О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Указание. Чтоби восстановить те гращщы участка, на которил сохраиилнсь столам, достаточно пронести через точки А и В дае параллельные прямые, проходящие на одинаковом расстоянии от центра М. Дее другие границы будут я ннм перпендикулярны н домины проходить нз тазом же рзсстоииии от М. 4. Общее уравнение примой. Йервсвченпе двух прямых. Условие прохождении трах прямых чвреа одну точку.
Пучок прямых Общее уравнение праной имеет вив я+Ву+С а (16) Для определения прямой иег надобностл знать все три мезф фнциента А. В, С; достаточно знать хва неаавнсимыа ик отиощемия А:В:С ГЦ ЯЫАЯ ЛИНИЯ Нссзедовзние общего уравнения 'прямой (16): 'если С О, то прямая прщвдит через начало коордиват1 э А = О, э» параллельна оси абсцисс; э В~ма э э » э ординаг, ° А С* О. э э совпадает с осью збсцнсч э В С О, э э э э э ординат. Если дани дее прямые: Ах+Ву+С О и А'х+В'у+С'= О, (17) то угол между ними еичнслается е случае праноугольной системы координат по формуле: АВ'-А'В ЛАЯ'."В)Р " (1й) в в случае косоугольной системы — по формулы 1 В (АВ' — А"В) 1ЕЗ- АА,+ВВ,, +, „„. (1а') Усаовне сзрзллельюсти прямых лла любой системы коордннаж А В 3' (!О) Условие перпендикулярности примих: А В ю с .3р = — —, или АА'+ВВ'~О для в=в А' 2 АА'+ Вв' — (АВ*+ А'В) соз н О дла любого и.
(Ю') Чтобы найти. координаты точки пересечения двух прямих (17), надо совместно решить их урааиенщь .Ряженая 'епщ уравнщщй будус ВС -В'С (В'Е'~ и А'-СА ~Г Г! (А'В'~ 1 А'В'1 А В Вслн лг чь Вг, то нРамые имеют опРЕделеннгю точкУ пеРе- А В С сечщянь Если -г —, „ь — г, то прямые параллельны и точки мх пересечения нет. А .В Если А у ~ ~)г то вРЯмые совпадэзОт н точка пеуесече мия становится неопределенюй 3* бз дпалитичзская гноывтэия ма плоскости ябэ 276 Чтобы узнать, проходят лн трн дамаые прямые: Ах+ Ву,+ С, 6„ А'х+ В'у+ С' ьхб, (ЯЯ) Л" +В у+С 0 через одну н ту же точку.
надо найти точку пересечеяна двух нз пнх к нотон щювернть, ущюлегзоряют лн коордянаты этой точен уравненню третьей ~аной. Мокко позьзовзтьса н гетЬеой фар музой, а вменив дла того чтобы щжкме (22) проходкам через одну точку, нужно, чтобы Л" В' С' -6. (ЯЗ) Совокупность всех прямых, нрожыящих через олпу н ту же точку, называется иучком прямых, а ях общая точка — центром пучка. Зслн х' н у' обозяачают коорднааты центра, то ураэнензе л(, — )+ В(у — у ) -6 Р1) опредезает любую прямую пучка, Даава отношению А:В ющеделенное значение, мм вьщезяем яз пучка (24) одну определенную прямую '».
1(ентр пучка макет бить определен не только свонмн каор дянатами. но любымн двумя прямыма, через него проходащнмн. Ясак даны две прямые: Лх+ Ву+ С=О. 1 А'х+В'у+С'=6, ) (1т) то всякаа прямая. проходящая через нх,точку,пересечения. юобразятся уравпеянем'. (Ах+ Ву+ С)+ а (А'х+ В'у+ С') ° 6. (Яз» Каждому значению параметра 6 пучка соответствует определенная правая нучкц меняв е, мы везучим всевозможные 'врямыв кучка, определенного двумя основяымн ярамымн (17). 369.
Исследовать, как расположены относительно осей координат прямые Эх — у=О. Зх — у+1=0, 2х+5=0, 4У вЂ” 9=0. 7х=О. х+2у О, 2х+Зу — 6=0. н постронть их. эх+Я Яу -5 270. 11ано 1'раененне первой степенн: — — . = 4. 6 Найти для соответствующей пржаой 1) общее ураэненнез 1) Прн иеояределещюм угловом козффнцяенте урааненяв у у', д(» — х') нредставззет вучск е центром (а', у ) (гж 1Ч. а. 1, уравнение (6)1. пгяыая .линмя 2) по(щадьное уравнение; 3) уравнение с угловым коэффнцпептом к 4) уравнепне относнтсльно отрезков.
Угол м ~ к12. ' 271, Не определяя угловыл коэффициентов, вычислить угол между, мрямымн: 1) Ях+у — 5=0 н Зх-2у+Т=О при м= а4, 2) 4х — Зу+7 =0 н 9х+4у — 11= О прк м =к13. 3) х — Яу+5=0 н Зх — 8~0 прк ю=Як/3, 4) 4х+Зу — 13=0 к 22х+(191)~3 — 7~)у+'15=''О прк 16. 272. Вычнслить углы треугольпкка. стороны которого цтносктельно.' прямоугольной, системы координат даны уравненнямп".
