О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 8
Текст из файла (страница 8)
39). К одной нз точек стержни (А) прикреплен карандаш. н мы регулируем дзижййи» стержня так,' чтобы этот карандаш описал окружность, проходпцую через 0 и имеющую диаметр, равный а. Какую кривую опишет прн этом движении любая другая точка М подзнношго стержня? Указание. Обозяачить посменное расстояние АМ через Ь и вывести уравнение искомой ириной (улитки Паскаля) сначала з воларных коордююгах.
Раышетрегь три случаю а<а. и Ьи а>Ь, йй яндлптпчяскяя гяОмятпня ня плОскОсти 179 1бй 179. Прямоугольник. дяе стороны которого саипяядвт с асями координат, деформируется тан. что диагональ его сохраняет.постоянную величину и. Из нержины прямоугольника, протиаолежащей началу координат„опущен перпендикуляр на его диагональ. Оснозанне етого нерпеидикуляра и пппсыяает при деформации прямоугольника кризую. вазыпаемую и с т р о и д о й, Составить урааненне астронды и вычертить ее. Указание.
Пркеазрительно састееим урааненне астраяды в параметрической бюрие (см, указание к ответу аалачи 165), т. е. амрззнм обе яоордяаатм подеяжной точки через олин.п тот же параметр„например, через' Естрмй Упж, абратеяанжей уагеиежла прямоугольника с осью абсцисс. 186. Циклоидой назызается траектория любой точки Окружности, катящейся беа скольжения по прямой. Состлаить пгрзметрические ураяненпя цнкланды, принял за параметр угол поворота радиуса. соединяющего центр катящегося круга с образующей точкой.
$81. Показать, что ястроидз (сн. задачу 179) может быть определена кзк траектория точки кругл, катящегося без скольжения по янутренией стороне другого' круга '), причем радиус катжцегося крута равен четзертп радиуса того неподпюкного круга, по которому'оя катится. 182. Составить параиетрические уравнения ср з з ае рт к н кругля, т. е. траектории кгмща туго натянутой нити, сматынземой с неподанжной круглой катушкм. ~) Такая кряеая называется гипоцнклондой 1' Л А' В А ' Пг ПРЯй(АЯ ЛИНИЯ 1, Ураенение прямой с угдопым коэффициентом. Угол между двуми прямымп. Урпвнеппе примой, проходящей через данную точку в данном мапранлеинп Всякое уравнение' нерпой степени относительно декаргозых координат язображает прямую ляеию, и, обратна, зсззая прямаа линия пзображаетса и деяартаяых координатах уравнением перзой степени.
Прямая линяя определяется двумя услозиямя. Урааненне пр1ь мой содержит, кроме текущих координат, деа независимых друг от друге параметра. чтобы написать ураанение определенной прямой, надо мать ' чяслояые значения ее параметроя. Даеая параметрам ражжчные мычании, получим ражжчные прямые на плосяеспь Уряиимже прююй. разро.
венное отеосятельно орди- у наты у, имеет анд: у Дх+ Ь., (1) Параметр * характеризует пзяразлеине прямой п пальм Ь яается ее углоиым зозффнцнеитом. В случае прянаутальяой Ф- Ы системы координат ' Я гйт. (й) где т — угол, образованный Ряс. 40. прямой с иожяиительяым направлением аси абсцисс, В случае касоугалыюй системы коорди.- нат (ряс. 4о) ь —— -"-П— Р') зал(ш — т) ' Второй параметр уравнения (1), сяабадный член Ь, равен яежь чине отрезка, отсекаемаго данном прямой на оси ординат, считая от начала аоордзиап Если нелестны угловые коэффициенты Й н Я' двух прямых, то угол Ь между этими прямыми аычисляется по формуле я' — я й =)~УА (Ь) для прямоугольной системы координат н по формуле (яг я», ып '8'=1+(я+я) -+ й (3') для косоугольной системы.
52 аньлмтичвская гпомвтвия пл плоскости 1йз 199 Условие параллельности двух прямых выразятся та1п д'* д, (4) Усажяе перпендикулярности двух прзмьос !+л'й О, изв д' (5) дзя прямоугольной системы н 1+(д+д)с +99=0 (б') д я косоутозьтюй ~с м шрдяват, $!рама, проходяяыя через точху (х', у') и имезнцзя услажу шмффнцнеиг д, изобрапается уравнением у — у Ф(л х'). (б) 183. Ламы две прямые: у 2х+3 н у= — х+4.
Проверить. проходят лн они через точкш А( — 1; +!), В(+2; — 3), С(+4; 0). Р(+3; +1). Е(+2! +7). Р(+'й +!аз). 0(0; 0). 184. Найти угловой ковффнцнент прямой и отрезок. отсе- ! каемый ею на оси ординат, зная. что прямая проходит чергв точки Р(+2; 6) н Я( 1;+7) $86. Определить угловой козффицнент и отрезок, отсе каемый иа оси ординат праной, данной уравнениемг 1) 2х — у+3=О; ~ 5х+Зу — 6=0; 3) Зх+8у+16=0. $66. Построить прямые. данине. следующимя уравне- ниями: у=Зх+1; у= .я — 2$ у= — бх+3; у= — 2х-1; у Зх! у=5.
!87. Написать уравнение прямой, проходжцей через начало координат и наклоненной к оси х под углом! 1) 45;. 2) 135'. 3) 30", 4) 160'. Снстемз координат — прямоугольная. 183. Сила Р приложена к началу иоординкг, и спета вляющве ее по осям соответствепно равны б п — 2. Найти' уравнение прямой, по которой напрашшпв сила. !89. Какая лминн служит' графиком равномерного движе кия, определяемого уравнением в=ее*о!7 190.
