Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . bt равен ps11 . . . pst t = m. Тем самым цикличность группыG доказана. 6 2Следствие 3.8.1 Конечное поле M с числом элементов ps , где p – простое число иs – натуральное число, получается присоединением к полю Zp одного единственногоэлемента θ, т.е.M = Zp (θ).При этом θ является корнем неприводимого над Zp многочлена степени s.Чтобы получить поле с числом элементов ps , достаточно найти неприводимый надZp многочлен φ(x) степени s. Искомое поле будет полем вычетов по модулю φ(x).Задача 121. Найдите неприводимый над Z2 многочлен степени 3 и постройтетаблицу умножения для поля из 8 элементов.Задача 122. Докажите, что любой неприводимый над полем Zp многочлен степеsни s является делителем многочлена xp − x.Задача 123.
Поле K вложено в конечное поле M . Докажите, что M = K(θ) длянекоторого θ ∈ M .Задача 124. Число элементов поля M равно ps , где p – простое число, s – натуральное число. Докажите, что число разных изоморфизмов поля M на M равно sи эти изоморфизмы образуют циклическую группу относительно композиции изоморфизмов.3.9Расширения полей в геометрииРасширения полей играют ключевую роль при изучении геометрических задач напостроение с помощью циркуля и линейки. Поставим задачу таким образом: на плоскости задан отрезок длины 1, требуется построить отрезок длины a.С помощью циркуля и линейки легко строятся прямые, образующие декартову систему координат, и любые точки с рациональными координатами. Если точка беретсяслучайно, то будем считать, что она имеет рациональные координаты.
Это очень разумное соглашение, так как при случайном выборе такая точка может возникнуть,а метод построения должен работать при любом случайном выборе. Таким образом,6Другое доказательство: по теореме 1.14.1, мультипликативная группа поля есть прямое произведение циклических подгрупп, причем их порядки суть делители максимального из них. Еслимаксимальный порядок равен h < n − 1, то уравнение xh − 1 = 0 должно иметь более h корней.Поэтому h = n − 1.65на начальном этапе можно считать, что нам доступны любые точки с координатамииз поля Q0 := Q.Булем считать, что алгоритм построения представляет собой последовательностьэтапов, причем на k-м этапе доступны точки с координатами из поля Qk , а на k + 1-мэтапе – точки с координатами из поля Qk+1 ≥ Qk . Новые точки возникают следующим образом:• при пересечении двух прямых, проведенных через пары точек с координатамииз поля Qk ;• при пересечении прямой, проведенной через пару точек с координатами из поляQk , и окружности, для которой центр и какая-то из ее точек имеют координатыиз поля Qk ;• при пересечении двух окружностей вышеуказанного вида;• при случайном выборе точки на плоскости или на уже имеющихся прямых илиокружностях.Каждое из вышеперечисленных действий дает точки с координатами,принадлежа√щие тому же самому полю Qk либо его расширению вида Qk ( Dk ), где Dk ∈ Qk .Исключив совпадающие поля, мы получаем цепочку расширений полейQ0 < Q1 < .
. . < Qs ,гдеpQk = Qk−1 ( Dk ),Dk ∈ Qk−1 ,1 ≤ k ≤ s.Построение заканчивается при условии a ∈ Qs .Утверждение 3.9.1 dim(Qs : Q0 ) = 2s .Доказательство. Достаточно заметить, чтоdim(Qk : Qk−1 ) = 2,1 ≤ k ≤ s.2Рассмотрим, например, задачу о построении правильного p-угольника в случаепростого числа сторон p. Требуется построить отрезок длины a = cos(2π/p). Пустьε = cos(2π/p) + i sin(2π/p) ⇒ a = (ε + ε−1 )/2.Отсюда ясно, что ε является корнем многочленаx2 − 2ax + 1 ∈ Qs [x],ε ∈ Qs+1 := Qs (ε).Поле Q(ε) является промежуточным полем между Q и Qs+1 :Q < Q(ε) ≤ Qs+1 .66По теореме о размерностях расширений, число n := dim(Q(ε) : Q) должно быть делителем числа dim(Qs+1 : Q) = 2s+1 .
В случае простого p минимальным многочленомнад Q для ε оказывается многочлен f (x) = 1 + x + . . . + xp−1 . Минимальность вытекает из неприводимости данного многочлена над Q. Вопрос можно свести к вопросу онеприводимости многочлена f (x + 1) = ((x + 1)p − 1)/x, который решается, например,применением признака Эйзенштейна.Таким образом, n = p − 1. Значит, если построение правильного p-угольника припростом p возможно, то p = 2d + 1 для некоторого натурального числа d.Задача 125. Докажите неразрешимость индийской задачи об удвоении куба,√в которой с помощью циркуля и линейки требуется построить отрезок длины 3 2.Задача 126. Докажите, что с помощью циркуля и линейки произвольный уголневозможно разделить на три равные части.Задача 127. Докажите, что с помощью циркуля и линейки невозможно построение треугольника по трем биссектрисам.3.10Основная теорема алгебрыТеорема 3.10.1 (основная теорема алгебры) Любой многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.Эта теорема играет очень важную роль в алгебре, хотя “основной” называется исключительно в силу традиции.
В некоторых частных случаях существование корняпочти очевидно. Например, совсем просто доказывается, что любой вещественныймногочлен f (x) нечетной степени имеет вещественный корень: если старший коэффициент положителен, то f (x) → +∞ при x → +∞ и f (x) → −∞ при x → −∞⇒ непрерывная функция f (x) от вещественной переменной x принимает значенияразных знаков на концах некоторого отрезка и поэтому принимает значение нуль вкакой-то точке этого отрезка.
