Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Элементы x и gxg −1 называются сопряженными. Орбита G(x) = {gxg −1 : g ∈ G} есть множество всехэлементов, сопряженных с элементом x. Длина этой орбиты равна числу правых(левых) смежных классов G по стабилизатору Gx . Вследствие теоремы Лагранжа,число сопряженных элементов для элемента x есть делитель порядка группы. Центргруппы G состоит из таких ее элементов, которые сопряжены только сами с собой(их орбиты имеют длину 1).Теорема 1.9.1 Пусть порядок группы есть степень простого числа. Тогда в этойгруппе имеется элемент, отличный от единицы и коммутирующий с любым элементом группы.16Доказательство.
Пусть порядок группы равен ps , где p – простое число. Множество элементов группы разбивается на непересекающиеся классы сопряженных между собой элементов – это орбиты при действии группы на самой себе сопряжением.Длина каждой орбиты неединичной длины есть кратное p. Орбиты длины 1 обязательно есть: такова орбита единичного элемента. Поэтому орбит единичной длиныкак минимум p.
Значит, одна из них порождается элементом x 6= e. Для нее находимgxg −1 = x ∀ g ∈ G ⇔ gx = xg ∀ g ∈ G. 2Теорема 1.9.2 (Теорема Бернсайда) В случае конечной группы G число различных орбит конечного множества X равно1 X1 X|Xg | =|Gx |.|G| g∈G|G| x∈XДоказательство. Пары (g, x) со свойством g(x) = x можно сосчитать двумя различными способами:Xg∈G|Xg | =X|Gx | =x∈XX |G|. 2|G(x)|x∈XПример. Рассмотрим вращения куба вокруг оси, проходящей через его центр,причем такие вращения, которые совмещают куб с самим собой. Это тождественноевращение плюс по три вращения вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней, плюс по два вращения вокруг осей, проходящих через пары наиболее удаленных друг от друга (диаметральных) вершин, плюс по одному вращениювокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер. Таким образомполучаются 24 вращения.Чтобы доказать, что композиция двух вращений является вращением, достаточно заметить, что любое вращение на угол φ вокруг некоторой оси есть композициядвух симметрий относительно проходящих через эту ось плоскостей, угол междукоторыми равен φ/2.
При этом одна из этих плоскостей может быть произвольнойплоскостью, содержащей ось вращения. Таким образом, заданные вращения Φ и Ψмогут быть записаны в виде композиций двух симметрий Φ = AB и Ψ = BD, где B –симметричное отражение относительно плоскости, проходящей через оси вращенийΦ и Ψ. Композиция ΦΨ = ABBD = AD оказывается композицией двух симметрий A и D и поэтому является вращением вокруг прямой, по которой пересекаютсяплоскости неподвижных точек при симметриях A и D. Возможно и чисто алгебраическое доказательство, но оно будет доступно после изучения канонических формдля ортогональных матриц.Чтобы доказать, что в группе G всех вращений куба ровно 24 вращения, рассмотрим действие этой группы на множестве вершин куба.
Вершин всего 8. При этом,как несложно проверить, орбита только одна. Возьмем произвольную вершину x. Если вращение оставляет x на месте, то оно оставляет на месте и наиболее удаленнуюот x вершину. Значит, стабилизатор вершины x содержит три вращения вокруг оси,проходящей через диаметрально противолежащие вершины.
Поэтому |G| = 8·3 = 24.17Задача 36. Каждая грань куба закрашивается одной из двух красок. При этомраскраски считаются одинаковыми, если они совпадают при вращении куба. Докажите, что разных раскрасок ровно 10.Задача 37. Докажите, что в группе порядка 8 имеется нормальная подгруппапорядка 4.Задача 38. Докажите, что в симметрической группе степени n две подстановки являются сопряженными в том и только том случае, когда они разлагаютсяв произведение одного и того же числа независимых циклов с одним и тем женабором длин.Задача 39.
Найдите число разных орбит сопряженных элементов в группе S13 .1.10Группа движенийВзаимно-однозначное отображение плоскости на себя, при котором расстояние между любой парой точек равно расстоянию между их образами, называется движением плоскости. В планиметрии геометрические фигуры считаются равными (конгруэнтными), если одну можно совместить с другой с помощью некоторого движенияплоскости. Множество всех движений относительно операции композиции (последовательного выполнения) отображений является группой. Взаимно-однозначное отображение пространства, сохраняющее расстояние, также называется движением.Теорема 1.10.1 (теорема Шаля) Любое движение плоскости есть параллельный перенос, поворот около точки на некоторый угол, симметричное отражениеотносительно некоторой прямой или композиция параллельного переноса и симметрии относительно прямой (скользящая симметрия).Доказательство.
