Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Множество Ha = {ha : h ∈ H} называется правым смежным классом группы G по подгруппе H, а множество aH = {ah : h ∈ H} – левымсмежным классом.Теорема 1.7.1 (теорема Лагранжа) Порядок подгруппы в конечной группе является делителем порядка группы.Доказательство. Предположим, что правые смежные классы Ha и Hb имеют общий элемент c. Тогдаc = h1 a = h2 b.H является группой ⇒ Hh = H ∀ h ∈ H.
Отсюда Hc = Ha = Hb. Следовательно,два правых смежных класса либо совпадают, либо не пересекаются. Значит, множество G является объединением конечного числа непересекающихся правых смежныхклассов. Остается заметить, что в любом правом смежном классе одно и то же числоэлементов, равное порядку подгруппы H. 2Заметим, что в общем случае Ha 6= aH. Например, в группе G = GL(n, R) невырожденных вещественных матриц порядка n подмножество H невырожденных верхних треугольных матриц является подгруппой. Однако, произведение ah матриц1 −11 1a=∈G и h=∈H110 1нельзя представить в виде h1 a, где h1 ∈ H, так как 1 −11 11/2 1/21/2 1/2−1aha ==∈/ H.110 1−1/2 1/2−1/2 3/2Операцию умножения подмножеств в мультипликативной группе можно рассматривать как бинарную операцию на множестве, скажем, правых смежных классов, нов общем случае она не является замкнутой.
Предыдущий пример показывает, чтопроизведение смежных классов Ha · Ha−1 не совпадает с H = He, где e – единичнаяматрица, и поэтому не может совпадать ни с каким смежным классом.В каком случае произведение любых правых смежных классов совпадает с какимто правым смежным классом? Предположим, что (Ha)(Hb) = Hc. Тогда ab ∈ Hc и,2Подгруппа Z(a) называется централизатором элемента a.12следовательно, Hc = H(ab). Таким образом, (Ha)(Hb) = H(ab).
Отсюда вытекает,что для любого h ∈ H существует элемент h1 ∈ H такой, чтоahb = h1 ab ⇒ ah = h1 a ⇒ aH ⊆ Ha ⇒ aHa−1 ⊆ H ⊆ a−1 Ha.Подгруппа H ≤ G называется нормальной подгруппой или нормальным делителем, если aha−1 ∈ H для любого элемента a ∈ G и любого элемента h ∈ H. Другимисловами, подгруппа H является нормальной в группе G, если она содержит любуюсопряженную себе подгруппу. Обозначение: H E G.Утверждение 1.7.1 Подгруппа содержит любую сопряженную себе подгруппу втом и только том случае, когда она совпадает с любой сопряженной себе подгруппой.Доказательство. Пусть H ≤ G и aHa−1 ⊆ H. В силу произвольности a ∈ G включение выполняется также при замене a на a−1 . Поэтому для любого h ∈ H имеемh1 := a−1 ha ∈ H⇒ h = ah1 a−1 ⇒ H ⊆ aHa−1 ⇒ H = aHa−1 .
2Очевидно, что равенство aHa−1 = H равносильно равенству Ha = aH. Такимобразом, в случае нормальной подгруппы H правый смежный класс по подгруппе Hдля любого элемента совпадает с левым смежным классом для того же элемента.Утверждение 1.7.2 Для нормальной подгруппы множество ее смежных классовотносительно операции умножения смежных классов является группой.Доказательство. Пусть H E G. Обозначим через G/H множество смежных классовG по H. Поскольку aH = Ha и HH = H, находим (Ha)(Hb) = H(aH)b = H(Ha)b =(HH)(ab) = H(ab), т.е. (Ha)(Hb) ∈ G/H. Ассоциативность умножения смежныхклассов вытекает из ассоциативности умножения в группе G:Ha · (Hb · Hc) = Ha · Hbc = Habc = Hab · Hc = (Ha · Hb) · Hc.Единицей является смежный класс He = H.
