О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1О точка М имеет координаты: х +3 и у =+!. Мы обозначаем зто тащ М(+3„+1). Осн координат делят зсю плоскость (рнс. 11) на четыре части (четыре квааравта). Координаты точек различных квадралтоз имеют Рззлнчиью ющкн, а нменщс йб коопдиилты точки нл илоскостгт 13 Эткм мы можем зоэпользоватьса для графического юобрикщща одновременного изменения двух величин, длэ юглядного изобра жеинэ зазнсямостн между ниии. Пусть, йэприиер, трабуется тра(гически изобразить зависимость между упругостью насыщенного пара и температурой, прячем результаты произведенных иабаэде инй даны и таблице. Точки, расположенные нз оси абсцясс. имеют ордипаты,'раввые' пуще; точки оси ордщщт имеют абсциссы, равные нуно; на чаю коорщщат ямеет обе координаты,' равные йулэь Ислц данн зиачснкя двух координат, то' можно построить олпу едщытвенкую точку, имеющую зтя координаты.
Пестрова, например, точку Р(-4; +23 с этой целью отложим по оск абсцисе Рис. 12. алеко от начала коордиаат отрезок ОА, Разный четырем единицам данны (рнс. 12); в конце А этого отрезка проводки перпендикуляр к ося х н йа яем, вверх от точки А, откладываем дэе единицы мзсщтзба; конец ение второго огрезка и будет искомаа точна Р( Ф; +2). Таким образем. Устаищглепо взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и парами чисел (х, у). По оси абсцисс откладываем звачециа независимого перемеиноп~. в ющюм. случае,темперзтурыт по осн ординат-значения функции,з имеиио упругеетн пэсыщепщко иа(иь За единицу длины прймем на обеих осях одни миллщэетр, т.
е.,аеремещение на 1, лся вправо по' осн абсцисс соответствует. повн лг пюнию темкературы' на 1'. по осн орпиют увеличению ,Э лззленна па 1 лглг ртутщко столба '). Нв ркс. 13 отмечено А,— +.1)..., А,(+В ' '~ ' з +12А), заменюощйх данную таблицу; абсцисса каждой на Рнс 13 этих точек дает температуру. ордпиата-соответствующую упругость насыщенного пара. Так ыпг с изнеаапием темперщуры упругость меняется плэммьбез резких «качкоз, то, для более наглядного юобрзження изменения упруптсти пара в зависимости от изменения температуры, полученные точки сведением плавной кривой,— зто н будет график упругости юсмщещгогй пара.
Зтд кривая юет возмоащость приближенно определить упрутбсть.пзрк длп любой промежуточной температуры; например, дзя 3 упругость Раааа 3 лглс что мы узнаем, пзмеряа орднпату той точки кривой,, котераа имеет Збсцнссу .с = 3. ЯВ. Построить следуузвпщ точки: А(+2; +У).
В(+3; О), С(+1*' — б», т)(0; +3), Е( — 1; +2), Р(-4", — 3), П( — 21 0)а Н(0; — 3), «(-г ь .~.ад, г(+Гь — Г з) и(о: ~.г'В). 1~,ру, „, ~ р~, „„р Ртутного спщба. йэ Анллитичаскля гаоматзня НА плоскости йг-34 27, Построить точки, координаты которых удовлетводают уражениям: бх+2у= 1 ° г ха+уз=26 ( уз — 4х=О с 1) . 2) ~ ' 3) ~ . 2х у= 14; 1х+у 71 ~ хт, 4, 6, 26. Построить точки. абсциссы которых равны: — 4.
— 3, — 2. 1. 6. +1, +2, +3 н +4, а ордииаты опредеювотся из ураввення: 1) у~Зх — б; 2) у=ля. 26. Лана точка М(+3; +2К постропть гочки. симметричные с ней относительно 'оси абсцисс. осн орлинат, на« чала координат. Определить координаты атнх точек. 66. Расстояние между точками А( — 2: +3) н М(х. у) равно трем едияпцам масштаба.
Определить координаты точки М. зная, что: 1) А и М леисат на прамой, параллельной оси х: 2) А и М лежат на прямой. параллельной оси у. 31. Какое соотношение существует между координатами точки. люкащей на олмой нз биссектрис координйткаго углаг 1ш. Сторона квадрата равна 1.
Определять координаты его вершин, приняв аа осн коорлииаж 1) две неяараллельные стороны его: 2)две ляагонвщ 3) прямые. параллельные сторонам квадрата н пересекающиеся в его центре. 33. Найти координаты вершин правильного шестиуголь ника. сторона которого равна а, зная, что начало коорди наг помещено в центре шестнугольняка, а ось абсцисс про ходит через две противолежащие его вершины. 34.
Изобразить графически зависимость межау средним г ростом в возрастом человека, пользуясь следующкмя даннымя: ПЗ-ЗТ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ 21 36. Изобразить графически вависимость между средней годовой. температурой н высотой мествости над уровнем моря. Соответствующие наблюдения лапы в таблице: 36. Сведения о возрасте студентов. принятых на первый курс одного института, даны в следующей таблице: Составить график возрастного состава первокурсников етого института. Соединив ломаной линкей все полученные точки.
