззнь1мн окружностями: (х — б)э+уз=3 и хэ+(у — 10)»=130. Указание. Исзоман озууюксть ирнналлежнт пучзу, опре делаемому двумя дээнымн окружностями. (См. задачу Збб,) 370. Через точку (+б; —.4) провести окружность. ортогональную и двум о круящостям, заданным уравнениями." (х — 3)э+)а=24 и ле ( (у+1)э=16. -ь 34 лилдитичвокля гпомкгвип ил плоскости 371-374 37$. Найти радикальный центр трех окружностейг лл+ +ут —.Зж+Зу=0, дт+уз — Зд — 8=0 н да+уз+ +бу+8=0. Указание.
Радикальным центром трех окружностей пазы вается точка пересечения рздикальньш осей этих окрувикктей, взятых попарно. 372. Напмсать уравнение окружности, ортогональной к трем следукпцим Окружностям да+уз+ж — у — 3=0. дт+уз+Зд, 3 — 0 и да+уз+ад $ =О.
373. Дана ОХРужнооть. -радяУс которой г=п. Через Одйу иэ' ее точек гт проведены все возможные хордй. Найти геометрическое место точек, делящпх Вти хорды в одном и том же отношении л. 374. Стержень скользит по плоскости так, что конец его () описывает окружность радиуса а; сам же он все время проходит через неподвкжную точку Р, не лежащую на окружности. Найтв геометрическое место точек. Делящих пополам отрезки стержня между точкой Р и концом стержня Я. 3. Эллипс Э л л ни с есть геометрическое место точек, сумма рзсстоаиий которых от двух постовниых точек — фокусов эллшша — есть ВЕЛИЧИТШ .
ПОСТОЯИНЗВ., РЗВ изя Тл. Расстояние между $ усама РЩ ='2с (рнс. 46). ростейпюе уравнение эллипса мы получим, выбрав прямую, соединяющую фокусы, зз ось абсцисс' и 1юнестнв начало коордннаг В середние между ними. Теда уравнение эллипса примет виш лз уз — + — =1. (7) вз зз , где Рис. 46. ф -с. (В) При таком выборе системы координат оси координат совпадают с Осями симметрии эллипса, а начало координат — с центром симметрии ').
Точки пересечевии эллишз с его осими (А, и АР В, и Вз) фмзываются в ер ш н на и и эданпса, '). В дальнейшем будем говормть просто: оси н цшпр эллипса, вчвыинтлРнып Овоястил кРИВых ВТОРОГО пОРядкз бб Отрезки, заключенные меяош вершниамн, называются о с э и и эллипса: большая (фоквзьнаа) ось АТА, ч* 2О и малая ось В,В, = ЗК таким образом, параметры а и 3, входжцне В уравнение эллипса (7), разны его полуосям. эксцеитрисптетом (г) эллипса вшивается отношение расстояния (2с) между фокусами к большой оси (2а). т.
е. з Ф с. (2) ОЧЕВИДНО, ЧТО з < 1. (1о) Расстоявия любой точка М(л, у) эллипса до фокусов нззываютса ее фокальиыми радиусами-векторами г, н гь. иы нмееж г~ о ел, гз а+ зл, (11) и 'во самому опрялеленво эллипсы г,+гз 2а, (12) т. е«сумма фокальных радиусов-вехтароз шобой точки эллипса Равна его большой осн. 4(иректрпсами. эллипса' называютса две пряные, пзрали лсльные мвюй тжи н отстоящие от нее на расстоянии, рзвион— (на рис.
46 прямые С() и ЕО), Уравнения 'директрис следующим и в л~ — н л (и) В з' Отиепенве расстояния аюбой точки эллипса до фокуса (г~ или гз) к расстоянию той же точки до соответствующей ') директрисы (пв нлн йз) равно эксцеитриситету: — в н — =з. г, гг д, Оэ (14) Таам образом, эллипс может. быть определен кзк геонетри. ческ|ю масто точен..отношение расстояний которых от данной точки м даиирй припой.есть величина постоянная, меньшая единицы. Элшшс имеет со «сякой примой две точки пересечешш (действительные, миймые,или сливающиеся). ксан прямая Встречает эллипс в двух слизшихсв точках, то она извивается касательной к эллипсу. Уравнение касательной к эллнксу + мв1 лт уз лз (7) в точке М(хо у0 имеет зид (15) ')Г ~~ ют ию ' Ф директриса, которые расположены по одну сторону от малой оси.
Из ежзой анки швкво провести к аннику две касательные. $слн жнжа лежат вне злвнма„'обе касательшш действительные; асан точна лежит на зллнвсе, йасателынш слвваютсн асан точка леунт.внутри зллнпса, обе касательные.мнимые. А, 376.'~оставить простейшее' уравкение элавжса, впав, чтш ''1) полуоси его соответственно равны 4 и 2; 2) раСстоянне между фюкусаш равно 6 и большая полу- ось равна.б; 3) большая полуось равна 16 п эксцектрнситет е = 0,3; 4) малая полуось равна 3 и зксцентрпсптет а у 212; 6) сумма:.полуосей равна 3 п расстомзяе между фокусами неже разно 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
