Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫЕ. Е. Тыртышников1Что нужно знать о группах1.1Определение группыБинарной операцией на множестве G со значениями в множестве M называется отображение f : G × G → M , т.е. функция f (a, b), зависящая от двух аргументов a иb, определенная при всех a, b ∈ G и такая, что ее значения являются элементамимножества M . Для операции вводится какой-нибудь символ, часто +, ×, ⊗, ·или просто пустое место. Чтобы подчеркнуть, что речь идет о совершенно общейситуации, мы будем какое-то время использовать символ ∗, с его помощью результатоперации записывается в видеa ∗ b := f (a, b).Группой называется непустое множество G с бинарной операцией, обладающейследующими свойствами:• a ∗ b ∈ G для любых a, b ∈ G (замкнутость);• a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c для любых a, b, c ∈ G (ассоциативность);• для любых a, b ∈ G существуют x, y ∈ G такие, что a ∗ x = b и y ∗ a = b(существование правой и левой обратной операции).Утверждение 1.1.1 В группе G существует единственный элемент e такой, чтодля любого a ∈ G имеют место равенства a ∗ e = e ∗ a = a.Доказательство.

Зафиксируем произвольный элемент a ∈ G. Уравнение a ∗ x = aимеет хотя бы одно решение, пусть eΠ ∈ G – одно из решений, т.е. a ∗ eΠ = a.Возьмем произвольный элемент b ∈ G. Согласно определению группы, существуетy ∈ G такой, что y ∗ a = b. Тогдаa ∗ eΠ = a ⇒ y ∗ (a ∗ eΠ ) = y ∗ a = b.В то же время, в силу ассоциативности y ∗ (a ∗ eΠ ) = (y ∗ a) ∗ eΠ = b ∗ eΠ .

Такимобразом, для любого b ∈ G имеем b ∗ eΠ = b.Аналогично доказывается существование элемента eΛ ∈ G такого, что для любогоb ∈ G выполняется равенство eΛ ∗ b = b. Докажем, что eΛ = eΠ . Поскольку любойэлемент сохраняется при умножении на eΠ справа, имеем eΛ ∗ eΠ = eΛ . В то же времялюбой элемент сохраняется при умножении на eΛ слева, поэтому eΛ ∗ eΠ = eΠ .

Итак,e := eΠ = eΛ .1Единственность доказывается следующим образом. Пусть a ∗ e1 = e1 ∗ a = a иe2 ∗ a = a ∗ e2 = a для всех a ∈ G. Тогда e1 = e1 ∗ e2 = e2 . 2Элемент e ∈ G со свойством a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ G называется нейтральнымэлементом группы G.Пусть a – произвольный элемент группы G. Элемент b ∈ G со свойством a ∗ b =b ∗ a = e называется обратным элементом для элемента a.Утверждение 1.1.2 Пусть e – нейтральный элемент группы G. Тогда для любогоэлемента a ∈ G существует единственный элемент b ∈ G такой, чтоa ∗ b = b ∗ a = e.Доказательство.

Обозначим через bΠ и bΛ решения уравнений a ∗ x = e и y ∗ a = e.ТогдаbΛ ∗ (a ∗ bΠ ) = bΛ ∗ e = bΛ ,(bΛ ∗ a) ∗ bΠ = e ∗ bΠ = bΠ .Из ассоциативности следует, что bΛ = bΠ . Элемент b := bΛ = bΠ является искомым.Пусть b1 и b2 – два элемента с тем же свойством. Тогда(b1 ∗ a) ∗ b2 = e ∗ b2 = b2 ,b1 ∗ (a ∗ b2 ) = b1 ∗ e = b1 ⇒ b1 = b2 . 2Эквивалентное определение группы. Группой называется непустое множество G с бинарной операцией, обладающей следующими свойствами:• a ∗ b ∈ G ∀ a, b ∈ G;• a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀ a, b, c ∈ G;• ∃! e ∈ G : a ∗ e = e ∗ a = a ∀ a ∈ G;• ∀ a ∈ G ∃! b ∈ G : a ∗ b = b ∗ a = e.Доказательство эквивалентности определений.

