О.Н. Цубербиллер - Задачи и упражнения по аналитической геометрии (1109881), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найти траекторию точки Я. 6иаа; что: в пачаарный момент оба стержня совпадали с осью л-.и точка' Р няходнлась между О и Я. Разобрать. януши, когда 'Р ~~ь бв Р 'а, 0 п. р 6 427, Отрезок посмешней длины,скользит своими концами По 'стпрппам прямОгО' Угла. Вмгть на йггрезке шобую'точку М и найти путь, который она ойнсывает при этом скольжении. 423. Нри условиях предыдущей задачи взять точку М не на самом отрезке,.
а на его продолжении н найти траекторию этой новой точки М. 420. На рис, 47 наебражеи эллиптический циркуль, у которого с помопйью винтов можно менять длину 1 сколь. вящей линейка АЭ и место прикрепления' нарйщшща М. 'Кзк установить циркуль, чтобы на .и чертить вллнпаы: Ц ф+ф=1; лй 2) — +уй=1; 16 3) +у =26У 436„Даны мбордпцзты вер- ' рне, щ шнн треугольника АЭСг (О: О), Ф+2' +2) п ( —.21 +2) Точка М дашзется тзк. что сумма нвкярммш ее.рясстнпинй.ет трех сторон треугольника остаетея псе ':эрямяаппетмяцпо)й.' равной '16'.
Найти траекторию точки м. ': 'й)$1,; Нэ!(тп" геометрическое место середин хорд. проведеншзхг Пз пошю мШШ)(:,.бплуоед эллипса —,+ — =1. .лй уй ай. 432. 'Он(шпилить аеометричееппе место центров окружностей, которые проходят через точку А(+3; О) и касаются круга ля+уй= 26, (Сделать чертеж.) -3. Игппврбппп ' Р кв ербэна есть цмзштричееаое место точек, разность расстоянии которыя от яэуз носммиимх точек — фозусоз гиперболы — есть величина иоегозннаа, резней 2е. рааспжине лу Фенусзмн Ь й 2й (рис 48). 92 АнАлитичвсклл ГВОмптиия ИА плОскОсти Простейшее уравнение гиперболы имеет виа хз уз Ж Ьт (18) Рис.
48. Гипербола имеет две действительные вершины (А, и Ат) на фекальной есгп Отрзапк. Заилючеииый Мвжлу ними» АзА» *аз неываегся действительной (вецественной) осью гнперболы. Со втопой осью гипербола пересшшется в двуз' мнимык точкак 92 ж Щ™~ж, условшь действительный отрезок 2Ь мшывается мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры а и Ь, вкспящие в уравнение гиперболы (1б), дают' дашу действнтелыюй и мнимой полуосей гиперболы. Длз гиперболы возможны все три случаю а > 'Ь, а = Ь и а < Ь. Если а=А гипербола нааыааетса равносторонней. Если мнимая юсь гиперболы имеет длину йе и направлена по осн х.
а действительная ось, двиной 2Ь, совпадает с осью у. то уравнение такой гиперболы будет: , + —...1. хз ут (18) Гиперболы (16) н [18) называвтся сопряженными гни болями. Эксцентриситетом гиперболы швьшается отиош расстошшя между фокусаип и действительной осш с -„» ерение (19) где Ьт сз — ац (1У) Прямая, соедииающая фокусы Гинербоми.
служит осью абсцисс, и начало координат выбрано в середние между фокусамщ при атом оси координат совпадают с осами симметрии гиперболы и начало координат-с ее центром,симметрии (оси н центр гиперболы). илпывитАРиып сВОиствА изиных ВтОРОТО пОРЯдкй 93 н при етом (Щ л> 1. Гипербола (1б) состоит из дауд вЕтвей (прзвой н левой). простнрающнксп в бесконечность. Ллз точек правой ветви фокальные радиусы-векторы вычислявпш по форнулшс . г, зх — 'а "( гз=гх+ш ) гт — г, 2а. (21) (22) Длз точек левой ветви мы пмееш г,= — вх+а, 1 (21') гз — сх — а; ) г,-ге=2»ъ (22') Танин образон, разность фокальнык радиусов-векторов любой точки пшербоды рава действительной оси.
Д н рек тон с ам и гиперболы нззывавтси прямые. перпендикулариые к фекальной осм в отстоящие от центра иа расстоания —. Йк уравнениш (28) и а х= —; х= —— в' е у=',а х» .-'-:.1 (28) Есаг' точка, двш явсь яо гиперболе, неограниченно удаляется, то расспшиие ие от одной пз асими тот (28) стреинтся к нуае. Асимипжы служат дпагюшишмн. прямоугольника, центр, кото» рого совпадает с центром гшшрболы, а стороны разны и параллельны осам гиперболы (рнс.
49). Правя линна имеет с гиперболой вообще две общие точки (действительные, мнимые илн сливавшиеся), координаты котормк Отношение пасстозипв Избой точки гиперболы от фокуса к расстовпню той йш точки ог соответствующей директрисы равно аксцевтрпситету гняерболъс (24) .
Хаким образом, геомшрнческое место точек. отношение расстояний кпторык от девай точки н данай прямой постоанно, есть ла, есзи только зто настоянное отношение больше единицы. снмптогы гиперболы определяются равенствами мы полуешь Решая совместно уРавнепве гиперболы и уреанешш пршгоВ Но если прямая пэрэлаеаэяа одяой нэ аснмптот, то она нмаеу 'твэькю одеу точку ней»сечевик с гнпербнлой, тав как, всввочая одяу нэ текуаиэ координат не уравяамзя еаай-прямей: н ураи пенна лнаерболм.
