Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Чтобы установить непрерывность в точке z0 ∈ C, положим z =z0 + h и рассмотрим заданный многочлен как функцию от h ∈ C:f (z0 + h) = f (z0 ) + b1 h + . . . + bn hn ,n = deg f (x).Пусть c := |b1 | + . . . + |bn |. Тогда при |h| ≤ 1|F (z0 + h) − F (z0 )| = | |f (z0 + h)| − |f (z0 )| | ≤ |f (z0 + h) − f (z0 )| ≤ ch.2Доказательство основной теоремы алгебры. Пусть f (x) – заданный многочлен. Положим M := |f (0)|. Если M = 0, то все доказано. Поэтому рассмотримслучай M > 0. По лемме о росте модуля многочлена, существует R > 0 такое, что при|z| > R выполняется неравенство |f (z)| > R. Круг |z| ≤ R является замкнутым ограниченным множеством комплексной плоскости, функция F (z) = |f (z)| непрерывнаво всех точках этого круга.

Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, в данном круге есть точка zmin , в которой функция F (z) принимает свое минимальное значениена данном круге. Но это же значение будет минимальным значением этой функциина всей комплексной плоскости, так как |f (zmin )| ≤ |f (0)| < |f (z)| при всех |z| > R.Если f (zmin ) 6= 0, то, по лемме Даламбера, найдется точка комплексное плоскости, вкоторой значение модуля многочлена еще меньше. Следовательно, f (zmin ) = 0. 269Утверждение 3.10.1 Для любого многочлена f (x) ∈ C[x] степени n ≥ 1 со старшим коэффициентом an существуют разные комплексные числа x1 , . . . , xt и натуральные числа α1 , .

. . , αt такие, чтоf (x) = an (x − x1 )α1 . . . (x − xt )αt ,α1 + . . . + αt = n.Для доказательства достаточно вспомнить теорему Безу. Число αi называетсякратностью корня xi . Часто говорят также, что комплексный многочлен степениn ≥ 1 имеет n комплексных корней с учетом кратностей.Следствие 3.10.1 Поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым.Весьма полезно знать о том, что для любого поля существует такое его расширение, которое является алгебраически замкнутым. Но к доказательству этого неочень простого утверждения мы пока не готовы.В заключение рассмотрим свойства корней вещественных многочленов. Пустьf (x) = a0 + a1 x + . . .

+ an xn ∈ R[x]. Если комплексное число z имеет вид z = u + iv, точисло z̄ := u−iv называется комплексно-сопряженным к числу z. Легко проверяется,что если z1 , z2 ∈ C, то z1 + z2 = z1 + z1 и z1 z2 = z1 z2 . Отсюдаf (z) = a0 + a1 z + . . . + an z n = 0⇒f (z) = a0 + a1 z̄ + . . . + an z̄ n = 0.Таким образом, если вещественный многочлен f (x) имеет невещественный кореньz, то он имеет также комплексно-сопряженный невещественный корень z̄.Утверждение 3.10.2 Вещественный многочлен степени n ≥ 1 со старшим коэффициентом an имеет разложениеstYYf (x) = an (x − ξi )(x2 + pj x + qj ),i=1x2 + pj x + qj = (x − zj )(z − zj ), pi , qj ∈ R,j=1ξi ∈ R, 1 ≤ i ≤ s,zj ∈ C\R, 1 ≤ j ≤ t,s + 2t = n.Задача 128. Докажите, что отображение z → z̄ является единственным изоморфизмом, который отображает поле C на себя, оставляет на месте каждоечисло из поля R и не является тождественным отображением.Задача 129.

Не опираясь на основную теорему алгебры, докажите, что из фактасуществования комплексного корня для произвольного вещественного многочленаположительной степени вытекает существование комплексного корня для произвольного комплексного многочлена положительной степени.Задача 130. Пусть имеется вещественный многочлен положительной степени иL – его поле разложения над R. Докажите, что dim(L : R) = 2d , где d – неотрицательное целое число.Задача 131. Докажите, что множество всех алгебраических над Q чисел образует поле, которое является алгебраически замкнутым.704Группы, поля, уравненияДанная глава является дополнением к основному курсу.4.1Линейная независимость автоморфизмов поляАвтоморфизмом поля M называется изоморфизм поля M на себя.

Тождественноеотображение является автоморфизмом и называется тривиальным автоморфизмом.Если поле M является расширением поля K, то любой автоморфизм поля M ,при котором каждый элемент поля K остается на месте, называется автоморфизмомполя M над полем K.

Обозначения:A(M ) – множество всех автоморфизмов поля M ;A(M : K) – множество всех автоморфизмов M над K.Пример 1. Отображение z → z̄ (комплексное число z переводится в комплексносопряженное число z̄) является автоморфизмом поля комплексных чисел C над полем вещественных чисел R.√√2→a−b2 при условии a, b ∈ Q являетсяПример 2. Отображениеa+b√автоморфизмом поля Q( 2) над полем Q.Пример 3. Пусть M – конечное поле с числом элементов p2 и p – простое число.Отображение a → ap является нетривиальным автоморфизмом поля M над Zp .Утверждение 4.1.1 Множества A(M ) и A(M : K) являются группами относительно композиции автоморфизмов. При этом A(M : K) ≤ A(M ).Автоморфизмы поля M можно рассматривать как элементы линейного пространства над полем M , составленного из всех функций (отображений) с областью определения M и областью значений M таким образом, что сумма векторов определяетсякак сумма функций, а умножение вектора на число из M – как поточечное умножениезначений функции на это число.

