О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Площадь треугоэьпвкэ вычислэетсп по формуле: $ эщ ж — 1 (у -у»Н- *(уэ-у)+ (у -уэ))~ (4') Что же пасаетса фпрмуа, лзржсгерпэующвк взаимное распоп» жение точек, то опи остыэтсэ без эзмепепня. Условие того, что три точки лежат ва ожюй прямой, выравщетса по-ирэяпжму ра х»(уэ-уэ)+~*(уэ-у)+хэ(у|-уэ)=б' .(3'? Коеркпиэты точки, дежпцей отрезок между А (хп у,) и В (хр у»? в отиапеиии 1, будут: Эээ ' у~ ° х! +1«1.
у! + 1уэ / Т'-~Х ' 1+1 (б) Веля в иосэелумщпя задачах ксоряпнатпый угол ие указая, тв врэлполагэетсв, что система коордпват ирямоугольижь 66. Построить треугольник, вершины которого дамы своими коордянатамя (+ 3; + 5), ( — 4; + 1) и (+ ЗЧ»; — ЗЯ относительно косоугольной системы с углом в=к14. 61. Относительно косоугольной системы коорлииат с коордииатпым углом мэж Ьп)6 дацв точка М(+6: +4). ОпределитЬ расстояния втой точки от осей координат. 66.
Определить коордииаты, точки М. если расстояния ее от асей координат содержат соэтветствеиио 1 и 1.5 едяиицы длины.. м= к/6. 69. Точки М( — 3; — 5) и И(х, у) симметричны относятеаьно осц х, Найти координаты точки И при условии, что коордииатиый. угол м = к)3. 90. Определить координаты верши~ правильного шестиугольника. сторона которого а=1. если ва оси координат приматы такие две смежныв вго стороны, что вершима. противолежащая иачалу координат, имеет положительные моор дива ты, 91, Вычислять расстояняе между двумя гочквмя М(+3; О).
И(+1' — 2) при условии, что м=жйк~3. 92. Относительио косоугольной системы координат с углом ы =э в~3 дан треугольник: А (О; О), В (+ 1; + 4), С ( — 1; + 6). Вычислить' длииу медианы, проведенной ив вершины А. 93. Вычислять лажу сторои треугольника А(+ 14; + 3), В(+9; — '2)„С(+4; +1) при условии. что м=йкф. 94. Относи»илько косоугольной сястемы координат с углом м=агссоа( э/з) даны дзе вершимы правилыюго треугольника А(+2; — 2) и В(+у; +1). Найти третью его вер»пиму 96.
Определять коордипвтпый угол кь зная, что расстоя« ю у А(+Щ -4) В(+1; -1) Р 3. 96. Прямая прокодит черви две. Точки М(+2; + 3 у 2) и И(+6; — ф 2)ь Вычислить пляпу Того отрезка этой 52 лиалитичвсклн гпоыпгвия ид плоскости 87 180 прпаой, который заключен между осями координат. если иавестно. что ю =*н/4. 07.
Под каким углом к оск,» наклонен отрезок, сое« диняв~ций точки Р( — 1," + 4) м Щ+2; +7)7 и=к/3. 06. Известно, что. првная. проходяныя' через две точки А(+ 4; + 1) н В( — 2; у). образует равные углы с обеими осими координат. Вычислять неизвестнув ордннату точки В. Система координат прокавольная. 00.
На расстоякик 3«/ единиц от точки А(+б; +2) найти такую точку М, чтобы прямая ОМ, соелинявщая ее с началом координат, была наклонена к оси» под углом «р — п/61 и= 2в/3. 100, Дана окружность с центром в точке С( — У; +4) н радиусом /1=6; найти концы тех диаметров. которые параллельны биссектрисам координатного угла; ю=2я/3. 101. Определнть площадь треугольника, одна из вершин которого совпадает с началом координат, а «ве другне— с точками А(+3; +1) и В( — 1; +4); ю=бв/6. 103. Вычислить координатный угол ю, 'если известно, что плащаль треугольника с вершинамн А ( — б: — Ц.