мы получим уравнешш тельно первей сшценя для опредеэшия другой 'коорлипэтм (старшие члеш уничтожатся) Если же прямшг совпадает с одной нэ аснмптот, то еве совсем.ве имеет обшил точек с гмаерболой. так шш уравйеиня гиперболы и ее аснмптоты представляют систему весевместнув. Рис. 49. Кажлэв аюпшвеэв совпшшет и предваьеым шмшвшавяю еяяой па клеатюэьныз в эмвербээе.
везде тонии врвкошювешгв нашршш ченно удажется по гнпюболе. Касательная к гйпербоэе ж — ~г-1 ее уэ (16) в тачке 3гн.уэ) имевг уравнеяпш (26) Иэ каждой точки плоскости пэжн» провести дее касательаме к гиперболе; если точка велта на гнперйпэе, то обе касатеэьяме сливаются в олпу; точки, на которых можно провести две дейатвнтельные н разные касэтеленне, сосвэшшюг внешпвв область гнперсолы; точки, нэ которыя можно црозесгн только мнимые каса телывю, состеяээют в И Ут ре кпшю, 'область гнпербельь 463.
Составить урввпепне гиперболы, осп которой совка дашт'с осени координат, апая, чгог 1) расстояние между перпппвьип равно 6, а расстеяииэ мшкду фокуслмп Ж 2) впвшствевная полуэсь раппа 6 и вершины дшшт расстояния межлу центром и Фокусами пополшц 3) вещественная ось раина 6 я гшшрбола прокоднт через точку (+6; — ~ 4) гнперЪола проходит через дпе точка Р( — 6;+2) я 9(+2 )% + ~г6). 434. Составить уравнение гмперболы. зная фшгусы гг,(+16; 6), ггт( 16; 6) м одму пв твчек гиперболы М(+12;+3~'6). 436. Построить гнперболу, основываясь па' ее определенна. ' ')Гивзаппе, 'Гипсрболз есть генг»эпическое место вершин Вракгпльшшвв, ммеэнцннясшее осевшее (За) н пос:евшую рзэ' гшшь аюра.дй)чмкжеефвн.,(66.
-43»." ()затянись" ураваение ггтерболы, имевшей общие фпк~ы,с эллепаом: 66.+щ»юй прн успении; что эксиен. лэ . 66 триснтет ее вв 1,26. '' 663.' Написать '.урмэиеняв' тнпербопы,' прокодшцей через фокусы эллипса —.+-щ=1 н нмекицей фокусы в еерлэ уэ 169' липняк птвге впмзпса 433.
Построить фокусы ' и асимптеты гиперболы 3й — -=1: .се ЯВ 436. Дана гипербола — —.— =й. Требуетсш лэ яэ 9 М 1) вычислить координаты Фокусе% ...: 6) вгачясвять .. пксцВвтйпснтец $);наэп)сачь,.урзлпяипв..вшмштот м днректрпс; '4) йвпйсать:уравнение сопршкениэй гиперболы и зычиснпть ве Експпйу))кснтчт; ' 436».
Жев урпмгвннп лавнгтпг гиперболы у=+ г/эл и вяну пв ее чечен м((-12;.+зйг3). состпзнть ураанеяме гиперболы. 446. Доказать, что отрезвит озсекаемые дяргктрясаии па асимптотах (считая от центра гйперболы), равны дейсвпгельнвй певупсп, Пользуясь птмм свойством, построить директрисы гиперболы. 446». Доказать, чте цйректрнса гпперболы проходит через основание перпендикуляра, опущенного нз сеотлет- 96 АИАЛИТИЧНСКАЯ ГВОМНТРИВ ИА ПЛОСКОСТИ 441 417 стзукпцего 4юкуса на аснмптоту гиперболы.
Вычислить длину этого пер~енднкулярж 44! Вычислить полуоси йтшерболы. энзэ, что: 1) расстояние между фокусамэ равно 8 н расстояние между директрисамя равно 6; 2) директрисы ллны уравнениями х = + 3 у~2 и угол между асимптотзми †, прямой; 3) асммптоты даны уравнениями у= + 2х к 4вкусы на- ходятся на расстоянки 6 от центра; 4) асимпготы даны уравнениями у= + з/зх к гипербола проходит через точку йт'(+6; +9). 442.
Написать уравнения двух сопряженных гипербол, зная. что расстояние между директрисами первой нз иих равно 7,2 н расстояние между днректрксами второй равно 12,8. 442й. Составить уравнение гиперболы, оск симметрии которой совпадают с осями коордийат. если дана точка пере- сечения РНА3.2; +2,4) одной пз асиивтот с одной на ди- ректрис этой гиперболы. 446. Определить угол между аснмптотами гиперболы, у которой: 1) эксцентрнснтет а=2".
2) расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами. 444. Вычислить эксцентриситет гиперболы при условии, что: 1) угол между аснмптотамн равен 60, 2) угол между асимптотамн равен 90', 8) действительная ось Гиперболы видна из фокуса сопря- женной гиперболы под углом в 60'. 446. Дана равносторонняв гипербола хй †уй. Найти софокусную гиперболу, проходящую через точку М( — б; +3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