Заметим, что движение плоскости полностью определяется, еслиизвестны образы вершин какого-либо треугольника. Опираясь на это наблюдение,легко убедиться в том, что в случае ровно одной неподвижной точки мы получаемне что иное, как поворот около этой точки на некоторый угол. Если вообще всеточки неподвижны, то движение является тождественным преобразованием. Еслинеподвижных точек больше, чем одна, то имеется целая прямая неподвижных точек,и если при этом хотя бы одна точка не является неподвижной, то движение должнобыть симметрией относительно данной прямой. Случай, когда неподвижных точекнет, мы оставляем читателю. 2Задача 40. Докажите, что множество всех движений плоскости, совмещающихправильный n-й угольник с собой, является группой с числом элементов 2n.Задача 41. Докажите, что группа движений плоскости не является абелевой.Задача 42. Докажите, что если отображение плоскости в плоскость сохраняетрасстояние, то оно взаимно-однозначно, т.е.
является движением.18Задача 43. Докажите, что множество всех движенией, совмещающих заданныйкуб с собой, является группой. Докажите, что порядок этой группы равен 48.Задача 44. Найдите порядок группы движений, совмещающих с собой правильныйтетраэдр.1.11Группа дробно-линейных преобразованийкомплексной плоскостиОтображение комплексной плоскости видаa11 z + a12a21 z + a22z → f (z) =называется дробно-линейным преобразованием, еслиa11 a12det6= 0, aij ∈ C.a21 a22Заметим, что отображение определено при всех z ∈ C, кроме, возможно, одного, прикотором знаменатель обращается в нуль.Задача 45. Докажите, что множество дробно-линейных преобразований комплексной плоскости является группой относительно композиции преобразований.Задача 46.
Докажите, что дробно-линейные преобразования с вещественными коэффициентами, подчиненными условию a11 a22 − a12 a21 = 1, образуют группу относительно композиции преобразований и переводят точки верхней полуплоскости вточки верхней полуплоскости. Докажите также, что для любой пары точек верхней полуплоскости найдется преобразование такого вида, переводящее одну точкув другую.Задача 47.
Докажите, что любое движение комплексной плоскости задается отображением видаz → az + b либо z → az̄ + b,где a, b ∈ C, |a| = 1.Задача 48. Докажите, что преобразованиеf (z) =z−1z+1переводит мнимую ось в единичную окружность (окружность радиуса 1 с центромв точке z = 0), а правую полуплоскость – во внутренность единичного круга.Задача 49. Докажите, что для произвольных дробно-линейных преобразований f (z)и g(z) существуют специальные дробно-линейные преобразования h1 (z) = a1 z + b1 иh2 (z) = a2 z + b2 такие, чтоf = h1 gh2 ,т.е. f (z) = h1 (g(h2 (z))).Задача 50.
Докажите, что при дробно-линейном преобразовании любая прямая(окружность) переходит в прямую либо в окружность.191.12Гомоморфизмы группОтображение f : G → Ĝ группы G в группу Ĝ называется гомоморфизмом, если оносохраняет операцию, т.е.f (ab) = f (a)f (b) ∀ a, b ∈ G.Отличие от изоморфизма в том, что не требуется взаимной однозначности.Ядром гомоморфизма называется множество элементов группы G, отображаемыхв единицу группы Ĝ. Обозначение: ker f .Образом гомоморфизма называется множество элементов группы Ĝ, в которыеотображается хотя бы один элемент группы G. Обозначение: im f = f (G).Теорема 1.12.1 Если f – гомоморфизм группы G в группу Ĝ, тоker f E G,im f ≤ Ĝ,im f ∼= G/ker f.Доказательство.
Пусть H = ker f и a, b ∈ H. Тогда f (a) = f (b) = ê, где ê – единицагруппы Ĝ. В силу сохранения операцииf (ab) = f (a)f (b) = êê = ê ⇒ ab ∈ H,ê = f (e) = f (aa−1 ) = f (a)f (a−1 ) = êf (a−1 ) = f (a−1 ) ⇒ a−1 ∈ H.Таким образом, H является подгруппой в G. Кроме того, для любого h ∈ H и любогоg ∈ G имеемf (ghg −1 ) = f (g)f (h)f (g −1 ) = f (g)f (h)f (g −1 ) = f (g)f (g −1 ) = f (gg −1 ) = f (e) = ê⇒ ghg −1 ∈ H.Поэтому H – нормальная подгруппа в G.Пусть R = im f . Возьмем два произвольных элемента из R. Пусть они имеют видf (a) и f (b) для каких-то a, b ∈ G.
Тогдаf (a)f (b) = f (ab) ⇒ f (a)f (b) ∈ R.Далее,f (aa−1 ) = f (a)f (a−1 ) = f (a−1 )f (a) = ê ⇒ (f (a))−1 = f (a−1 ) ⇒ (f (a))−1 ∈ R.Таким образом, R ≤ Ĝ.Отображение φ : G/H → R определим следующим образом:φ(Ha) := f (a),a ∈ G.Поскольку определение использует произвольный элемент a из смежного класса Ha,необходимо показать, что образ смежного класса не зависит от выбора a. ПустьHa = Hb. Тогда b = ha для некоторого h ∈ H, и значит,f (b) = f (ha) = f (h)f (a) = êf (a) = f (a).20Таким образом, отображение φ определено корректно.Произвольный элемент группы R имеет вид f (a) и при отображении φ это естьобраз смежного класса Ha.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