Найти скорость равномерного движения, зная. что гРафик его пеРесекает ось абсцисс в точке А( †'/м О) и .'.',:;!~У ось ординат в точке В(0; +8). з(асштаб выбран так, что иа осн х единица длины. соответствует одному часу, в нп осп у †одно километру. у=4х — 7, у= г~~х+2; у=)/3 х — 5. г' 3 х+1! у= — 2х+б," у~бх — 3, 3) 4) у=бх+8; < у=7х — 2. 5) у=х — )Я.
Саствма координат прямоугольная. 167. Относйтельно прямоугольной системы координат написать уравнение пряной, которая проходят через начало коордкаат и !) параллельна прямой у=4х — 3; 2) перпендикулярна примой у=.'!ах+1! 3) образует угол в 4У с прямой у = 2х+5; 4) наклонена под углом в 50' к прямой у=х — 1. 198. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку .4(+3„— 1) и параллельна: 1) осн абсцисс; 2) бмь сектрисе координатного угла; 3) прямой у=Зх+7. 191.
Точка. вышедшая нз начала координат. 'должна одновременно перемещаться по направлению оси абсцисс с постоянной скоростью о,,и по направлению оси ординат с постоянной скоростью п~ Найти истинную траекторию движущейся точки. 192х Кзк наменится результат предыдущей задачя, если оба движения точки М по направлению осей †равноускореиные и постоянные ускорения соответственно разны К, н К $ (Начальная скорость в обоих движениях равна нулю.) 193.
Написать уравнении сторон квадрата, диагонали которого служат Осями координат, Длина сторойы квадрата равна а. 194. Написать уравнения сторон равнобочиой трапеции, зная, что основания ее соответственно равны $0 и 6, а боковые стороны образуют с основанием угол в 60'. Зз ося координат ваагн: большее основание и ось симметрии трапеция.
195. Луч света направлен по прямой у=т/зх — 4; дойдя до оси абсцисс, ои от нее отразился. Определить точку встречи луча с осью и уравненве отраженного луча. Координатный угол и ='я~2. 196. Вычислить угол между лаумя прямыми; 64 ЛНЛЛИТИЧЕСКЯЯ ГШЗЫППРИП Нз ПЛОСКОСТИ !ЗЗР йаб !96эр Составить уразпенне прямой, симчетрнчкой прямой Зх — '2у+1=0 относптчльно точки М(+б; +1). !99. По какой линни должна двигаться точка, начальное положение которой определена координатами (+3; +8), чтобы кратчайшим путем дойти до пряная у=р/т» — 1? В какой точке она достигнет этой примой н как велик будет пройденный путь? Угол в=п!2. 930.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку (+2; †!) и составляшщей с осью х угол, вдвое больший )гла, состазлвемого с той же осью прямой у= - + †. к 4 — 3 3 Угол в=я~2. 200е. Проверить. что прямые У=Зх — 1; х — 7у=7 и х+у — 7=0 служат сторонами равнобедренного треугалькика, 201.
Из точки А(+6; +9) направлен луч под углом я~4 к прямой у=0.4х+0.8. Н~йти уравнение луча. Отражен- ного от этой примой. КоординаТный угол в=я!2. 291е. Зная уравнения боковых сторон равнобедренного 1 треугольника у=З н х — у+4.=0, составить уравнение третьей стороны прк условии. что она проходят через начало координат'. 202. Составить уравнения катетов прямоугольного Рззно- белренного треугольника. зная уравнение гипотенузы у= Зк+б и вершину пряиото угла (+4; — 1). Угол в=я/2.
203, В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершэны острого угла(+5;+7) и уравнение про- тиволежащего катета: бх + 4у — 9 = О. Составить уравнения двух другах сторон треугольника, Координатный угол в = я/2. 203э. Составить урлышннв сторон квваратз. если даны относительно .
прямоугольной сисшиы координат одна из его.вервиш А(+2; 4) и тачка пересечения дезгоналей М (+б; +2). 994. Написать уравнение праной. прохолящей через точку (-1; — 3) н состашшшпшй с осью х угол: 1) 30'! 2) Ю 3) 90', прн условии, что в= 120'. 266. Нависать уравнешш перпеяднкуляров, восставленных к.есяи' координат в точке их пересечения, если известен воордипатный )тол в = 160 пвямлп линия 266.
Относительна косоугольной системы координат с координатным углом в =н/3 дана прямая у = — 2х+ б. Вычислить углы, образованные этой прямой с осами коорлднат. 207. Написать уравнения всех сторон правильного шеспьутольнияа АВС!)Егг (рис. 41), если оси координат совпадают со стороной АВ и диагональю АС. а сторона шестиугольника рав- Б ю на л. у 296. Вычнслмть угол между ь. двумя пршвами." у= — х+5 и Г у= РгРэх 7.
Угол ввва/3. ррр. О~ р ~ ~р пый угол в, если известно. что прямые у ~ — 2»+ 1 и Рис. 4!. у~ х+1 образуют угол 2я/3. 210. Определить координатный угол в, аная, что урааме» ния у =2х+3 и у= — '!эх+1 изображают лзе перпендикулярные друг к другу прямые. 21!. Написать уравнение перпендикуляра. опущенного из точки А(+б; О) на прянув у =Зх — 4. Угол в = 2я!3. 212, Через тачку (+2; — 5) прохолмт прямая, образуцшая угол н!6 с праной 4» — Зу+1=0. Составить уравнение этой прямой прн условян, что в=к/3. 213. Относительно косоугольной системы координат с углам в='2я/3 лана вершина А(+3;+2) разностороннего треугольивка м уравнение противолежащей стороны: 6» — 2у — 7=0. Написать уравнения двух других старее треугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
