Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 17
Текст из файла (страница 17)
, θσ(n) )).σ∈SnКаждый коэффициент многочлена φ(x) является симметрическим многочленом отθ1 , . . . , θn . По основной теореме о симметрических многочленах, каждый коэффициент получается с помощью операций умножения и сложения из элементарных симметрических многочленов от θ1 , . . . , θn , а значит и из коэффициентов исходного многочлена f (x), для которого числа θ1 , . .
. , θn суть все его корни с учетом кратностей.Поэтому φ(x) ∈ K[x]. При этом a является корнем φ(x) и все корни φ(x) принадлежат M . Пусть ψ(x) – неприводимый многочлен, для которого число a является.корнем. Тогда φ(x) .. ψ(x), а это значит, что все корни ψ(x) принадлежат M .77Второе утверждение теоремы почти очевидно. В силу конечномерности расширения можно выбрать базис a1 , . . .
, an поля M над K. Затем для каждого числа aiможно выбрать его минимальный многочлен с коэффициентами из поля K. Все корни минимальных многочленов принадлежат полю M в силу нормальности расширения. В итоге M является полем разложения произведения выбранных минимальныхмногочленов. 2Полезное общее свойство групп Галуа связано с особенностью их действия на корнях неприводимых многочленов. Говорят, что группа G действует на множестве Aтранзитивно, если для любых элементов a, b ∈ A существует элемент g ∈ G такой,что g(a) = b.Теорема 4.3.3 Пусть G – группа Галуа для расширения K ≤ M и g(x) – произвольный неприводимый многочлен над полем K, все корни которого принадлежатM .
Группа G действует на множестве корней g(x) транзитивно.Доказательство. Пусть n = deg g(x) и α1 , . . . , αn ∈ M – все корни g(x). Мы знаем, что любое число из M является корнем неприводимого многочлена с простымикорнями. Ясно, что это многочлен может быть получен из g(x) умножением на ненулевую константу. Таким образом, все корни g(x) простые. Рассмотрим поле K(αi ).Любой его элемент имеет видa0 + a1 αi + . . . + an−1 αin−1 ,a0 , . . .
, an−1 ∈ K,а отображениеg : a0 + a1 αi + . . . + an−1 αin−1 → a0 + a1 αj + . . . + an−1 αjn−1является изоморфизмом поля K(αi ) на поле K(αj ), переводящим αi в αj . Построенный изоморфизм может быть продолжен до автоморфизма поля M . 2Любой автоморфизм группы Галуа G для многочлена степени n над полем K спростыми корнями ξ1 , . . ., ξn реализует перестановку этих корней и полностью ейопределяется.
Группа G оказывается изоморфной какой-то подгруппе в Sn . В духеестественного отождествления изоморфных групп часто полагают, что G ≤ Sn .Поле разложения данного многочлена состоит из чисел вида A(ξ1 , . . . , ξn ), гдеA(x1 , . . . , xn ) – многочлен от переменных x1 , .
. . , xn с коэффициентами из K. Рассмотрим множество всех алгебраических соотношений между корнямиΦ := {φ(x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ] : φ(ξ1 , . . . , ξn ) = 0}и будем говорить, что A равно B по модулю Φ, если A − B ∈ Φ. Мы получаемотношение эквивалентности, а числа A(ξ1 , . . . , ξn ) находятся во взаимно-однозначномсоответствии с его классами эквивалентности. В группу G входят те и только теподстановки g ∈ Sn , которые сохраняют любое алгебраическое соотношение междукорнями.
Последнее означает, что если φ(x1 , . . . , xn ) ∈ Φ, то φ(xg(1) , . . . , xg(n) ) ∈ Φ.Задача 136. Приведите пример расширения полей K ≤ L ≤ M и автоморфизмаполя L, который не продолжается до автоморфизма поля M .Задача 137. Приведите пример конечного нормального расширения, которое не является расширением Галуа.784.4Вычисление группы ГалуаРассмотрим многочлен f (x) = (x − ξ1 ) . . . (x − ξn ) и предположим, что его коэффициенты принадлежат полю K, а корни являются простыми. Будем считать, чтоξ1 , . .