18х+Оу,, 17:ею О:14х 7у+15=.0 н Зх+ 10у — 9=0. 278. ' Отпоснтельно косоугольной системы коордннзт с коорднпатным углом ю = ятз дап треутолыщк А( — 1; +Я). В(+11 +1). С(+2; 9э). Вычнслкть угол между стороной АВ п медианой, проведенной нд вершнны С. 874 Нет лн срвап прямык, заданных уравнениями: 1) Зх',2у+7= О; 2) бх, 4у, 9=0; 3) бх+4у— — 5='0„4) 2х+Зу-6=0; 5) х — у+Зе=О; 6) х+у— — 12 О н 7) —.х+у Э=юО, паралдельнык нлн перпендикулярнык прямых),.Угол м = в/2. 275. Опрелелнть координатный угол ю, еслн известно, что. Уравнения 4х+Э~~Яу — 5=0 н У'2х — у+11=0 нзображащт перпенлнкулярнью друг другу прямые.
278. Прн каком значенан параметра а уравнения Зах— — Зу+ 13 яж 0 и (а+ 1) х — 2ау — 21 = 0 иаображают параллельные прямыеу 277. Прп,маком значекнп постоянного а прямые [За -)-2) х+(1-.4а) у+8 = 0 н(5а-2) х+(а+ 4) у — 7=0 окажутся перпенднкулярнымн друг к другур Угол ю=щ2. 278. Через начало коорднкат провести прямую. параллельную прямой Ях — Зу+ужжО.. - ' Р е щ е н я в, Ископав прямее прощают через начало координат. поэтому ее ураввенае не содержнт сзсбслвого члена к имеет зал Ал+Ву жб; искомая правая.йараазельца данкой; следовательно, .А 'В козф(ящаенгы в кз 1'равкепнах 'пропорцноказъны: Я вЂ” 3 79 АКАлитическАя геометвня нА плоскости 279 299 или А ЯА и В* -9А.
Вегавзяа полученные значения ком)фи. цнентов в уравнение искомой прямой, получим ЯАх — ЗАУ =О, кзи 2х — Зу 9. Так как геометрический смысл уравнения не меняется ет умиоменвя (влн деления) всех его членов на одно н то же число, то прз составлении уравнения праной. параллельной данией, можно брать коэффициенты прн иоорлиметак не только нрепорцненззьиммя, но разними соответствующим коэффициентам дан ного уравнения. 279. Через начала координат провести прямую параллельно прямой 4х+у — 5=0. 280. Через точку М(+2; — !) провести прямую, параллельную прямой 4х — Уу+12= О.
261. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного нз начала координат на прямую бх+бу — 19=0. Угол е = к/2. 282. Нависать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А( — б; +2) на прямую 4х — у+3=0. Угол е =к/2. 283. Из точек пересечения прямой Зх+бу — 15=0 с осами координат восставлены перпендикуляры к этой пряной. Найти нх уравнения. Угол е=к/2. 264. Составить ' уравнение прямой,' проколящей через точку (х', у') н перпендикулярной к прямой хсоза + +уз!па — р=О. Угол е=к/Я. 266.
Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую 2х — бу+13=0 при условии, что е=к/3. 286„ Из точки М( — 1: +4) опустить перпендикуляр на прямую бх — Зу+ !1 =О при условии, что и=Як/3. 23У. Найти точки пересечения прямык; 1) бх — Зу' — 1 =О. 4х+у — 13=0; 2) Зх+ Уу — 15 = О, 9х+ 21у — 32 = О; 3) 5х — '2у+1З=О. х+Зу — !1=0.
Прелварнтельно исследовать данные системы урзвиеннй. 268. Даны уравнеиия сторон треугольника: бх — Зу— — !5=0. х+5у — 3=0 и Зх+у+5=0. Вычислить коордннаты его вершин. 269. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восставленных иа середин сторон треугольника, вершинами которого служат точки А (+2;+3), В(О; — 3) и С(+б; — 2). Угол е=к/2. 999-297 ПВЯМАЛ ЛИНИЯ 71 !КЮ, Даны вершины четырехугольника." А( — 9; О), В( — 3; +6), С(+3; +4) н О(+6; — 3). Найти точку пересечения его диагоналей АС н В1) к вычислить угол между .
Угол е=к!2. 291, Вычислить координаты вершим ромба, если навестим уравнения двух его сторон: 2х — бу — 1=0, 2х — бу— — 34 :0 и уравнение одной нз его днагоналеш х+ Зу— 6=0. Угол' е=к/2. 291е. Составить уравнения сторон ромба, зная две противолежащие его вершины А( — 3; +1), В(+5; +7) н плошздь ромба В= 25 кв. ед. 292. Найти точку, симметричную с точкой ٠— 2; — 9) относительно прямой Ях+5у — 38=0. Угол е=к/2. 293. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма: х — у 1=0; .х — Яу=О и точка пересечения еге диагоналей М(+3; 1).
Написать уравнения двух других сторон параллелограмма. 293е..Вычислить плопшдь ромба, зная одну из его вершин А(О; — 1), точку пересечения диагоналей М(+4;+4) и точку (+Я; О) ка стороне АВ. 29% Даны две вершины треугольника А( — 6; +2), В(+2; — 2) н точка Н(+1; +2) пересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины С, зная, что е = к/2. 295.
Относительно прямоугольной системы координат лакы вершшгы треугольника: А( — 6; — 3), В( — 4; +3). С(+91, +2). На внутренней биссектрисе угла А найти такую точку М, чтобы четырекугольвик АВМС оказался трапецией. '296. Проверить, проходят ак через одну и ту же точку следуккцие трн прямыш 1) Зх — у — 1=0, 2) х+Зу — 1=0, 2х — у+3=0, бх+ у — 10=0, х — у+7=0„ Зх — бу — 8=0; 3) Зх — у+6=0, 4) бх — Зу — 15=0, 4х — Зу — 5 = О, х+ бу — 3 = О, 2х — у+5=0; Зх+ у+ 5=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