В(+3," — 2Л С(+1; +4) равна 11.5 ка. единицы. 6. Полпрнйи снстемп поордкпат Основными алемеитами полярной системы кеордвиаг яеажтся точка и луч, нз вес выходлвв«й, полюс 0 н полярная ось О» (Рнс. 21). « Рнс. 22. Ркс. 21. Поюжеиве точка М иа швскести определяется расстоянием этой точки от поаеса — Рв'дку с ом-век тором р и нолариым углом р.
Образованным' радиусом-вектором с полариой осью. Две кеоривнаты (р,'е). Опредеаяет одну едвиствеквую точку На ОИС. 22 ПОСТРОЕЕа тОЧаа А ИО «Вердниатан а=2. р я/9, Ъсли мы хотим устакоевтв: взаимно одвозначное соответствие между тачками плоскости и кирой коорхвнат (р, е), те достаточно КООР«ИНЛТЫ ТОЧКИ НЛ ПЛОСКОСТИ 83 х 104. Как расположены точки, полярные координаты которых удовлетворяют одному из слелувщнх урааненирл 1) р=1; 2) р=б; 3) р=п; 4) «р=г«/6; 5) «р=е/3; 6) «р=в/2; 7) «р=сопа(.г 105.
Найти полярные коордянаты точек. симметричных с точками (1; и/4); (3; 2в/3); (2/3; — в/6); М(р. о): 4) относительно полюса; 2) относительно полярной осв. 106. Определить полярные 'координаты вершин правильного шестиугольника, сторона которого равна а, приняв за полюс одну нз его вершин.
а аа полярную ось †сторо, через нее проходящую. 107. Построить точки, полярные углы которых равны 0', 15' 30; 45' 60«« 76', 90; а соот« иетствувщие радиусы-векторы вычисляются из уравнения р=п ° арв27. Р Полученные точки соединить г р плавной кривой. 106.Чтобыуравновеситьтело. вес которого равен Р, на наклонной плоРнс. 24. скости ° образующей с горизонтальной плоскоаъв угол а, нужно употребить силу «,"г=Р ° з!пв (ркс.
24). Сила () прн одном к том же грузе Р зависит придавать р тольао положительные аяачеяяя, а р — аначення, захлюченвыв между О а + 2г (положительные углы получаются врав«»- вием луча вротнв часовой стрелки). Есла не придерживаться атвх Ограннче««вй, то одна в та же точка определяется хоордизатамв (р, «р+2л««) в нлв (- р, р+(Зл+ 1) х), где л — любое целое число. Рассказ««е между двумя точками рг А(рм «р,) и В(рь р«), данвымв в полярных координатах, вычвсляетса ио фер- 4 муле (рие. 28)« АВ-;Гр',+р,— 2р,р, .
(Та — Ч,). ъгт а 6 (1) Рвс. 23. 103. Построить точки. полярные координаты которы имеют следуаицие значения; (3; «е/6Л (1; бн/3); (5; 7в/6); (0,5; я/2); (2,5; 2я/3); (6; п); (3; н/3); ($/3; — в/5); ( — 2; к/4). 2-1858 36 АнАлитическАя геоиетгия НА плОскОсти Н7 — $94 $17. Координаты всех точек прямой. параллельной оси ординат, удовлетворяют уравнению: х= а.
Какому уравнению уловлетворяют полврные координаты этих же точек? 118. Полярные координаты всех тачек окружности. Описанной около полюса радиуаом, равным а, удовлетворяют условию: р= а. Какому условию должны удовлетворять прямоугольные координаты тех же точек? $$9. Сила Р=б хз приложена к точке, совпадающей с началом координат; направление силы обравует с осью абсцисс угол и = ЗО'. Определить составляющие втой силы по осям координат, Указание.
Сила Р нзображэетая вектором (направленным отрезком), дамма н направление которого соотвег етвувт велич~Ееи направление силы. Составляющие силы по двум перпендикулярным направлениям суть веяторы. е явлаэщиеся праекцмямм веяРнс. И. тора Р на заданные направле- ния (рне. 27). 129. Определять величину м направление силы Р, зная. что ее составляющие по осям х и у соответственно равны 8 и 6 кг. 121.
