Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . , bn ) = b0 + b1 x + . . . + bn xn ,...am−1...bn−1bn...bn−1...a0......amb0......bna0...am−1b0...bn−1...... a0 ......b0n строкm строкДокажите, что для некоторых многочленовu(x, a0 , . . . , am , b0 , . . . , bn ),v(x, a0 , . . . , am , b0 , . . . , bn )с целыми коэффициентами выполняется равенство5f u + gv = R.2.9Симметрические многочленыМногочлен f (x1 , . . . , xn ) называется симметрическим, еслиf (xσ(1) , .
. . , xσ(n) ) = f (x1 , . . . , xn ) ∀ σ ∈ Sn .Вот простейшие примеры симметрических многочленов:E1 (x1 , . . . , xn ) = x1 + x2 + . . . + xn ,En (x1 , . . . , xn ) = x1 x2 . . . xn .Обобщая эти примеры, положимEk (x1 , . . . , xn ) :=Xxi1 . . . xik ,1 ≤ k ≤ n.1≤i1 <...<ik ≤nТакие многочлены называется элементарными симметрическими многочленами.Элементарные симметрические многочлены возникают при описании связи между корнями многочлена и его коэффициентами.5R называется результантом многочленов f и g.44Теорема 2.9.1 (теорема Виета) Пусть x1 , .
. . , xn ∈ L, где L – поле, содержащеев себе поле K. Если многочлен над K имеет видf (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + an xn = (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ),an = 1,то для его коэффициентов имеют место формулыak = (−1)n−k En−k (x1 , . . . , xn ),0 ≤ k ≤ n − 1.Доказательство проводится раскрытием скобок очевидным образом.Теорема 2.9.2 Для любого симметрического многочлена f (x1 , . . .
, xn ) существуетединственный многочлен g(z1 , . . . , zn ) такой, чтоf (x1 , . . . , xn ) = g(E1 (x1 , . . . , xn ), . . . , En (x1 , . . . , xn )).Доказательство. Примем специальный порядок для ненулевых одночленов, входящих в каноническое представление многочлена f (x), x = (x1 , . . . , xn ). Именно,введем словарный порядок для мультииндексов:i = (i1 , .
. . , in ) > j = (j1 , . . . , jn )⇔∃ k : i1 = j1 , . . . , ik−1 = jk−1 , ik > jk .Порядок для ненулевых одночленов соответствует порядку для их мультииндексов.В частности,x1 > x2 > . . . , > xn .Из симметричности многочлена f (x) вытекает, что если ai xi – его старший одночлен по словарному порядку, то мультииндекс i = (i1 , . .
. , in ) обладает следующимсвойством:i1 ≥ i2 ≥ . . . ≥ in .В самом деле, если для некоторой подстановки σ ∈ Sn в составе f (x) имеется одночлен1nai xiσ(1). . . xiσ(n),то в силу симметричности должен присутствовать и одночленai xi11 . . . xinn .Рассмотрим новый симметрический многочленf1 (x) := f (x) − ai E j ,E = (E1 (x), . . . , En (x)),j = (j1 , .
. . , jn ),j1 := i1 − i2 , j2 := i2 − i3 , . . . , jn−1 := in−1 − in , jn := in ,и заметим, что его старший одночлен строго меньше старшего одночлена для f (x).Аналогичным образом из f1 (x) получается симметрический многочлен f2 (x), длякоторого старший одночлен еще меньше. И так далее.Примем во внимание, что одночленов, которые по словарному порядку меньшезаданного одночлена, имеется конечное число.
Поэтому рано или поздно мы придем45к нулевому многочлену, а в итоге f (x) окажется суммой одночленов от E1 , . . . , En .Данная сумма и определяет искомый многочлен g(z1 , . . . , zn ), для которого f (x) =g(E1 (x), . . . , En (x)).Для доказательства единственности достаточно установить следующее:G(x) := g(E1 (x), . . . , En (x)) = 0⇒g(z1 , . . . , zn ) = 0.От противного, пусть g(z) 6= 0, z = (z1 , . . . , zn ).