Пусть G – группа в смыслепервого определения. Согласно вышеприведенным утверждениям, в G имеется единственный нейтральный элемент и для каждого элемента существует единственныйобратный элемент. Таким образом, выполнены все требования второго определения.Пусть G – группа в смысле второго определения. Рассмотрим уравнение a ∗ x =b. Если оно имеет решение, то это решение единственно. В самом деле, пусть c –обратный элемент для a. Тогдаa ∗ x = b ⇒ c ∗ (a ∗ x) = (c ∗ a) ∗ x = e ∗ x = x = c ∗ b.2В то же время, взяв x := c ∗ b, находим a ∗ x = a ∗ (c ∗ b) = (a ∗ c) ∗ b = e ∗ b = b.Аналогично рассматривается уравнение y ∗ a = b. 2Обратим внимание на то, что в общем случае a ∗ b 6= b ∗ a.

Если a ∗ b = b ∗ a∀ a, b ∈ G, то группа G называется коммутативной или абелевой.Группа, имеющая конечное число элементов, называется конечной группой. Число элементов конечной группы G называется порядком группы G и обозначается |G|.Пример бесконечной абелевой группы. Множество Z целых чисел относительно операции сложения.Пример бесконечной неабелевой группы. Множество невырожденных n×nматриц с вещественными элементами относительно операции умножения матриц.Эта группа называется полной или общей линейной группой и обозначается GL(n, R).Множество вещественных матриц порядка n с определителем 1 относительно той жеоперации образует специальную линейную группу, которая обозначается SL(n, R).Пример конечной абелевой группы. Пусть n – натуральное число. Обозначим через [a] множество всех целых чисел, имеющих при делении на n такой жеостаток, как и число a.

Множества вида [a] называются вычетами по модулю n.Всего различных вычетов по модулю n имеется ровно n. Определим операцию сложения вычетов следующим образом:[a] + [b] := [a + b].Это определение корректно, так как из равенств[a] = [â],[b] = [b̂]легко выводится, что [a + b] = [â + b̂]. Множество вычетов по модулю n относительнооперации сложения вычетов является aбелевой группой порядка n.Пример конечной неабелевой группы. Пусть X – множество из n элементови Sn – множество всех взаимно-однозначных отображений X на себя.

Такие отображения называются подстановками. Операция композиции отображений превращает Sn в группу. Замкнутость, очевидно, есть. Ассоциативность всегда имеет местодля композиции отображений. Нейтральный элемент – это тождественное отображение, обратные элементы задаются обратными отображениями. Группа Sn называетсясимметрической группой степени n.Группы в геометрии. Один из подходов к описанию предмета геометрии – определять ее как науку о свойствах фигур, остающихся инвариантными (неизменными)при взаимно-однозначных преобразованиях пространства, образующих группу относительно композиции преобразований. Например, можно рассмотреть аффинные преобразования плоскости.

Аффинным преобразованием называется композиция двухпреобразований: параллельного переноса и линейного преобразования. Чтобы определить линейное преобразование, фиксируется система координат и невырожденнаявещественная матрица A порядка 2. Точка с координатами (x, y) преобразуется в3точку с координатами (x̂, ŷ) по правилу x̂x=A.ŷyМожно доказать, что при любом аффинном преобразовании пересекающиеся прямыепереходят в пересекающиеся прямые. Более того, пусть точки M , A, B переходят вточки M̂ , Â, B̂.

Если M лежит на прямой между A и B, то M̂ находится на прямоймежду Â и B̂ и при этом |AM |/|M B| = |ÂM̂ |/|M̂ B̂|. Используя этот факт, можно получить, например, такое доказательство известной теоремы о том, что три медианытреугольника пересекаются в одной точке: с помощью некоторого аффинного преобразования любой треугольник можно перевести в равносторонний, для которогосвойство медиан проверяется тривиально.Задача 1. Докажите, что множество аффинных преобразований плоскости соперацией композиции преобразований образует группу.Задача 2.

Докажите, что существует аффинное преобразование, переводящее заданный треугольник в любой другой заданный треугольник.Задача 3. Докажите, что если три точки M , A, B лежат на одной прямой, топри аффинном преобразовании их образы M̂ , Â, B̂ также лежат на одной прямойи сохраняется отношение |AM |/|M B| = |ÂM̂ |/|M̂ B̂|.Задача 4. Пусть e – нейтральный элемент группы G и для любого элемента a ∈ Gимеет место равенство a ∗ a = e.