Заметим, что в любом доказательстве так или иначеиспользуется свойство непрерывности функции f (x).Первое полное доказательство получено Гауссом. На сегодняшний день имеетсяуже не менее десятка различных доказательств. Мы рассмотрим одно из них, основанное на лемме Даламбера, – по той причине, что при абсолютно строгом изложениионо требует минимального объема знаний.Лемма 3.10.1 (лемма Даламбера) Пусть f (x) – отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами и f (z0 ) 6= 0 для комплексного числа z0 .Тогда существует комплексное число z такое, что |f (z)| < |f (z0 )|.Доказательство. Запишем x = z0 + h и рассмотрим f (x) как многочлен от h:f (z0 + h) = f (z0 ) + bk hk + bk+1 hk+1 + .
. . + bn hn ,67bk 6= 0,n = deg f (x).Будем искать z в виде z = z0 + h, где h = th0 при t > 0 и hk0 = −f (z0 )/bk . Пустьnc := (|bk+1 hk+10 | + . . . + |bn h0 |)/|f (z0 )|.Тогда при 0 < t < min(1, 1/c) получаем|f (z0 + th0 )| ≤ |f (z0 )|(1 − tk + ctk+1 ) ≤ |f (z0 )|(1 − tk (1 − ct)) < |f (z0 )|. 2Лемма 3.10.2 (о росте модуля многочлена) Пусть f (x) ∈ C[x] и deg f (x) ≥ 1.Тогда∀ M > 0 ∃ R > 0 : |x| > R ⇒ |f (x)| > M.Доказательство. Пусть f (x) = a0 + a1 x + . . .
+ an xn , an 6= 0. При любом x ∈ Cсправедливо неравенство|f (x)| = |an xn + (a0 + . . . + an−1 xn−1 )| ≥ |an xn | − |a0 + . . . + an−1 xn−1 ||an−1 ||a0 |n= |an ||x| 1 −− ... −.|an ||x|n−1|an ||x|При |x| > 1 правая часть больше |an ||x|n (1 − c/|x|), где c := (|a0 | + . .
. + |an−1 |)/|an |.Если |x| > 2c, то она больше |x|n |an |/2. Таким образом,p|x| > R := max(1, 2c, n 2M/|an |) ⇒ |f (x)| ≥ |x|n |an |/2 > R. 2Далее нам нужно понятие сходящейся последовательности комплексных чиселzk , k = 1, 2, . . . , и понятие непрерывности для вещественной функции F (z), определенной в точках z комплексной плоскости. Последовательность zk ∈ C называетсясходящейся к точке z0 ∈ C, если∀ε>0 ∃N : k>N⇒ |zk − z0 | < ε.В этом случае мы пишем zk → z0 , а точка z0 называется пределом последовательности zk . Функция F (z) называется непрерывной в точке z0 ∈ C, если для любойпоследовательности zk , сходящейся к z0 , последовательность F (zk ) сходится к F (z0 ).Множество, состоящее их каких-то точек комплексной плоскости, называетсяограниченным, если оно содержится в некотором круге комплексной плоскости.
Множество называется замкнутым, если для любой сходящейся последовательности точек этого множества ее предел также принадлежит этому множеству.Лемма 3.10.3 (теорема Больцано–Вейерштрасса) Из любой последовательности точек замкнутого ограниченного множества комплексной плоскости можновыделить подпоследовательность, сходящуюся к точке этого же множества.Доказательство. Если точки zk = uk + ivk принадлежат кругу |z| ≥ R, то−R ≤ uk ≤ R,−R ≤ vk ≤ R.По уже известной теореме Больцано-Вейерштрасса о последовательностях вещественных чисел, существует сходящаяся подпоследовательность ukl → u0 .
Далее, по той жетеореме существует сходящаяся подпоследовательность vklm → v0 . Следовательно,zklm = uklm + ivklm → z0 := u0 + iv0 ∈ L. 268Лемма 3.10.4 (теорема Вейерштрасса) Пусть вещественная функция F (z) является непрерывной во всех точках замкнутого ограниченного множества L ⊂ C.Тогда существуют точки zmin , zmax ∈ L такие, чтоF (zmin ) ≤ F (z) ≤ F (zmax )∀ z ∈ L.Доказательство. Функция F (z) ограничена снизу и сверху.
Если бы не было ограниченности снизу, то нашлась бы последовательность zk ∈ L такая, то F (zk ) → −∞.Возьмем сходящуюся подпоследовательность zkl → z0 . В силу непрерывности функции F (z) имеем F (zkl ) → F (z0 ), а это невозможно, так как F (zkl ) → −∞. Аналогичнодоказывается ограниченность сверху.Обозначим через c1 точную нижнюю грань множества значений F (z) при z ∈ L.Согласно определению точной нижней грани, существует последовательнось zk соследующим свойством:c1 ≤ F (zk ) ≤ c1 − εk ,εk > 0,εk → 0.Выделив из нее сходящуюся подпоследовательность zkl → zmin ∈ L, находимF (zkl ) → F (zmin ) = c1 ≤ F (z) ∀ z ∈ L.Существование точки zmax устанавливается аналогичным образом. 2Лемма 3.10.5 Для любого многочлена f (x) ∈ C[x] вещественная функция F (z) :=|f (z)| непрерывна во всех точках комплексной плоскости.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