. , ξn ∈ M , где M – поле разложения для f (x) над K. Введем независимые переменные (буквы) u1 , . . . , un и положимθ = θ(ξ1 , . . . , ξn , u1 , . . . , un ) := ξ1 u1 + . . . + ξn un ∈ M [u1 , . . . , un ].Пусть σ – произвольная подстановка степени n. Ее действие на θ определяется следующим образом:σθ := θ(ξσ(1) , . . . , ξσ(n) , u1 , . . . , un ) = ξσ(1) u1 + . . . + ξσ(n) un .Рассмотрим многочленΦ(x, u1 , .
. . , un ) :=Y(x − σθ)σ∈Snи заметим, что его коэффициенты остаются на месте при любых перестановках корней ξ1 , . . . , ξn . Отсюда вытекает, что они получаются с помощью умножений и сложений из коэффициентов f (x) и поэтому принадлежат полю K. Таким образом,Φ(x, u1 , . . . , un ) ∈ K[x, u1 , . . . , un ].Пусть разложение многочлена Φ(x, u1 , . . . , un ) на неприводимые множители надполем K имеет видΦ(x, u1 , .
. . , un ) = Φ1 (x, u1 , . . . , un ) . . . Φm (x, u1 , . . . , un ).Очевидно, многочлены вида x−σθ каким-то образом распределяются по множителямΦ1 , . . . , Φm . Будем считать, что x − θ входит в состав Φ1 , т.е. многочлен Φ1 делится наx − θ. Тогда соответствующее ему подмножество подстановок, обозначим его черезF , содержит единичную подстановку e ∈ Sn . Таким образом,YΦ1 (x, u1 , . . . , un ) =(x − σθ), e ∈ F.σ∈FМы уже отмечали, что любой автоморфизм поля M над K однозначно определяется перестановкой корней ξ1 , .
. . , ξn : если g ∈ A(M : K), то соответствующая подстановка σ задается правилом g(ξi ) = ξσ(i) . Поэтому группу A(M : K) можно рассматривать как подгруппу симметрической группы Sn . Мы примем именно такую точкузрения и будем считать, что σ = g. Любой автоморфизм g ∈ A(M : K) естественнымобразом порождает взаимно-однозначное и сохраняющее операции отображение накольце многочленов над M : если Ψ ∈ M [x, u1 , . . . , un ], то gΨ определяется как многочлен от тех же переменных, в котором для каждого одночлена его коэффициентa ∈ M переводится в g(a).79Утверждение 4.4.1 Множество F является подгруппой в Sn и существуют подстановки σ1 = e, σ2 , . . . , σm такие, чтоYΦi (x, u1 , .
. . , un ) =(x − σθ) = σi Φ1 (x, u1 , . . . , un ), 1 ≤ i ≤ m.σ∈σi FДоказательство. Для любой подстановки τ многочлен τ Φ1 получается из Φ1 некоторой перестановкой переменных u1 , . . . , un и поэтому остается неприводимым надK. Пусть τ ∈ F . Поскольку e ∈ F , многочлен τ Φ1 будет иметь множитель x − τ θ. Ноэтот же множитель есть в составе Φ1 . В силу неприводимости получаем τ Φ1 = Φ1 .Ясно также, что если τ Φ1 = Φ1 , то τ ∈ F . Таким образом,F = {τ ∈ Sn : τ Φ1 = Φ1 }.То, что это группа, проверяется уже очевидным образом. Если многочлен Φi делитсяна x − σi θ, то в силу неприводимости многочленов Φ1 и Φi и условия e ∈ F получаемσi Φ1 = Φi . 2Утверждение 4.4.2 Группа F совпадает с группой Галуа для многочлена f (x) надполем K.Доказательство.
Пусть G – группа Галуа для расширения K ≤ M . Если g ∈ G, тоgΦ1 = Φ1 ⇒ g ∈ F ⇒ G ≤ F .С другой стороны, многочлен Φ1 можно рассматривать как неприводимый многочлен над полем K 0 := K(u1 , . . . , un ) рациональных функций от переменных u1 , . . . , un .Рациональная функция θ = ξ1 u1 + . . . + ξn un принадлежит полю M 0 := K 0 (ξ1 , .
