Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Конечная система векторов называется линейно зависимой,если для них существует нетривиальная линейная комбинация, дающая нулевой вектор. В противном случае система векторов называется линейно независимой. Проверка линейной независимости векторов v1 , . . . , vn состоит в следующем: надо доказать,что равенствоα1 v1 + . . . + αn vn = 0влечет за собой равенствоα1 = . . . = αn = 0.Линейное пространство V над полем K называется бесконечномерным, если в немможно найти любое сколь угодно большое число линейно независимых векторов, иконечномерным в противном случае. Если пространство конечномерно, то его размерностью называется максимальное число линейно независимых векторов в этомпространстве.
Обозначение для размерности: dim V .Система векторов v1 , . . . , vn в конечномерном пространстве V над полем K называется базисом, если:• V = hv1 , . . . , vn i;• векторы v1 , . . . , vn линейно независимы.Лемма 3.2.1 Пусть A – матрица размеров m × n над полем K и m < n. Тогдастолбцы матрицы A линейно зависимы как векторы пространства K m×1 .Доказательство. Чтобы установить линейную зависимость столбцов матрицы A,достаточно найти нетривиальное (отличное от нулевого) решение однородной системы линейных алгебраических уравненийa11 x1 + a12 x2 + .
. . + a1n xn = 0,...am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0.Рассуждение проведем индукцией по m. Если m = 1, то нетривиально решение строится очевидным образом.Пусть m ≥ 2. Если первый столбец матрицы A нулевой, то можно взятьx1 = 1,x2 = . . . = xn = 0.Если первый столбец ненулевой, то без ограничения общности будем считать, чтоa11 6= 0.
Преобразуем систему уравнений следующим образом: первое уравнениеоставим как есть, а при 2 ≤ i ≤ m из i-го уравнения вычтем первое, умноженноена коэффициент ai1 /a11 . Новая система уравнений равносильна исходной системе,но имеет более простой вид:a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0,b22 x2 + . . . + b2n xn = 0,...bm2 x2 + .
. . + bmn xn = 0,50гдеbij := aij −ai1a1j ,a112 ≤ i ≤ m,2 ≤ j ≤ n.В однородной системеb22 x2 + . . . + b2n xn = 0,...bm2 x2 + . . . + bmn xn = 0число уравнений и число неизвестных равны m − 1 и n − 1. При этомm<n⇒m − 1 < n − 1.По индуктивному предположению данная система имеет нетривиальное решениеx2 , . . . , xn . Возьмем эти значения и положимx1 := −(a12 x2 + .
. . + a1n xn )/a11 .Тем самым мы получим нетривиальное решение исходной системы. 2Лемма 3.2.2 В произвольном линейном пространстве даны две системы векторовu1 , . . . , un и v1 , . . . , vm . Если векторы первой системы линейно независимы и содержатся в линейной оболочке векторов второй системы, то n ≤ m.Доказательство. Пусть векторы принадлежат пространству V над полем K.
Согласно условию, каждый из векторов первой системы является линейной комбинацией векторов второй системы:u1 = a11 v1 + . . . + am1 vm ,...un = a1n v1 + . . . + amn vm ,где aij ∈ K. Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравненийa11 x1 + a12 x2 + . . .
+ a1n xn = 0,...am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0и предположим от противного, что m < n. Тогда, согласно предыдущей лемме, существует нетривиальное решение этой системы. Взяв это решение, находимx1 u1 + . . . + xn un = 0,что противоречит линейной независимости векторов u1 , . . . , un .
2Теорема 3.2.1 В конечномерном пространстве число векторов в любом его базисеравно его размерности.51Доказательство. Пусть n = dim V . По определению размерности, существует система из n линейно независимых векторов u1 , . . . , un и для любой линейно независимойсистемы векторов, в частности для базиса v1 , . . . , vm , имеет место неравенство m ≤ n.По определению базиса, векторы u1 , .
. . , un принадлежат линейной оболочке векторов v1 , . . . , vm и поэтому, согласно предыдущей лемме, n ≤ m. Следовательно, m = n.2Теорема 3.2.2 В конечномерном пространстве любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.Доказательство. Возьмем линейно независимую систему u1 , .
. . , um и какой-то базис v1 , . . . , vn . Рассмотрим упорядоченную последовательность векторовu1 , . . . , um , v1 , . . . , vn .Данная система является линейно зависимой и в ней заведомо имеется вектор, который является линейной комбинацией векторов слева от него. Это может быть толькоодин из векторов v1 , . . . , vn . Рассмотрим систему без этого вектора. Если m+n−1 > n,то и эта система линейно зависима и в ней есть вектор, который является линейнойкомбинацией векторов слева. Выбросим этот вектор и перейдем к системе из ещеменьшего числа векторов. И так далее.
