Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 16
Текст из файла (страница 16)
7 Не ограничивая общности, будем считать, что ненулевыми являются первые kкоэффициентов и при этом k-й коэффициент равен 1:α1 gi (θ1 ) + . . . + αk−1 gi (θk−1 ) + gi (θk ) = 0,7Здесь мы приводим изящное рассуждение Эмиля Артина.731 ≤ i ≤ m.(1)Среди автоморфизмов группы G должно быть тождественное отображение, пустьэто g1 . Тогда равенство, соответствующее i = 1, имеет видα1 θ1 + . . .
+ αk−1 θk−1 + θk = 0.Хотя бы один из коэффициентов не принадлежит полю M G , в противном случае числа θ1 , . . . , θk будут линейно зависимыми над полем M G . Пусть α1 ∈/ M G . ПосколькуM G – максимальное неподвижное поле для группы G, существует какой-то автоморфизм из G, пусть это gk , для которогоgk (α1 ) 6= α1 .Применим gk к обеим частям равенств (1). Вследствие того, что G – группа, содержащая ровно m элементов, ее элементы gk g1 , . . .
, gk gm являются перестановкойэлементов g1 , . . . , gm . Поэтому мы получаем равенстваgk (α1 )gi (θ1 ) + . . . + gk (αk−1 )gi (θk−1 ) + gi (θk ) = 0,1 ≤ i ≤ m.(2)После вычитания равенств (2) из равенств (1) находим(α1 − gk (α1 ))gi (θ1 ) + . . . + (αk−1 − gk (αk−1 )gi (θk−1 ) = 0,1 ≤ i ≤ m.Это нетривильная линейная комбинация столцов матрицы A вида (∗), в которойчисло ненулевых коэффициентов меньше k. Полученное противоречие с выбором kозначает, что n ≤ m. 2Следствие 4.2.1 Если G – конечная группа автоморфизмов поля M , то расширение M G ≤ M конечно и имеет место равенствоdim(M : M G ) = |G|.Доказательство.
Согласно доказанной теореме, число линейно независимых элементов пространства M над M G не превышает |G|. Значит, это пространство конечномерно. В то же время, по первой теореме, число разных автоморфизмов не можетбыть больше его размерности. 2Следствие 4.2.2 Пусть G1 и G2 – две конечные группы автоморфизмов поля M .Если M G1 = M G2 , то G1 = G2 .Доказательство.
Пусть G1 = {g1 , . . . , gm }. Если g ∈ G2 \G1 , то получаем разныеавтоморфизмы g, g1 , . . . , gm ⇒ m + 1 ≤ dim(M : M G1 ) = m, что невозможно. 2Следствие 4.2.3 Пусть M – расширение поля K и G = A(M : K) – группа всехавтоморфизмов M над K. ТогдаK = MG⇔dim(M : K) = |G|.Доказательство. Если K = M G , то равенство dim(M : K) = |G| уже установлено.Обратно, пусть dim(M : K) = |G|. Тогда K ≤ M G ≤ M и выполняется равенствоdim(M : M G ) = |G|. Следовательно, dim(M G : K) = 1 ⇒ K = M G .
2Задача 135. Группа G состоит из автоморфизмов g1 , . . . , gn поля M , а числа θ1 ,. . ., θn образуют базис поля M как линейного пространства над своим подполем K.Верно ли, что M G = K?744.3Группы Галуа и поля разложенияКонечное расширение K ≤ M называется конечным расширением Галуа, если Kявляется максимальным неподвижным полем для группы всех автоморфизмов Mнад K. Мы уже знаем, что в этом и только этом случае число автоморфизмов M надK является максимально возможным, т.е. равным размерности M над K. В такихслучаях группа A(M : K) называется группой Галуа.Конечное расширение не будет расширением Галуа, если число автоморфизмов√меньше размерности расширения. Например, в группе автоморфизмов √поля Q( 3 2)над Q нет ни одного автоморфизма, кроме тривиального.
Число θ := 3 2 являетсякорнем неприводимого над Q многочлена x3 − 2. Поэтому автоморфизм g : Q(θ) →Q(θ) полностью определяется образом числа θ:g(a + bθ + cθ2 ) = a + bg(θ) + c(g(θ))2 ,a, b, c ∈ Q.В силу неприводимости многочлена x3 −2 над Q любой его корень при автоморфизме√должен переходить в какой-то корень того же многочлена. Но в поле Q( 3 2) нетневещественных чисел, а многочлен x3 − 2 имеет только один вещественный корень!Значит, g(θ) = θ, а такой автоморфизм является тривиальным.Теорема 4.3.1 Пусть поле K вложено в поле M . Расширение K ≤ M являетсяконечным расширением Галуа тогда и только тогда, когда M есть поле разложениянекоторого сепарабельного 8 многочлена с коэффициентами из поля K.Доказательство.
Пусть K ≤ M является конечным расширением Галуа. Тогда, поопределению, K = M G , где G = A(M : K) – конечная группа всех автоморфизмовполя M над K. Возьмем произвольное число a ∈ M и рассмотрим числа g(a) привсевозможных автоморфизмах g ∈ G. Оставим среди них только разные числа, пустьэто будут числа g1 (a), . . . , gk (a), и рассмотрим многочленkYf (x) :=(x − gi (a)).i=1Коэффициенты f (x) остаются на месте при действии любого автоморфизма g ∈ G,поэтомуf (x) ∈ M G [x] = K[x].Допустим, что f (x) имеет нетривиальное разложение на неприводимые множителиf (x) = f1 (x) . .