Поскольку (Ha)(Ha−1 ) = He = H,обратным для смежного класса Ha является смежный класс Ha−1 . 2Если H E G, то группа смежных классов относительно умножения смежныхклассов называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается G/H.Пример 1. В aддитивной группе Z множество nZ всех целых чисел, кратныхнатуральному числу n, является нормальной подгруппой, а фактор-группа Z/nZсовпадает с группой вычетов по модулю n.Пример 2. Пусть Z(G) := {a ∈ G : ag = ga ∀ g ∈ G} – множество всех элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы G.
Легко проверяется, чтоZ(G) E G. Подгруппа Z(G) называется центром группы G.Может так случиться, что подгруппа H не является нормальной в группе G, ноявляется нормальной подгруппой какой-то подгруппы G1 ≤ G. МножествоN (H) := {g ∈ G : gHg −1 = H}13называется нормализатором подгруппы H. Легко проверяется, что N (H) ≤ G иH E N (H), что вполне объясняет название. Подгруппа H нормальна в G тогда итолько тогда, когда G = N (H).
Ясно также, что G1 ≤ N (H), т.е. нормализаторявляется самой большой подгруппой, в которой H нормальна.Задача 24. Пусть G – мультипликативная группа вещественных невырожденных матриц порядка n, H1 – подмножество матриц с определителем 1, H2 – подмножество невырожденных верхних треугольных матриц. Докажите, что H1 иH2 являются подгруппами G. Выясните, являются ли они нормальными подгруппами.Задача 25.
Докажите, что множество внутренних автоморфизмов группы Gявляется нормальной подгруппой в группе всех ее автоморфизмов. Докажите также, что подгруппа внутренних автоморфизмов изоморфна фактор-группе группыG по ее центру Z(G).Задача 26. Пусть A, B ≤ G и G – конечная группа. Докажите, что число элементов в произведении AB равно|AB| =|A||B|.|A ∩ B|Задача 27. Пусть H < G. Докажите, что конечную группу G нельзя представить в виде объединения подгрупп, сопряженных с подгруппой H.Задача 28. Пусть A E G и B ≤ G. Доказать, что AB ≤ G.Задача 29. Элемент c группы G, представимый в виде c = aba−1 b−1 называетсякоммутатором элементов a и b.
Множество C(G) всех произведений любого конечного числа коммутаторов называется коммутантом группы G. Докажите, чтоC(G) E G.Задача 30. Пусть H ≤ A4 и известно, что H содержит тройной цикл (123) иявляется нормальной подгруппой в A4 . Докажите, что H = A4 .Задача 31. Докажите, что в знакопеременной группе A5 нет нетривиальных (отличных от нее самой и от единичной подгруппы) нормальных подгрупп.1.8Циклические группыПусть a – произвольный элемент группы G. Рассмотрим множество всех его целыхстепеней:hai := {ak , k ∈ Z}.Группа G называется циклической, если G = hai для некоторого a ∈ G.Группа Cn является примером циклической группы порядка n, но в определенномсмысле она же является единственной циклической группой порядка n. Группа целыхчисел Z по сложению является примером бесконечной циклической группы.14Теорема 1.8.1 Все циклические группы порядка n изоморфны.
Все бесконечные циклические группы также изоморфны.Доказательство. Пусть G = hai и Ĝ = hâi. Искомое отображение определим правилом f : ak → âk . Но будет ли такое определение корректным?Если группы имеют разное число элементов, например, |G| = 2 и |Ĝ| = 3, тотакого отображения просто не существует! В самом деле, f (e) = ê и одновременноf (e) = f (a2 ) = â2 6= ê.Однако, по условию конечные группы G и Ĝ имеют один и тот же порядок. Пустьn = |G| = |Ĝ|.