В итоге останется ровно n векторов, средикоторых непременно будут векторы u1 , . . . , um , так как ни один из них не являетсялинейной комбинацией векторов, расположенных слева. Оставшаяся система такова,что любой из векторов v1 , . . . , vn является линейной комбинацией ее векторов. Поэтому какая-то ее подсистема будет базисом. Вследствие того, что в любом базиседолжно быть n векторов, эта система сама и является базисом. 2Теорема 3.2.3 (теорема Грассмана) Пусть V1 и V2 – конечномерные подпространства одного и того же линейного пространства. Тогдаdim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim V1 ∩ V2 .Доказательство. Пусть u1 , . . . , um – базис V1 ∩ V2 . Заметим, что V1 ∩ V2 являетсяподпространством в V1 и одновременно в V2 , и достроим выбранный в нем базиссначала до базиса V1 , а затем до базиса V2 :u1 , . .
. , um , v1 , . . . , vk – базис V1 ,u1 , . . . , um , w1 , . . . , wl – базис V2 .Легко видеть, что V1 + V2 является линейной оболочкой векторовu1 , . . . , um , v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wl .Остается доказать линейную независимость этих векторов. Пустьα1 u1 + . . . + αm um + β1 v1 + . . . + βk vk + γ1 w1 + . .
. + γl wl = 0.Отсюда ясно, чтоγ1 w1 + . . . + γl wl ∈ V1 ∩ V2 ⇒ γ1 = . . . = γl = 0 ⇒52α1 = . . . = αm = β1 = . . . = βk = 0.Таким образом, dim(V1 + V2 ) = m + k + l = (m + k) + (m + l) − m. 2Суммой подпространств V1 , . . . , Vk называется множество векторов v, допускающих представление в видеv = v1 + . . . + vk ,v1 ∈ V1 , . . . , vk ∈ Vk .Такое представление называется разложением вектора по подпространствам. Есливекторы vi в разложении по подпространствам определяются однозначно, то такаясумма подпространств V = V1 + . .
. + Vk называется прямой суммой. Обозначениедля прямой суммы:V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk .Задача 97. Всегда ли сумма ядра и образа квадратной матрицы является прямойсуммой?Задача 98. Дана матрица A размеров m × n над полем K. Докажите, чтоdim ker A + dim im A = n.Задача 99. Найдите размерность суммы подпространства n×n-матриц с нулевойсуммой элементов в каждой строке и подпространства n × n-матриц с нулевойсуммой элементов в каждом столбце.Задача 100. Сколько различных подпространств имеет линейное пространствоматриц размеров 2 × 2 над полем вычетов по модулю 2?Задача 101. Пусть V – вещественное линейное пространство функций, определенных на отрезке [a, b].
Докажите, что для линейной независимости функцийf1 (x), . . . , fn (x) необходимо и достаточно существование точек x1 , . . . , xn ∈ [0, 1]таких, что матрицаf1 (x1 ) . . . fn (x1 )A = ...f1 (xn ) . . . fn (xn )является обратимой.Задача 102. Докажите линейную независимость функций sin x, sin 2x, . . . , sin nxкак векторов вещественного линейного пространства функций на произвольно заданном отрезке [a, b].533.3Конечные и алгебраические расширения полейПусть L – поле и K ⊆ L – подмножество в L, обладающее следующими свойствами:• 0, 1 ∈ K;• a, b ∈ K• 0 6= a ∈ K⇒⇒a + b, ab ∈ K;a−1 ∈ K;a∈K⇒−a ∈ K.В таких случаях K называется подполем поля L, а поле L – расширением поляK.
По аналогии с группами и подгруппами будем писать K ≤ L. Естественно, Kсамо является полем относительно тех же операций сложения и умножения, которыедействуют в поле L.При изучении полей очень полезно рассматривать более широкое поле L как линейное пространство над своим подполем K. Числа из L играют роль векторов. Сложение векторов в данном случае – это обычное сложение чисел поля L. Умножениевектора на число из поля K – это умножение числа из L на число из K ≤ L. Принятоговорить, что поле L является конечным расширением поля K, если пространство Lнад K конечномерно. Для размерности этого пространства используется обозначение(L : K) или dim(L : K). Размерность пространства L над K часто называется такжеразмерностью расширения или степенью расширения.Пример 1. Поле комплексных чисел C является конечным расширением полявещественных чисел R.
В данном случае dim(C : R) = 2.Пример 2. Поле вещественных чисел R как линейное пространство над полемрациональных чисел Q является бесконечномерным. Если бы оно имело конечнуюразмерность n, то любое вещественное число можно было бы представить в видеα1 z1 + . . . + αn zn ,α1 , . . . , αn ∈ Q,где z1 , . . .
, zn – некоторые фиксированные вещественные числа. Из счетности множества рациональных чисел нетрудно вывести, что множество чисел такого видадолжно быть счетным. Однако известно, что множество вещественных чисел не является счетным.Теорема 3.3.1 Предположим, что поле L является промежуточным полем между полями K и M :K ≤ L ≤ M.Тогда расширение M над K конечно в том и только том случае, когда расширениеM над L и расширение L над K оба конечны. При этомdim(M : K) = dim(M : L) dim(L : K).Доказательство. Пусть пространство M над K конечномерно и w1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
