Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

fm+n xm+n = (a0 + a1 x + . . . + am xm )(b0 + b1 x + . . . + bn xn ).38Число a0 b0 не делится на p2 , но делится на p. Следовательно, ровно одно из чисел a0либо b0 делится на p. Пусть это a0 , тогда b0 не делится на p. Среди коэффициентовai есть не делящийся на p. Поэтому существует номер i такой, чтоp | a0 , . . .

, p | ai−1 , p - ai .Тогда fi = ai b0 + (ai−1 b1 + . . . + a0 bi ). Произведение ai b0 не делится на p, а число вскобках делится. Поэтому fi не может делиться на p. По условию это невозможнопри i < m + n. Следовательно, i = m + n и, так как, i ≤ m, отсюда n = 0. 2Задача 79. Докажите, что многочлен f (x) = 2 x1986 + 8 x1955 + 27 является неприводимым над Q.Задача 80. Пусть p – простое число. Докажите, что многочленf (x) =(x + 1)p − 1xнеприводим над Q.Задача 81. Пусть f (x) = 1 + x + . . . + xp−1 – многочлен с коэффициентами изполя вычетов по простому модулю p. Найдите разложение многочлена f (x) нанеприводимые над этим полем множители.2.7Поле частныхПусть K – произвольное целостное кольцо, в котором есть хотя бы один ненулевойэлемент. Рассмотрим множество формальных частных или дробейa,bгде a, b ∈ K,b 6= 0.Любое формальное частное ассоциируется с упорядоченной парой элементов кольцаK, в которой второй элемент не равен нулю.

По очевидной аналогии с рациональными числами, можно называть a числителем, а b – знаменателем.По определению,ac=⇔ ad = bc.bdДанное бинарное отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Приведем доказательство транзитивности (в нем используется отсутствие делителей нуля в K):ac= ,bdcp=dqadcq = bcdp⇒⇒ad = bc, cq = dpaq = bp39⇒⇒ap= .bqТаким образом, все множество формальных частных разбивается на непересекающиеся классы равных между собой частных.

Для обозначения класса используетсялюбой его представитель.Определим операцию сложения формальных частных следующим образом:a cad + bc+ :=.b dbdЗдесь нужна проверка корректности определения, которая заключается в следующем.Утверждение 2.7.1a1a= ,bb1cc1=dd1ad + bca1 d1 + b1 c1=.bdb1 d 1⇒Доказательство.(ad + cb) b1 d1 − (a1 d1 + c1 b1 ) bd = dd1 (ab1 − a1 b) + bb1 (cd1 − c1 d) = 0. 2Вот определение операции умножения формальных частных:a cac:= .b dbdКак и для сложения, следует проверить корректность определения.Утверждение 2.7.2aa1= ,bb1Доказательство. ab1 = ba1 ,cc1=dd1⇒aca1 c 1.=bdb1 d1cd1 = dc1⇒acb1 d1 = bda1 c1 . 2Теорема 2.7.1 Для любого целостного кольца с хотя бы одним ненулевым элементом множество его формальных частных с операциями сложения и умноженияобразует поле.Доказательство. Начнем с проверки ассоциативности сложения:a c p(ad + bc)q + bdpac pb(cq + dp) + adq++ =,++=,b dqbdqbd qbdq(ad + bc)q + bdp − b(cq + dp) − adq = adq + bcq − bcq − adq = 0.Нулевой элемент по сложению есть формальное частное вида00 := ,bb 6= 0.Противоположный элемент имеет такой вид:a−a− =.bb40Коммутативность сложения дробей очевидна.

При проверке дистрибутивности вновьиспользуется отсутствие делителей нуля:ab+c p(ad + bc)p=,d qbdqap cpap cpapdq + bqcpapd + bcp(ad + bc)p+=+===.bq dqbqdqbqdqbdqbdqКоммутативность умножения очевидна. Единичный элемент имеет видa1 := ,aa 6= 0.Обратный элемент для дроби с ненулевым числителем определяется таким образом: a −1bb:= .a2Фиксируем произвольный ненулевой элемент b ∈ K и рассмотрим отображение,определенное для любого a ∈ K:φ: a →ab.bНетрудно проверить, что при этом отображении разные элементы переходят в разные дроби, поэтому каждый элемент исходного кольца однозначно сопоставляется снекоторой дробью.

Кроме того, сумма и произведение элементов переходят в суммуи произведение дробей, ассоциированных с этими элементами посредством отображения φ. Все это дает основание говорить, что исходное целостное кольцо вложенов свое поле частных.Если K = Z – поле целых чисел, то поле частных строится так же, как полерациональных чисел. Общеизвестно, что Z считается частью Q.Пусть K – целостное кольцо и K[x] – кольцо многочленов над K. Поле частныхдля K[x], т.е. поле формальных дробей видаf (x),g(x)f (x), g(x) ∈ K[x],g(x) 6= 0,называется полем рациональных функций на K. Обозначение для поля рациональных функций: K(x) (круглые скобки вместо квадратных скобок для кольца многочленов от x). Естественным образом считается, что K[x] ⊂ K(x).Задача 82.

Рассматриваются рациональные функции над Z2 , для которых степень числителя и знаменателя не выше 2. Найдите число различных рациональныхфункций такого вида.412.8Многочлены от нескольких переменныхПусть K – целостное кольцо с единицей и K1 := K[x] – кольцо многочленов над K.Мы уже знаем, что кольцо K1 также является целостным кольцом с единицей.Пусть теперь K1 [y] – кольцо многочленов от y с коэффициентами из K1 . Любойэлемент кольцаK1 [y] = (K[x])[y]имеет видf (x, y) =XXiaij xi y j ,jгде i, j – неотрицательные целые числа и aij – элементы из K, среди которых лишьконечное число отличается от нуля, т.е.

в сумме присутствует конечное число членов.Условимся писать K[x, y] = (K[x])[y] – это кольцо многочленов от переменных x и yс коэффициентами из K.Аналогичным образом строится кольцоK[x1 , x2 , . . . , xn ] := (K[x1 , . . . , xn−1 ])[xn ].Это целостное кольцо с единицей. Его элементы называются многочленами от переменных x1 , .

. . , xn и имеют вид суммы одночленовai1 ,... , in xi11 xi22 . . . xinn ,ai1 ,... , in ∈ K.Если ai1 ,....in 6= 0, то одночлен называется ненулевым, в этом случае сумма i1 + . . . + inназывается его степенью. Степенью многочлена называется максимальная степеньего ненулевых одночленов.Удобно ввести мультииндекс i := (i1 , . . . , in ) и писать x := (x1 , . . . , xn ) и xi :=. . . xinn . С помощью мультииндексов запись многочлена от n переменных по видуничем не отличается от записи многочлена от одной переменной:Xf (x1 , . . . , xn ) = f (x) =ai xi , x = (x1 , .

. . , xn ), i = (i1 , . . . , in ).xi11 xi22iКаноническим представлением многочлена считается такое представление, в которомодночлен с мультииндексом i встречается только один раз. Два многочлена называются равными, если в своих канонических представлениях они имеют одни и те жекоэффициенты в одночленах с одним и тем же мультииндексом.Возьмем α1 , .

. . , αn ∈ K. Значением многочлена f (x1 , . . . , xn ) в точке (α1 , . . . , αn )называетсяXai1 ,...,in α1i1 . . . αnin .f (α1 , . . . , αn ) :=i1 ,...,inКак и для многочлена от одной переменной, для многочленов от n переменныхвводится понятие делителя: мы пишем.g(x1 , . . . , xn ) ..

f (x1 , . . . , xn ) или f (x1 , . . . , xn ) | g(x1 , . . . , xn ),42если существует многочлен h(x1 , . . . , xn ) над K, с которым выполняется равенствоg(x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn )h(x1 , . . . , xn ).Теорема 2.8.1 Если K – факториальное кольцо, то кольцо K[x1 , . . . , xn ] такжеявляется факториальным.Мы наметим лишь схему доказательства. Достаточно установить, что кольцо K[x]является факториальным. Для этого построим поле частных для K. Обозначим этополе через L. Уже доказано, что для многочленов от одной переменной над любымполем, в том числе и над L, имеет место однозначное разложение на неприводимыемножители.

Далее можно сформулировать абстрактный аналог леммы Гаусса длямногочленов a(x) и b(x) над произвольным факториальным кольцом, произведениекоторых c(x) = a(x)b(x) делится на неприводимый элемент p этого кольца, и почтислово в слово переписать доказательство теоремы о факториальности кольца Z[x].Задача 83. Два многочлена от n переменных над бесконечным полем принимаютодинаковые значения в бесконечном числе различных точек. Равны ли эти многочлены?Задача 84. Покажите, что теорема о наибольшем общем делителе для многочленов от двух и большего числа переменных неверна.Задача 85. В поле K выбрано подмножество X из m различных элементов и рассматривается множество точекD := X. .

× X} = {(α1 , . . . , αn ) : α1 , . . . , αn ∈ X}.| × .{zn разДан многочлен f (x1 , . . . , xn ) над полем K. Докажите, что число его корней на D,т.е. таких точек (α1 , . . . , αn ) ∈ D, в которых f (α1 , . . . , αn ) = 0, не больше чемdeg f · mn−1 .Задача 86. Выясните, является ли многочлен f (x, y, z) = x25 + y 25 + z 25 неприводимым над Z5 .Задача 87. Пусть K – поле. Докажите, чтовидаx1 x2f (x1 , . .

. , xn ) := det . . .xnмногочлен от n переменных над Kx21 . . . xn1x22 . . . xn2 2nxn . . . xnделится на xi −xj при i 6= j. Найдите его разложение на неприводимые множители.43Задача 88. Над полем K задан многочлен от n2 переменных xij , 1 ≤ i, j ≤ n,который определяется следующим образом:x11 . . .

x1n.f (x11 , x21 , . . . , xnn ) := det  . . .xn1 . . . xnnДокажите, что этот многочлен неприводим над K.Задача 89. Рассматриваются три многочлена:f (x, a0 , . . . , am ) = a0 + a1 + . . . + am xm ,amR(a0 , . . . , am , b0 , . . . , bn ) := det b nam−1amg(x, b0 , .

Характеристики

Список файлов книги