Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В дальнейшем мы будем рассматривать только ассоциативные кольца.Элемент e ∈ K со свойством ae = ea = a ∀ a ∈ K называется единичным элементом или единицей кольца K. Если такой элемент существует, то кольцо называетсякольцом с единицей. Легко доказывается, что единица может быть только одна. Элемент a кольца K с единицей e называется обратимым или делителем единицы, еслисуществует b ∈ K такой, что ab = ba = e.Ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля называется целостнымкольцом или областью целостности.Кольцо целых чисел.
Множество целых чисел Z с операциями сложения иумножения чисел является целостным кольцом с единицей. Здесь два делителя единицы: 1 и −1.Кольцо гауссовых чисел. Комплексные числа вида a + b i при целых a и bназываются гауссовыми числами. Множество всех таких чисел обозначается Z[i].Операции сложения и умножения комплексных чисел превращают Z[i] в целостноекольцо с единицей. Это кольцо интересно тем, что в нем имеют место многие замечательные свойства кольца целых чисел, в частности, вводится понятие простых чисели доказывается аналог основной теоремы арифметики – о том, что любое число,25кроме делителей единицы, имеет разложение на простые множители, которое определяется однозначно с точностью до перестановки множителей и умножения их накакие-то делители единицы.Кольцо квадратных матриц.
Множество вещественных n × n-матриц с операциями сложения и умножения матриц является ассоциативным некоммутативнымкольцом с единицей. Нулевым элементом является нулевая матрица, единичным элементом – единичная матрица (диагональная матрица с числом 1 на главной диагонали). При n ≥ 2 в этом кольце имеются делители нуля. Например, 0 1 0 10 0=.0 0 0 00 0Кольцо вычетов по модулю n.
Напомним, что вычетом по модулю n называется множество всех целых чисел, имеющих при делении на n один и тот же остаток.Если целое число a входит в такое множество, то оно однозначно определяет остатокпри делении на n, а значит и все множество целых чисел с одним и тем же остатком.Поэтому соответствующий вычет однозначно определяется любым входящим в негочислом. Для вычета, содержащего число a, мы используем обозначение [a]. Сложениеи умножение вычетов определяется следующим образом:[a] + [b] := [a + b],[a][b] := [ab].Важно понимать, что такого рода определения нуждаются в проверке их корректности. В данном случае нужно убедиться в том, что если [a] = [a0 ] и [b] = [b0 ], то[a + b] = [a0 + b0 ] и [ab] = [a0 b0 ]. Кольцо вычетов по модулю n является конечнымассоциативным коммутативным кольцом с единицей e = [1] и нулем 0 = [0]. Если nсоставное, т.е.
n = ab при a, b 6= n, то [a], [b] 6= 0 и в то же время [a][b] = [ab] = [n] = 0,т.е. вычеты [a] и [b] являются делителями нуля. Кольцо вычетов по модулю n обозначается Zn .Часто для обозначения вычетов [a] и [b] используются сами числа a и b. При этомговорится, что операции выполняются по модулю n; если [c] = [a] + [b] или [c] = [a][b],то применяется записьc = a + b (mod n) или c = ab (mod n).Пусть K – ассоциативное коммутативное кольцо, в котором есть хотя бы одинненулевой элемент и для любых ненулевых элементов a и b существует ненулевойэлемент x такой, что ax = b. Такое кольцо называется полем.Согласно определению, в поле должно быть не менее двух элементов: заведомоесть нулевой элемент и должен быть единичный элемент, не совпадающий с нулевым.Ясно, что множество ненулевых элементов поля образует группу по умножению.
Этагруппа называется мультипликативной группой поля. Все элементы поля образуютгруппу по сложению, которая называется аддитивной группой поля.Утверждение 2.1.2 В поле делителей нуля нет.26Доказательство. Пусть ab = 0. Если a 6= 0, то существует элемент x такой, чтоax = e. Используя ассоциативность и коммутативность умножения, находим 0 =x · 0 = x(ab) = (xa)b = eb = b, т.е. b = 0. Аналогично, если b 6= 0, то a = 0. 2Свойства операций произвольного поля по сути те же, что и хорошо знакомые сошколы свойства операций сложения и умножения рациональных или вещественныхчисел. Для матриц с элементами из поля K операции сложения и умножения матрицопределяются так же, как и для вещественных матриц.