Тогдаak = al⇔.k − l .. n⇔âk = âl ,поэтому отображение определено корректно. Элементы a0 , . . . , an−1 – это все различные элементы группы G, а и их образы â0 , . . . , ân−1 – это все различные элементыгруппы Ĝ. Значит, отображение f взаимно-однозначно.Оно сохраняет операцию, так какf (ak al ) = f (ak+l ) = âk+l = âk âl = f (ak )f (al ).Таким образом, отображение f является гомоморфизмом. Случай бесконечных группразбирается аналогично.
2Теорема 1.8.2 Любая подгруппа циклической группы является циклической группой.Доказательство. Пусть H ≤ G = hai. Тогда в H имеются какие-то элементы вида akкак при отрицательных, так и при положительных целых k. Пусть m – наименьшеенатуральное m такое, что am ∈ H. Рассмотрим произвольный элемент ak ∈ H иподелим k на m с остатком:k = mq + r,0 ≤ r ≤ m − 1.Тогда ar = ak ((am )−1 )q ∈ H и, следовательно, r = 0, иначе m не было бы наименьшим..Итак, k ..
m, т.е. любой элемент из H имеет вид hq , где h := am . Поскольку H являетсяподгруппой, все целые степени элемента h обязаны входить в H. Таким образом,H = hhi. 2Задача 32. Докажите, что в любой бесконечной группе имеется бесконечно многонетривиальных подгрупп.Задача 33. Найдите число автоморфизмов для циклической группы порядка 2014.Задача 34. Пусть X – непустое подмножество элементов конечной группы Gпорядка n и Xk – множество всех k-членных произведений элементов из множества X (произведений вида x1 . . .
xk , где xi ∈ X). Докажите, что множествоH = X1 ∪ . . . ∪ Xn является подгруппой в G.Задача 35. Найдите с точностью до изоморфизма все группы порядка 4 и 6.151.9Действие группы на множествеНередко с элементами мультипликативной группы G ассоциируются взаимно-однозначные отображения некоторого непустого множества X на себя. При этом разныеэлементы группы G могут соответствовать одному и тому же отображению, но требуется, чтобы для любых g1 , g2 ∈ G и для каждого x ∈ X выполнялось равенство(g1 g2 )(x) = g1 (g2 (x)).Отсюда следует, что единичному элементу e ∈ G должно соответствовать тождественное отображение: e(e(x)) = e2 (x) = e(x) и в силу взаимной однозначности каждый элемент множества X имеет вид e(x).
Заметим также, что обратному элементусоответствует обратное отображение:y = g(x)⇒g −1 (y) = g −1 (g(x)) = (g −1 g)(x) = e(x) = x.Если X = G, то действие G на X можно определить разными способами. Например, как действие умножением: g(x) := gx. Или же как действие сопряжением:g(x) := gxg −1 . В конкретных ситуациях надо оговаривать, как именно определяетсядействие.Множество G(x) := {g(x) ∈ X : g ∈ G} называется орбитой элемента x ∈ X.Множество Gx := {g ∈ G : g(x) = x} называется стабилизатором элемента x ∈ X.Множество Xg := {x ∈ X : g(x) = x} называется множеством неподвижных точекдля g ∈ G.Утверждение 1.9.1 Стабилизатор Gx элемента x ∈ G является подгруппой в G.Доказательство.
Пусть g1 (x) = x и g2 (x) = x. Тогда, конечно же, (g1 g2 )(x) =g1 (g2 (x)) = x и g1−1 (x) = x. 2Утверждение 1.9.2 Длина орбиты G(x) равна числу правых (левых) смежныхклассов группы G по стабилизатору Gx .Доказательство. Равенство g1 (x) = g2 (x) равносильно равенству (g2−1 g1 )(x) = x,т.е. g2−1 g1 ∈ Gx . А это равносильно равенству смежных классов g1 Gx = g2 Gx . 2Пусть X = G и G действует на X = G сопряжением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