C каждым ненулевым одночленомaj z j в составе g(z) свяжем одночлен aj xi , гдеi1 = j1 + . . . + jn , i2 = j2 + . . . + jn , . . . in−1 = jn−1 + jn , in = jn ,и выберем мультииндекс j, соответствующий наибольшему i по словарному порядку.ЗапишемG(x) = aj xi + R(x)и заметим, что одночлен aj xi строго больше в словарном смысле, чем любой одночленв составе R(x). Поэтому равенство G(x) = 0 невозможно. 2Еще один пример симметрического многочлена от n переменных:YD(x1 , . . .
, xn ) :=(xi − xj )2 .1≤i<j≤nЗначение D в случае, когда x1 , . . . , xn – корни многочлена от одной переменнойf (x) = xn + an−1 x + . . . + a0 = (x − x1 ) . . . (x − xn ),называется дискриминантом многочлена f (x). Для квадратного многочленаx2 + bx + c = (x − x1 )(x − x2 )дискриминант равенD = (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = b2 − 4c.Из доказанной нами теоремы следует, что дискриминант всегда вычисляется по коэффициентам с помощью конечного числа арифметических операций, знание корнейне требуется.Задача 90.
Найдите сумму S = x31 + . . . + x3n , где x1 , . . . , xn – корни многочленаf (x) = xn + x + 1.Задача 91. Пусть ε = cos 2π+ i sin 2πи f (x1 , . . . , xn ) – симметрический многоnnчлен с целыми коэффициентами. Докажите, что значение f (x1 , .
. . , xn ) в точке(1, ε, ε2 , . . . , εn−1 ) является целым числом.Задача 92. Найдите кубический многочлен, корнями которого являются квадраты корней многочлена x3 − 2x − 5.Задача 93. Докажите, что дискриминант многочлена xn − 1 ∈ C[x] равенD = (−1)(n−1)(n+2)/2 nn .463Линейные пространства, поля и их расширения3.1Линейные пространства и подпространстваБудем считать, что фиксировано произвольное поле K, элементы которого называются числами, и задано непустое множесто V , элементы которого называются векторами.Пусть на V определена операция сложения векторов, которая обозначается знаком + и превращает V в абелеву группу. Нулевой элемент этой группы называетсянулевым вектором. В этом разделе нулевой вектор обозначается полужирным символом 0, чтобы отличать его от числа 0 в поле K.
Заметим также, что для нуляв поле и для нулевого вектора часто применяется один и тот же символ 0. Смыслвсегда ясен из контекста, поэтому затруднений не возникает. К такому стилю мыперейдем в последующих разделах.Пусть имеется также операция умножения вектора на число. Она обозначаетсяпустым местом или точкой, а ее результатом является векторw = αv ∈ V,α ∈ K,v ∈ V.Пусть операция сложения векторов и операция умножения вектора на число обладают еще и такими свойствами:1. (αβ)v = α(βv) ∀ α, β ∈ K, ∀ v ∈ V(ассоциативность умножения на число);2. (α+β)v = αv+βv ∀ α, β ∈ K, ∀ v ∈ V (дистрибутивность по сложению чисел);3.
α(u+v) = αu+αv ∀ α ∈ K, ∀ u, v ∈ V (дистрибутивность по сложению векторов);4. 1 · v = v∀ v ∈V,1 – единица поля K.В таких случаях V называется линейным пространством над полем K или векторным пространством над полем K.Утверждение 3.1.1 0 · v = 0 для любого вектора v ∈ V .Доказательство.0 · v = (0 + 0) · v = 0 · v + 0 · v ⇒ 0 · v = 0. 2Утверждение 3.1.2 (−1) · v = −v для любого вектора v ∈ V .Доказательство.0 = 0 · v = (1 + (−1)) · v = 1 · v + (−1) · v = v + (−1) · v ⇒ (−1) · v = v. 2Заметим, что аксиома 1·v = v ∀ v ∈ V равносильна утверждению о том, что любойвектор можно получить путем умножения некоторого вектора на некоторое число.Данное утверждение очевидно следует из этой аксиомы.
В то же время, если v = αw47для какого-то числа α ∈ K и какого-то вектора w ∈ V , то в силу ассоциативностиумножения на число получаем1 · v = 1 · (αw) = (1 · α)w = αw = v.Пример 1. Множество V = K m×n всех матриц размеров m × n с элементамииз поля K является линейным пространством над полем K.