. . , ξn ),которое является полем разложения того же многочлена f (x) над полем K 0 . Поэтомуm = dim(K 0 (θ) : K 0 ) ≤ dim(M 0 : K 0 ) = |A(M 0 : K 0 )|.Заметим также, что M 0 = K(ξ1 , . . . , ξn , u1 , . . . , un ) = M (u1 , . . . , un ). Значит, любой автоморфизм g ∈ A(M 0 : K 0 ) отображает элементы из M в элементы из M и потому может рассматриваться как отображение поля M в себя. Данное отображение являетсяавтоморфизмом поля M над полем K. Таким образом, A(M 0 : K 0 ) ≤ A(M : K) = G.Отсюда m = |F | ≤ |G|.В самом начале мы доказали, что G ≤ F . Следовательно, G = F . 2Теорема 4.4.1 (теорема Дедекинда) Пусть f (x) – многочлен степени n с целыми коэффициентами, имеющий только простые корни, G – его группа Галуа надполем рациональных чисел. Пусть p – простое число и Gp – группа Галуа того жемногочлена по модулю p над полем вычетов по модулю p.
Тогда группа Gp изоморфнанекоторой подгруппе группы G.Доказательство. По заданному многочлену f (x) ∈ Z[x] построим многочлен Φ и егоразложение на неприводимые над Z множители Φ1 , . . ., Φm . После этого рассмотримf (x) по модулю p как многочлен над Zp . Полагая, что элементы ξ1 , . . .
, ξn суть егокорни в соответствующем поле разложения, построим по аналогии многочлен отx, u1 , . . . , un с коэффициентами из Zp и заметим, что этот многочлен есть прежниймногочлен Φ по модулю p, а каждый из его неприводимых множителей над Zp будетделителем какого-то из многочленов Φ1 , . . . , Φm по модулю p. 280Задача 138. Многочлен f (x) над полем вычетов по простому модулю p разлагается на s неприводимых множителей степени n1 , . . ., ns . Пусть группа Галуа G для f (x) рассматривается как подгруппа симметрической группы степениn = n1 + . . . + ns .
Докажите, что G = hσi, где подстановка σ есть произведение sнезависимых циклов, длины которых равны n1 , . . ., ns .Задача 139. Найдите группы Галуа для следующих многочленов над полем рациональных чисел: f1 (x) = x3 − 3x + 1, f2 (x) = x3 + x + 1, f3 (x) = x4 + x2 + 1.Задача 140. Пусть K – бесконечное поле и G – произвольная подгруппа симметрической группы Sn . Докажите существование многочлена f (x1 , . .
. , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ]такого, что равенство f (xσ(1) , . . . , fσ(n) ) = f (x1 , . . . , xn ) выполняется в том и только том случае, когда σ ∈ G.4.5Теория ГалуаВ теории Галуа устанавливается и изучается взаимно однозначное соответствие между промежуточными полями расширения Галуа и подгруппами группы Галуа.
Ееглавные положения содержатся в следующих двух теоремах.Теорема 4.5.1 Пусть M – конечное расширение поля K, G = A(M : K), K = M G ,K ≤ L ≤ M и H ≤ G. ТогдаL = MH⇔H = A(M : L).Доказательство. Условие K = M G означает, что M – поле разложение некоторогосепарабельного многочлена f (x) ∈ K[x]. Тогда M является полем разложения тогоже f (x) как многочлена над полем L.
Поэтому расширение L ≤ M также являетсяконечным расширением Галуа. Следовательно, если H = A(M : L), то L = M H .Если известно, что L = M H , то L не может быть максимальным неподвижным полем ни для какой другой группы автоморфизмов поля M , кроме группы H. ПоэтомуH = A(M : L). 2Следствие 4.5.1 Если K ≤ M – конечное расширение Галуа, то число промежуточных полей между K и M конечно.Теорема 4.5.2 Пусть M – конечное расширение поля K, G = A(M : K), K = M G ,K ≤ L ≤ M , H = A(M : L), F = A(L : K).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