37. Составить график железнодорожного движения между Москвой и Дмитровон по следующему расписанию поеадов: 22 анлиптмчкскля гиоывтзкя нл плосКости йб-40 Яо сеставленпому графику определнтю 1) иакие ив уиюамных,поездов встречаются и на каком именно расстоянии от й(осиян. 2) какие поезда находятса в пути своего следоаап1гл в поллень н какие в 3 час. вечера; .Э) в котором чабу проходят поезда мимо булки на 50-м километре от й(осквы; 4) какие поекяв перегоняют м какие поезда попадаются навстречу пешеходу, внщелюему из Лианозоаа в 7 часов утра н нлущему в Бойню со скоростью б километров в час (на графике отметить передзижеине пешехода).
36. Тело падает с высоты 00 метров под действием сизы тяжести. Иаобркзить положение тела з тот момент, когда началось падение, когда оно закончилось, и промюкуточнне положенна, вычисленные дла каждой э/з сек. ПолУчеиные точки соединить плавной кривой. У к а за к н е, Еслв пренебречь соврспюлением воздуха, тс путь, пройденный пюююпюм телом з г сеач можно вычислять по формуле з=х)'Р гле х юй,б х7сзхзэз 39.
По горизонтальной балке, лежащеа на двух опорзх А и В. идет человек. Дазленяе, испытываемое опорой В. меняется, в.зазясямолти ог положения человека на балке. Изобраайть графяческп зависимость меясцу згнм давлением н рзсстояппем человека' Ет другого конца балки А прк слелующнк чйслознх даяннх: вес бююи' Р= 120 хз, длина ее 1ю:б В.
'вес человека р=бб кз.' 49. Простейщий подъемный ворот состоит из барабана н колеса. вращающихся на общей горизонтальной осн. На барабан намотана веревка, к,концу которой ползепюи груз Я, а колесо обнотюао веревкой, за которую тянут, чтобы поднять груз. Сала Р, которую нужно при атом употребить, вычисляется По формуле: Р= — Ф тле. г — 'ралнус барабана, И вЂ” радиус колеса. Изобразить графически зависимость между силой Р н радиусом колеса Я, если г= 1Ослэ и Я= 12 хз (зес ведра воды).
координаты точки ма плоскости 2. Расстояние между двуми точками. Паправленм отчезка. Площадь треугольника Есзя дзян дзе точки сзоямя кеор,закатами А (хп у~) я В (х» уз)в то расстояние между ними (рнс. И) вычяслзетса йо формулм АВ = 0) т. е. даюа отрезка равна квадратному корню яз суммы квадратов разностей одноямюнии координат его концов.
Рис. И к, у1 1~ 8=- хэ уз,1 1 .2 гв Уз (4') В часпюстн, рзсскюнне'течзн М(х, у) от начала координат опредеазетса по фермулю ОМ = г'хе+ уэ.' (2) Направление отрезка на плоскости онрелеазетса углом наклона этого отрезка к какому-нибудь иззеспюму нанрззленюе, например к напРазлеиюе ося абсцисс. огсз р, образованный отрезком АВ с поюяянтельным яаирззлаинем осн абсцисс (ряс. И), опредезаетск череа кссрданзты конник отрезка следующим обрзювс ' 422= — ° Уэ У~ (б) х,— х~ Если даны ноордннзш' трех вершин треугольника А(хну,), В(хэ у,) и с(х„у,), то ююпю вычислить его мжю4здь ио формуле: 8= 2 Схэ(уз-уэ)+хз(уз-уз)+хэ(уг-уэ)) (4) 1 24 дналнтпчвская гаоажттчая ма плоскости 41 4$ Пажьзуесь: агнии формуламв, мы аявкем и»лучить в правой иасап каа положительные. так к отрмдзтеаьные ззаченыь в аавнсвмостн от пкаь будет лн обход периметра от веревки А к В м к С (ряс.
1$) соответствовать яощжительиому ера ввнваа (против чамжей стрелки) или отрнцзтевьному (по стрелке чзсовй поэтому, считая, что яаецадь геометрической фжуры всегда>0, мы козаева результат вы»нелевой брать по абсолаатной веак- Ю Признаком того, что тря токая лежат на одной прямой, мое жег саужять равенмтво нулю площади соответствующего ар»уголь ника, т.
е. . (Уа — уа)+ (га-У )+ + ка (у, — уа) 0 (5) д илн ~кю уа Рис. 15. ка Уа 1 =О (5') ка уа 41. Опршжлнть расстояние межлу двуаа точками: А(+51 +2) и В(+1: — 13 С( — 6: +3) и р(о; — 5); О(0; О) н Р( — 3; +4); О(+9; — 7) и В(+4; +5). 42. Дзиы вершины треугольннкаа А(+8; +2). В( — 1; — Ц н'С(+11; — 6). Определять длину его сторон. 43. Доказать, что треугольник,с вершянзмн А(0; 0), В(+3; +Ц и с(+11 +7) йряашугольнъпг. ' 48».
Зная вершины треуголышка Р( — 2; +Ц* О(+41 +8) и И(+10; +6). проверить, нет ли тупого 'угла, среди внутренних углов этого треугольнвкаг 4 Ь, Опрелелить ордннату точки М, виза, что абсцисса ее равна +7. а расстояние до точкм И( — 1; +6) равно 10. 46. Нз оси ординат найти пику, отстоящую от точки А(+4.„ — 6) на расстоянии 6 единиц. 46. На биссектрисах коордннаеных углов найти точки, расстояние которых от точки М( — 2; 0) равно 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