. fs (x). Тогда какое-то число gi (a) является корнем неприводимого многочлена f1 (x), а какое-то число gj (a) будет корнем неприводимого многочлена f2 (x).Автоморфизм g := gj gi−1 переводит gi (a) в gj (a). Но это невозможно, так как кореньнеприводимого многочлена может переходить только в корень того же неприводимого многочлена. Следовательно, многочлен f (x) неприводим над K. Итак, a естькорень неприводимого многочлена f (x) ∈ K[x] с простыми корнями, принадлежащими полю M . Теперь возьмем базис a1 , . . . , an поля M как линейного пространства над8Напомним, что многочлен называется сепарабельным, если в его разложении на неприводимыемножители каждый множитель имеет только простые корни.75полем K.
Пусть число ai является корнем неприводимого над K многочлена Fi (x),все корни которого являются простыми и принадлежат полю K. Тогда многочленF (x) := F1 (x) . . . Fk (x) является сепарабельным, а M – его поле разложения.Пусть теперь известно, что M – поле разложения сепарабельного многочленаf (x) ∈ K[x]. Нам нужно доказать, что K – максимальное неподвижное поле длягруппы всех автоморфизмов M над K. Обозначим через m число корней многочленаf (x), не принадлежащих полю K, и проведем индукцию по m.
Если m = 0, то M =K и в группе G := A(M : K) имеется только тривиальный автоморфизм. Такимобразом, K = M G .Теперь предположим, что m ≥ 1. Тогда f (x) имеет нетривиальное разложение нанеприводимые множителиf (x) = f1 (x)f2 (x) . . . fs (x),в котором степень хотя бы одного многочлена не меньше 2. Пустьl := deg f1 (x) ≥ 2.Тогда корни f1 (x) не могут принадлежать K, пусть θ – один из них. Поскольку многочлен f (x) сепарабельный, все корни f1 (x) простые.
Пусть f1 (x) имеет разложениеf1 (x) = (x − θ1 ) . . . (x − θl ),θ1 , . . . , θl ∈ M.Будем считать, что θ1 = θ, и рассмотрим поле K(θ). Оно состоит из чисел видаa0 + a1 θ + . . . al−1 θl−1 ,a0 , . . . , al−1 ∈ K.Существует ровно l изоморфизмов поля K(θ) над K. Каждый из них определяетсяобразом корня θ, а это может быть только один и притом любой из корней многочленаf1 (x). Обозначим эти изоморфизмы через g1 , . . .
, gl и будем считать, чтоgi (θ) = θi ,1 ≤ i ≤ l.Ясно, что gi отображает поле K(θ) на поле K(θi ). Каждый такой изоморфизм может быть продолжен до изоморфизма заданных полей разложения соответствующихмногочленов, а в нашем случае – до какого-то автоморфизма поля M .Пусть a остается на месте при всех автоморфизмах группы A(M : K). Ясно, чтоM является полем разложения над K(θ) для того же многочлена f (x), причем числокорней f (x) вне поля K(θ) строго меньше m. По индуктивному предположению, K(θ)является максимальным неподвижным полем для группы A(M : K(θ1 )), поэтомуa ∈ K(θ) и, следовательно,a = a0 + a1 θ + . .
. + al−1 θl−1 ,a0 , . . . , al−1 ∈ K.Отсюдаgi (a) = a = a0 + a1 θi + . . . + al−1 θil−1 ,1 ≤ i ≤ l,а это означает, что многочленΦ(x) := (a0 − a) + a1 x + . . . al−1 xl−176имеет l разных корней. Таким свойством обладает только нулевой многочлен. Поэтому, в частности,a0 − a = 0 ⇒ a = a0 ∈ K.Таким образом, если число a остается на месте при всех автоморфизмах группыA(M : K), то оно принадлежит K. 2Полученная теорема показывает, что группа Галуа всегда является группой автоморфизмов поля разложения некоторого сепарабельного многочлена над заданнымполем.
Эту группу часто называют группой Галуа данного многочлена.Если M – поле разложения сепарабельного многочлена над полем K, то из приведенного выше доказательства видно, что любое число из M является корнем неприводимого над K многочлена, все корни которого простые и принадлежат M . Отсюдатривиальным образом вытекает несколько ослабленное утверждение: если число изM является корнем неприводимого над K многочлена, то все корни данного многочлена также принадлежат M .Для описания таких случаев есть специальный термин.
Пусть M – расширениеполя K, обладающее тем свойством, что для каждого числа из M , которое является корнем неприводимого над K многочлена, все корни данного многочлена такжепринадлежат M . Расширение K ≤ M с таким свойством называется нормальным, аполе M называется нормальным над K. Конечное расширение Галуа всегда являетсянормальным расширением.Теорема 4.3.2 Поле M является полем разложения какого-то многочлена над полем K тогда и только тогда, когда расширение K ≤ M является конечным нормальным расширением.Доказательство. Пусть f (x) = (x − θ1 ) . . . (x − θn ) ∈ K[x] и поле M получено из Kприсоединением корней θ1 , . .
. , θn . Тогда любое число из M есть значение некоторогомногочленаΦ(x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ]в точкеx1 = θ1 , . . . , xn = θn .Заметим, что f (x) может иметь кратные корни. Пусть a = Φ(θ1 , . . . , θn ). РассмотриммногочленYφ(x) :=(x − Φ(θσ(1) , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