Нулевым вектором, очевидно, является функция,которая принимает значение 0 во всех точках. Очень полезно то, что появляетсявозможность говорить о линейной независимости автоморфизмов как функций.Теорема 4.1.1 Любая конечная система разных автоморфизмов поля M являетсялинейно независимой над M .Доказательство. Проведем индукцию по числу автоморфизмов m. Случай m = 1очевиден, так как ненулевой вектор всегда образует линейно независимую систему. Пусть m ≥ 2. Рассмотрим такую линейную комбинацию разных автоморфизмовg1 , .

. . , gm ∈ A(M ) с коэффициентами из поля M , которая оказывается тождественноравной нулю:α1 g1 (a) + . . . + αm gm (a) = 0 ∀ a ∈ M.(1)Заменим a на ab и примем во внимание то, что любой автоморфизм сохраняет операции. Тогда из (1) получаем тождествоα1 g1 (a)g1 (b) + . . . + αm−1 gm−1 (a)gm−1 (b) + αm gm (a)gm (b) = 0 ∀ a, b ∈ M.71(2)Умножив (1) на gm (b), приходим к тождествуα1 g1 (a)gm (b) + . . . + αm−1 gm−1 gm (b) + αm gm (a)gm (b) = 0,∀ a, b ∈ M.(3)После вычитания тождества (3) из (2) находимα1 (g1 (b) − gm (b))g1 (a) + . . . + αm−1 (gm−1 (b) − gm (b))gm−1 (a) = 0 ∀ a, b ∈ M.По индуктивному предположению,αi (gi (b) − gm (b)) = 0,1 ≤ i ≤ m − 1,∀ b ∈ M.Для каждого i можно выбрать b таким образом, что gi (b) 6= gm (b), иначе gi = gm .Следовательно,αi = 0 при 1 ≤ i ≤ m − 1 ⇒ αm gm = 0 ⇒ αm = 0.

2Теорема остается в силе и в случае отображений поля M в себя, обладающихсвойством сохранения операций, но без взаимной однозначности. Такие отображения называются гомоморфизмами. Единственным дополнительным требованием будет, конечно, отсутствие в этой системе отображения, тождественно равного нулю.Более того, аналогичный результат получается для любой конечной системы гомоморфизмов произвольной группы в мультипликативную группу какого-то поля.

Впоследнем случае рассматривается линейное пространство функций, определенныхна элементах заданной группы и принимающих значения в заданном поле.Задача 132. Найдите все автоморфизмы поля вычетов по простому молулю p.Задача 133. Пусть M ≤ C – поле разложения многочлена f (x) ∈ Q[x]. Найдитевсе автоморфизмы поля M в следующих случаях: (1) f (x) = x4 − 1, (2) f (x) = x6 − 1,(3) f (x) = x2011 − 1.Задача 134. Докажите, что любая конечная система разных ненулевых гомоморфизмов группы G в мультипликативную группу K ∗ поля K является линейно независимой в линейном пространстве функций, определенных на множестве G и принимащих значения из K ∗ .4.2Неподвижные поля и группы автоморфизмовПусть G = {g1 , . . .

, gm } – конечное подмножество автоморфизмов поля M , не обязательно образующих группу. Рассмотрим множество M G чисел из M , остающихся наместе при действии каждого автоморфизма из G:M G := {a ∈ M : g(a) = a ∀ g ∈ G}.Утверждение 4.2.1 Множество M G является подполем поля M . При этомa ∈ M \M G⇔∃ g ∈ G : g(a) 6= a.72Множество M G называется максимальным неподвижным полем относительномножества отображений G.Теорема 4.2.1 Пусть множество G содержит m разных автоморфизмов g1 , . . . , gmполя M и при этом расширение M G ≤ M является конечным и его размерностьравна n.

Тогда m ≤ n.Доказательство. Пусть числа θ1 , . . . , θn образуют базис линейного пространства Mнад полем M G . Рассмотрим матрицуg1 (θ1 ) . . . g1 (θn )...... A =  ...(∗)gm (θ1 ) . . . gm (θn )и заметим, что ее строки линейно независимы как элементы линейного пространстваM 1×n . В самом деле, пусть какая-то их линейная комбинация с коэффициентамиα1 , .

. . , αm ∈ M дает нулевую строку. Тогда функцияf := α1 g1 + . . . + αm gmпринимает нулевые значения в точках θ1 , . . . , θn . Произвольное число из M имеетвидθ = a1 θ1 + . . . + an θn , a1 , . . . , an ∈ M G .Поэтомуf (θ) =mXi=1αinXj=1gi (aj )gi (θj ) =mXi=1αinXaj gi (θj ) =j=1n XmXaj αi gi (θj ) =j=1 i=1nXaj f (θj ) = 0.j=1Таким образом, f (θ) = 0 ∀ θ ∈ M ⇒ f = 0. В силу линейной независимостиавтоморфизмов α1 = . .

. = αm = 0. Из линейной независимости строк матрицывытекает, что число столбцов в ней не меньше числа строк. 2Теорема 4.2.2 Пусть множество G состоит из автоморфизмов g1 , . . ., gm поля M и образует группу относительно композиции автоморфизмов. Если числаθ1 , . . . , θn ∈ M линейно независимы как элементы линейного пространства M надполем M G , то n ≤ m.Доказательство. От противного, если m < n, то имеются нетривиальные линейные комбинации столбцов матрицы A вида (∗), дающие нулевой столбец. Среди нихрассмотрим линейную комбинацию с наименьшим числом k ненулевых коэффициентов.

Характеристики

Список файлов книги