Дамы две точки: А(+3", +7) я В(+5; +6). Найти величину проекций отрезка АВ на оси координат. 122. К одной я той же точке приложены три силы Р, О и В, причем ланы величины их составляющих по обеим координатным осям:Р„=3, Р„ =8, О„=у, О,=О„ 8„=2, Ю„ = — 3. Вычислить равнодействующую )? этих сил. У е э з а н н е. Воапоэьэовзтьая тем, что Рзэнодейатвувщая сялз изображается заныеавщям отрезком той ломаной, зэеньямп которой служат слагаеимие силы. 123. Как преобразуются координаты любой точки М(х. у). если: 1) оставив ось абсцисс без изменения, переменить направление на осп ординат: 2) если за ось абсцисс пронять прежнюю ось ордянат и аа ось ординат — прежщою ось абсцисс? (Координатный угол †произвольн,) 124. Как нужно изменить систему координат, чтобыг $) координаты любой точки еохранилм свою прежнюю абсо- 1йэ 1ЗЗ КООРДИИАТЫ ТОЧКИ ИА ПЛОСКОСТИ 37 лютную эелмчмму, но изченилм знаки на обратные„ 2) абсолютная величина абсциссы всякой точки увеличилась бы втрсе.
а абсолютная зелячмма епордниаты уменьшилась вдвое? 125. Кзк нужно изменить систему координат, чтобы: 1) збсцмсаы всех точек увелмчнлнсь на пять единиц; 2) чтобы ордянаты еаех точек уменьшилнсь пз дее единицы; 3) чтобы однсереиенмо абсциссы ваех точек уменьшмлмсь на три единицы„ а орднеаты увелмчилиаь на три единицы? 126. Стмоснтельно некоторой системы координат точке А имеет коорюшаты: х=+7 и у= — 6. Вычислить координаты втой же точки пре условии.
что мачало координат перенесено в одну мз аледующих точек: О,(+2; +3), Оэ( '1' +7) Оэ(+3' 9) Оэ( — 1; — 2). Оз(+3; -6), 127. Найти расстояние между двумя точками, нмеющнми одинаковые координаты (х= 1 и у=2) относительно двух различных прямоугольных систем координат„ причем вторая система получаетея мз первоначальной меренесенмем начала в точку О'(+3; +4) (без изменения направления осей). $28. Найтм раестоанне между точками А(+1; +2) и В(+2; — 1), причем координаты гочки В вычислены относительно новой системы координат, полученной из прежней перенесением начала в точку О'( — 1; +3), 129.
Одна и та же точка имеет относительно лвух разных систем координат координаты (+2: +6) и ( — 3; +6). Определить координаты начала каялой из ппш систем атно» сительно другой, аная, что оси их имеют одинаковое направление. $86. Каковы булут координаты трех точек А(+2; — 3), В(-1; +5) и М (х. у) после того, кэк прямоугольные оси координат, к которым оин отнесены, повернуть около началщ 1) на прямой угол против часовой стрелкгк 2) ма прямой угол по часовой стрелке1 3) на деа прямых угла? $81. Относительно прямоугольной системы координат да пы точки А(+ у'8; — 1ф 2) и М(х, у). Найти координаты тех же точек в предположении, что оси координщ заменены биссектрмсамк координатных углов.
$32. Дан квадрат АВСО, сторона которого и =1. За оам координат выбраны одмн раз стороны АВ и АО. и другсй рез диагонали АС и ВО. Найти зависимость между коордщщтамн одной и топ же точки относетельно втнх двух аистам координат. 33 Аналитическая ГИОметРия нА плОскОсти цз $36 133. Две стороны прямоугольника АВС$) первоначалыю соепадзли с осами координат (АВ=Ь и АО 2). Затем прямоугольник был передвинут тяк. что вершина А, совпадавшая раньше с началом координат.
попала в точку А,(+4; -1)„а сторона АВ. Совпадавшая с осью х, оказалась повернутой на угол а.=п)6. Определить новое положение-жтальных., трех вершин. ' 134. Осв координат первоначально совпадали с кате» теин--ВА и СВ прямоугольного треугольника АВС(СА=З; СВ 4), Затем за оси координат бьши выбраны: перпевдякулвр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, н сама гппотенуза данного треугольника. Определить координаты вершин относительмо втой новой системы и дать соответствующие формулы преобразования коорлинат. 136. Дан равнобедренный прашугольный треугольник, катеты которого равны а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