Более того, точно таким жеобразом вводится понятие определителя для квадратных матриц с элементами изK и доказываются те же основные свойства определителя. Ничем не меняется понятие обратной матрицы: матрица B называется обратной к n × n-матрице A, еслиAB = BA = I (единичная матрица порядка n). Имеет место такое же определениеранга матрицы, справедлива та же теорема о базисном миноре и ее следствия.
Все,что известно о системах линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами и вещественной правой частью, остается в силе для случаев, когдакоэффициенты, правая часть и решение берутся из произвольного заданного поля.Заметим также, что понятие определителя имеет смысл для матриц с элементами из произвольного ассоциативного коммутативного кольца K. При его вычисленииполучается некоторый элемент из K. Можно проверить, что и в этом случае определитель обладает рядом привычных свойств: 3• как функция столбцов (строк) матрицы – определитель является линейнойфункцией по каждому из аргументов при фиксации остальных аргументов (такие функции называются полилинейными или мультилинейными);• определитель меняет знак при перестановке двух разных столбцов (строк);• определитель не меняется при прибавлении к столбцу (строке) линейной комбинации других столбцов (строк);• определитель не меняется при транспонировании матрицы;• определитель произведения матриц равен произведению определителей матрицсомножителей.Задача 59.
Докажите, что множество функций, непрерывных на заданном отрезке вещественной оси, относительно операций сложения и умножения функцийявляется ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Является ли этокольцо целостным?Задача 60. Найдите все делители единицы в кольце гауссовых чисел.3В качестве упражнения проведите аккуратные доказательства этих свойств. Обратите вниманиена то, что утверждение о равенстве нулю определителя с парой одинаковых столбцов в случаекольца Z2 не является прямым следствием утверждения об изменении знака при перестановке двухразных столбцов.27√Задача 61.
Докажите, что множество чисел вида a + b 5 при всех a, b ∈ Q относительно операций сложения и умножения чисел является полем.Задача 62. Пусть a, b ∈ K, где K – ассоциативное кольцо с единицей e. Докажите, что из обратимости элемента e + ab вытекает обратимость элемента e + ba.Задача 63. Пусть K – произвольное бесконечное поле, m и n - произвольные фиксированные натуральные числа. Докажите, что среди m×n-матриц с элементамииз K существует такая матрица ранга 1, в которой все элементы различны.Задача 64. Докажите, что все вещественные n × n-матрицы вида...a0 an−1a2a1..
.. a1. a2 .a0 .......... .......... a0 an−1 .an−2...an−1 an−2a1a0образуют ассоциативное коммутативное кольцо с единицей относительно операций сложения и умножения матриц. Выясните, есть ли в этом кольце делителинуля.Задача 65. Пусть K – ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и L –кольцо n×n-матриц с элементами из K. Докажите, что матрица A ∈ L обратиматогда и только тогда, когда det A является обратимым элементом в K.2.2Поле вычетовХорошо известные примеры: поле рациональных чисел Q, поле вещественных чиселR, поле комплексных чисел C. Но существуют и конечные поля, в которых числоэлементов конечно.Теорема 2.2.1 Кольцо вычетов по модулю n является полем в том и только томслучае, когда число n простое.Доказательство.
Мы уже знаем, что если n составное, то делители нуля в Zn есть.Пусть n = p – простое число. Множество ненулевых вычетов имеет видZ∗p = { [1], . . . , [p − 1] }.Докажем, что для любых [a], [b] ∈ Z∗p существует [x] ∈ Z∗p такой, что [a][x] = [b].Для этого достаточно проверить, что вычеты [a][1], . . . , [a][p − 1] являются разныминенулевыми вычетами – тогда среди них обязательно есть вычет [b]. Данные вычетыопределяются остатками при делении на p:1·a =pq1 + r1 ,0 ≤ r1 ≤ p − 1,2·a =pq2 + r2 ,0 ≤ r2 ≤ p − 1,.........(p − 1) · a = pqp−1 + rp−1 , 0 ≤ rp−1 ≤ p − 1.28Пусть ri = rj .
Тогда.(i − j)a .. p,(a, p) = 1⇒.i − j .. p.Среди целых чисел от −p + 1 до p − 1 на p делится только 0. Следовательно, i = j имы доказали, что остатки r1 , . . . , rp−1 являются разными. Ни один из них не равеннулю, иначе число ia делится на p, что невозможно при 1 ≤ i ≤ p − 1. Таким образом,остатки r1 , . . . , rp−1 представляют собой перестановку чисел 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