Докажите, что группа G является абелевой.Задача 5. Докажите, что множество1 0a1 1a2 a1a3 a2матриц вида0 00 0,1 0a1 1где a1 , a2 , a3 ∈ Z, является абелевой группой относительно умножения матриц.√Задача 6. Докажите, что множество чисел вида a + b 3, где a, b – произвольныерациональные числа с условием a2 + b2 6= 0, образует группу относительно операцииумножения чисел.1.2Избыточность в определении группыВ рассмотренных выше определениях группы часть требований можно отбросить иполучить как следствие других требований.

Например, во втором определении совсемне обязательно требовать единственность нейтрального элемента или единственностьобратных элементов. Но можно отбросить и большее число требований.4Теорема 1.2.1 Пусть G – непустое множество с бинарной операцией, котораяимеет следующие свойства:• a ∗ b ∈ G ∀ a, b ∈ G;• a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀ a, b ∈ G;• ∃ e ∈ G : a∗e = a ∀ a ∈ G (существование правого нейтрального элемента);• ∀ a ∈ G ∃ b ∈ G : a ∗ b = e (существование правого обратного элемента).Тогда G является группой.Доказательство.

Докажем, что правый нейтральный элемент является также илевым нейтральным. Пусть e ∗ a = x. Тогда для некоторого b имеем a ∗ b = e. Следовательно,(e ∗ a) ∗ b = e ∗ (a ∗ b) = e ∗ e = e = x ∗ b = a ∗ b.Для некоторого c имеем b ∗ c = e. Поэтомуx∗b = a∗b ⇒ (x∗b)∗c = (a∗b)∗c = x∗(b∗c) = x∗e = x = a∗(b∗c) = a∗e = a ⇒ x = a,что и требовалось доказать.Далее, пусть a ∗ b = e. Тогдаb ∗ (a ∗ b) = b ∗ e = b = (b ∗ a) ∗ b.Пусть элемент c обладает свойством b ∗ c = e. Тогдаb = (b ∗ a) ∗ b ⇒ e = b ∗ c = (b ∗ a) ∗ (b ∗ c) = (b ∗ a) ∗ e = e.

2Задача 7. Докажите, что множество нижних треугольных матриц порядка n cцелыми элементами и определителем 1 является группой относительно операцииумножения матриц. Найдите все значения n, при которых эта группа являетсяабелевой.Задача 8. Докажите, что всеимеющие вид 1a0 a1 .. .an−2невырожденные вещественные n × n-матрицы,an−1a0......an−1 an−2..a2a1... ...a2 .. .... ...

,... a0 an−1 ... a1a0.образуют группу относительно операции умножения матриц.Задача 9. Пусть G – множество всех вещественных невырожденных n × n-матриц, в которых невырожденной является также любая подматрица, расположенная в левом верхнем углу. Является ли G группой относительно умножения матриц?1Такие матрицы называются циркулянтными.51.3Аддитивные и мультипликативные группыГруппа называется аддитивной, если ее операция именуется сложением и обозначается знаком +.

В аддитивной группе нейтральный элемент называется нулевым иобозначается символом 0. Обратный элемент для a называется противоположными обозначается −a.Пусть n – целое число. Определим n-кратное элемента a следующим образом:• если n > 0, тоn · a := a. . + a};| + .{zn раз• если n = 0, то0 · a := 0;• если n = −k, k > 0, тоn · a := k · (−a).Утверждение 1.3.1 Пусть a – элемент аддитивной группы. Тогда(m + n) · a = m · a + n · a ∀ m, n ∈ Z.Доказательство.

Если m, n > 0, то. . + a}) = m · a + n · a.(m + n) · a = (a. . + a}) + (a| + .{z| + .{zm разn разПусть m > k > 0 и n = −k. Тогда(m + n) · a = |a + .{z. . + a} = (a. . + a}) + ((−a) + . . . + (−a)) = m · a + n · a.| + .{z|{z}m разm − k разk разОстальные случаи разбираются аналогично. 2Группа называется мультипликативной, если ее операция именуется умножением и обозначается пустым местом (иногда точкой). В мультипликативной группенейтральный элемент называется единичным или единицей. Обычно для него используется обозначение e или даже 1. Обратный для a элемент обозначается a−1 .Пусть a – элемент мультипликативной группы и n ∈ Z. Вот определение n-йстепени элемента a:• если n > 0, тоan := |a · .{z.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги