Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. . + deg qk = deg r1 − deg rk−1 < deg r1 ,deg vk = deg q2 + deg q4 + . . . + deg qk = deg r0 − deg rk−1 < deg r0 .234Задача 73. Найдите все делители единицы в кольце 2 × 2-матриц с целочисленными элементами.Задача 74. Найдите наибольший общий делитель многочленов x15 − 1 и x10 − 1 надполем K в трех случаях: K = Q, K = Z2 , K = Z5 .Задача 75. Рассматриваются два многочлена с коэффициентами из некоторогополя:f (x) = a0 + a1 + . .

. + am xm ,g(x) = b0 + b1 x + . . . + bn xn ,Для них строится квадратная матрица видаamS(f, g) = b nam−1ambn−1bn...am−1......bn−1...a0......ambn 6= 0.4a0...am−1b0......bnam 6= 0,b0...bn−1............a0 b0n строкm строкДокажите, что степень набольшего общего делителя многочленов f (x) и g(x) равнаm + n − rank S(f, g).2.5Разложение на неприводимые множителиПусть K – целостное кольцо с единицей. Отличный от делителя единицы ненулевой элемент a ∈ K называется неприводимым в K, если из равенства a = bc длякаких-то b, c ∈ K следует, что b или c является делителем единицы.

Под разложением на неприводимые множители понимается представление элемента из K в видепроизведения неприводимых элементов.Разложение на неприводимые множители называется однозначным, если любоеаналогичное разложение получается из него перенумерацией множителей и умножением их на делители единицы.

Целостное кольцо с единицей, в котором любойэлемент, отличный от делителя единицы, имеет однозначное разложение на неприводимые множители, называется факториальным или гауссовым.Если K – целостное кольцо с единицей, то таким же будет и кольцо K[x]. Многочлен p(x) ∈ K[x] называется неприводимым над K, если он не имеет нетривиальныхделителей в кольце K[x]. Конечно, это определение согласуется с приведенным вышепонятием неприводимости в произвольном целостном кольце с единицей.Пример.

Каждый из многочленов f1 (x) = 7, f2 (x) = 17, f3 (x) = x2 + 1 не является делителем единицы в Z[x] и неприводим над Z. При этом f1 и f2 являютсяв Q[x] делителями единицы, понятия приводимости или неприводимости для них нерассматриваются. Многочлен-константа f (x) = 4 приводим над Z, но оказываетсяделителем единицы над Q.4Эта матрица известна как матрица Сильвестра.35Лемма 2.5.1 Пусть рассматриваются многочлены над полем. Тогда.a(x)b(x) .. c(x),(b(c), c(x)) = 1⇒.a(x) ..

c(x).Доказательство. По теореме о наибольшем общем делителе, для некоторых многочленов u(x) и v(x) над тем же полемb(x)u(x) + c(x)v(x) = 1⇒(a(x)b(x)u(x) + c(x)(a(x)v(x)) = a(x)⇒.a(x) .. c(x).2Теорема 2.5.1 Для любого отличного от константы многочлена над полем существует однозначное разложение на неприводимые множители.Доказательство. Существование очевидно. Чтобы доказать однозначность, рассмотрим два разложения:p1 p2 . . . ps = q1 q2 .

. . qt .Предположим, что p1 не делится на q1 . В силу неприводимости (p1 , q1 ) = 1, поэтому,по предыдущей лемме,.p2 p3 . . . ps .. q1 .Повторяя это рассуждение, мы установим, что есть многочлен pi , который делится.на многочлен q1 . После перенумерации можно считать, что p1 .. q1 . В силу неприводимости получаем равенство p1 = cq1 , где c – ненулевая константа. Таким образом,q1 (cp2 p3 . . . ps − q2 q3 . . . qt ) = 0.Поскольку в кольце многочленов над полем делителей нуля нет, отсюда получаемравенство следующих двух разложений на неприводимые множители:(cp2 )p3 . .

. ps = q2 q3 . . . qt .Для завершения доказательства можно провести индукцию по s. 2Задача 76. Пусть n – простое число и a – рациональное число. Докажите, чтомногочлен f (x) = xn − a приводим над полем рациональных чисел в том и только том случае, когда a = bn для некоторого рационального числа b. Верно ли этоутверждение в случае составного числа n?Задача 77.

Докажите, что любое ненулевое гауссово число (комплексное числовида a + bi при целых a и b) имеет конечное число делителей в кольце гауссовыхчисел.√Задача 78. Пусть K – множество комплексных чисел вида a + i 3 b, где a, b ∈ Z.Докажите, что K является целостным кольцом с единицей, в котором число 4имеет несколько разных разложений на неприводимые множители.362.6Многочлены с целыми коэффициентамиРассмотрим вопрос о неприводимости над полем рациональных чисел многочлена сцелыми коэффициентами. Его решение основано на следующей лемме.Лемма 2.6.1 (лемма Гаусса) Пусть a(x), b(x), c(x) ∈ Z[x] и c(x) = a(x)b(x). Есливсе коэффициенты многочлена c(x) делятся на простое число p, то это же вернодля всех коэффициентов хотя бы одного из многочленов a(x) или b(x).Доказательство.

Пустьc0 + c1 x + . . . + cm+n xm+n = (a0 + a1 x + . . . + am xm )(b0 + b1 x + . . . + bn xn ).От противного, допустим, что p - ai и p - bj . Давайте считать, чтоp | a0 , . . . , p | ai−1 , p - aiи p | b0 , . . . , p | bj−1 , p - bj .Тогдаci+j = ai bj + (ai−1 bj+1 + . . . + a0 bj+i ) + (ai+1 bj−1 + . . . + ai+j b0 ).Число ai bj не делится на p, а две скобки делятся на p. Поэтому ci+j не может делитьсяна p.

2Теорема 2.6.1 Пусть c(x) ∈ Z[x]. Тогда c(x) нельзя представить в виде произведения целых многочленов ненулевой степени в том и только том случае, когда f (x)неприводим над Q.Доказательство. Предположим, что многочлен c(x) ∈ Z[x] есть произведение целых многочленов ненулевой степени. Тогда он очевидно приводим над Q. Теперьпредположим, что c(x) приводим над Q:c(x) = a(x)b(x),a(x), b(x) ∈ Q[x],m = deg a(x),n = deg b(x).Пусть для целых чисел A и B многочлены a1 (x) := A a(x) и b1 (x) := B b(x) оказываются многочленами с целыми коэффициентами, причем deg a1 (x) = m и deg b1 (x) = n.Разложим число AB в произведение простых чиселAB = p1 p2 . . .

psи рассмотрим равенство многочленов с целыми коэффициентами(p1 p2 . . . ps )c(x) = a1 (x)b1 (x).По лемме Гаусса, все коэффициенты хотя бы одного из многочленов a1 (x) или b1 (x)делятся на p1 . Поделив обе части равенства многочленов на p1 , получаем новое равенство многочленов с целыми коэффициентами:(p2 p2 . . . ps )c(x) = a2 (x)b2 (x),где deg a2 (x) = m,deg b2 (x) = n.Применяя лемму Гаусса s раз, приходим к равенствуc(x) = as+1 (x)bs+1 (x),где многочлены as+1 (x) и bs+1 (x) имеют целые коэффициенты, а их степени равнысоответственно m и n.

2.37Теорема 2.6.2 Кольцо Z[x] является факториальным.Доказательство. Многочлен f (x) ∈ Z[x] является также многочленом над Q, поэтому он разлагается в произведение неприводимых многочленов с рациональными коэффициентами. Последовательное применение доказанной выше теоремы дает разложение того же многочлена в произведение многочленов с целыми коэффициентами,которые получаются из многочленов исходного разложения с помощью умноженияна какие-то ненулевые целые числа.

Таким образом можно получить представлениеf (x) = p1 . . . pk f1 (x) . . . fs (x),где p1 , . . . , pk – простые числа, а f1 (x), . . . , fs (x) – целые многочлены положительной степени, обладающие тем свойством, что коэффициенты каждого из них не имеют нетривиального (т.е. отличного от делителя единицы) общего делителя. Это ибудет разложение на неприводимые множители над Z.Пусть имеется еще одно разложениеf (x) = q1 .

. . ql g1 (x) . . . gt (x),где q1 , . . . , ql – простые числа и g1 (x), . . . , gt (x) – неприводимые над Z многочленыположительной степени. Ясно, что коэффициенты любого многочлена gi (x) не могутиметь нетривиальный общий делитель, иначе он будет приводимым над Z. В силулеммы Гаусса, какое-то из чисел qj должно делиться на pi .

Но это означает, что piравно какому-то из чисел qj . По той же причине каждое qj равно какому-то из чиселpi . В итоге k = l и числа p1 , . . . , pk получаются перестановкой чисел q1 , . . . , qk .Следовательно,f1 (x) . . . , fs (x) = g1 (x) .

. . , gt (x).Множители слева и справа являются неприводимыми многочленами над Q, где однозначность разложения уже доказана. Следовательно, s = t и после перенумерациисправедливы соотношенияAi fi (x) = Bi gi (x),Ai , Bi ∈ Z,1 ≤ i ≤ s.В этом месте существенно, что коэффициенты каждого из многочленов fi (x) и gi (x)не имеют нетривиального общего делителя. Поэтому еще одно применение леммыГаусса приводит к выводу о том, что Ai получается из Bi умножением на ±1. 2При выяснении неприводимости конкретных многочленов весьма полезно следующее достаточное условие неприводимости.Теорема 2.6.3 (признак Эйзенштейна) Пусть f (x) ∈ Z[x].

Если старший коэффициент f (x) не делится на простое число p, все остальные коэффициенты делятся на p, но свободный член не делится на p2 , то f (x) неприводим над Q.Доказательство. От противного, пусть f (x) разлагается в произведение рациональных многочленов степени m и n. Тогда f (x) разлагается в произведение целыхмногочленов тех же степеней:f0 + f1 x + . . .

Характеристики

Список файлов книги