Сложение векторов вданном случае – это сложение матриц, определяемое как поэлементное сложение.Умножения вектора на число – это умножение матрицы на число, определяемое какпоэлементное умножение.Пример 2. Пусть V = C[0, 1] – множество вещественных функций, непрерывныхна отрезке [0, 1]. Оно является линейным пространством над полем вещественныхчисел R. Сложение векторов в данном случае – это поточечное сложение функций,умножение вектора на число – это умножение функции на число. Важно, что в результате этих операций будут получаться функции, которые также непрерывны наотрезке [0, 1].Пусть V – линейное пространство над полем K. Непустое подмножество L ⊆ Vназывается подпространством в V , если оно обладает следующими свойствами:• u, v ∈ L⇒• α ∈ K,v∈Lu + v ∈ L;⇒αv ∈ L.По аналогии с группами и подгруппами, для подпространства L в V будем использовать обозначение L ≤ V .
Ясно, что L также является линейным пространством надполем K. Два тривиальных подпространства – это нулевое подпространство, состоящее из одного нулевого вектора, и подпространство L, совпадающее с V . Остальныеподпространства называются нетривиальными.Простой и важный для алгебры метод конструирования подпространств заключается в следующем. Возьмем произвольные векторы v1 , . . . , vn и числа α1 , .
. . , αn .Выражениеα1 v1 + . . . + αn vnназывается линейной комбинацией векторов v1 , . . . , vn , а числа α1 , . . . , αn называются ее коэффициентами. Множество всевозможных линейных комбинаций заданныхвекторов v1 , . . . , vn называется их линейной оболочкой и обозначаетсяL(v1 , . . . , vn ) = hv1 , . . . , vn i := {α1 v1 + .
. . + αn vn : α1 , . . . , αn ∈ K}.Легко проверяется, что линейная оболочка любой конечной системы векторов излинейного пространства V является подпространством.Если уже имеются какие-то подпространства, то можно строить их пересечения втеоретико-множественном смысле и суммы как суммы множеств аддитивной группы:L + M := {u + v : u ∈ L, v ∈ M }.48Утверждение 3.1.3 Сумма и пересечение подпространств в пространстве V также являются подпространствами:L ≤ V, M ≤ V⇒L + M ≤ V, L ∩ M ≤ V.Доказательство. Пусть u, v ∈ L + M . Тогда u = u1 + u2 и v = v1 + v2 , где u1 , v1 ∈ Lи v1 , v2 ∈ M . Следовательно,u + v = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ), u1 + v1 ∈ L, u2 + v2 ∈ M⇒u + v ∈ L + M.Аналогично, если α ∈ K, тоαu = αu1 + αu2 , αu1 ∈ L, αu2 ∈ M⇒αu ∈ L + M.Таким образом, мы доказали, что L + M ≤ V . Случай L ∩ M разбирается по той жесхеме.
2Пусть A – матрица размеров m × n над полем K. Множество векторовL := {x ∈ K n×1 : Ax = 0}называется ядром или нуль-пространством матрицы A. Обозначение: L = ker A.Множество векторовM := {y ∈ K m×1 : ∃ x ∈ K n×1 , y = Ax}называется образом матрицы A. Обозначение: M = im A.Утверждение 3.1.4 Ядро матрицы A ∈ K m×n над полем K является подпространством в K n×1 , а ее образ – подпространством в K m×1 .Доказательство. Пусть x1 , x2 ∈ ker A и α ∈ K. ТогдаA(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = 0 ⇒ A(x1 + x2 ) ∈ ker A,A(αx1 ) = αAx1 = 0 ⇒ αx1 ∈ ker A.Пусть y1 , y2 ∈ im A. Тогда y1 = Ax1 и y2 = Ax2 для каких-то векторов x1 , x2 ∈ K n×1 .Следовательно,y1 + y2 = Ax1 + Ax2 = A(x1 + x2 ) ⇒ y1 + y2 ∈ im A,αy1 = αAx1 = A(αx1 ) ⇒ αy1 ∈ im A.2Задача 94.
Докажите, что группа целых чисел с операцией сложения не можетбыть аддитивной группой линейного пространства над каким-либо полем.Задача 95. Приведите пример линейного пространства, в котором ровно 64 вектора.Задача 96. Докажите, что линейное пространство над бесконечным полем K нельзя представить в виде объединения конечного числа нетривиальных подпространств.493.2Базисы и размерностьЛинейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты являются нулевыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
