Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. · a};n раз• если n = 0, тоa0 := e;6• если n = −k, k > 0, тоan := (a−1 )k .Утверждение 1.3.2 Пусть a – элемент мультипликативной группы. Тогдаam+n = am an ∀ m, n ∈ Z.Доказательство проводится по той же схеме, что и в случае кратных в аддитивнойгруппе.Пусть m – натуральное число.
Говорят, что элемент a мультипликативной группыG имеет порядок m, если am = e и al 6= e при всех 1 ≤ l ≤ m − 1. Обозначение:m = ord (a). Если ak = e исключительно при k = 0, то a называется элементомбесконечного порядка. В этом и только этом случае все степени элемента a различны:ak 6= al при k 6= l.Задача 10. Пусть A ∈ Qn×n – какая-то невырожденная матрица порядка n.
Докажите, что множество всех матриц вида Ak , где k ∈ Z, является группой относительно операции умножения матриц.Задача 11. Пусть A ∈ Qn×n имеет вид0 10 0A=. . . . . .0 01 001...00... 0... 0 . . . . . ..... 1 ... 0Докажите, что множество всех целых степеней матрицы A является группой поумножению матриц, в которой ровно n матриц.
Найдите порядок элемента этойгруппы, имеющего вид B = A2 .Задача 12. Пусть G – абелева группа, a и b – ее элементы порядка m и n соответственно. Докажите, что если числа m и n взаимно просты, то порядок элементаc = ab равен mn. Верно ли это в случае, когда m и n имеют нетривиальный общийделитель?1.4Изоморфизмы группРассмотрим два примера групп:1. Группа G всех вещественных чисел относительно операции сложения чисел.2. Группа Ĝ положительных вещественных чисел относительно операции умножения чисел.7Формально G и Ĝ – это разные группы.
Но являются ли эти группы существенноразличными? При изучении групп нас интересуют прежде всего свойства операций.Если эти свойства одни и те же для формально разных групп, то такие группы можносчитать одинаковыми с точки зрения свойств операции.Пусть G и Ĝ – группы с операциями ∗ и ∗ˆ. Отображение f : G → Ĝ называетсяизоморфизмом, если оно является взаимно-однозначным и сохраняет операцию втом смысле, чтоf (a ∗ b) = f (a)ˆ∗f (b) ∀ a, b ∈ G.Будем говорить, что группа G изоморфна группе Ĝ. Обозначение: G ∼= Ĝ.Мы получаем бинарное отношение на множестве групп, которое, как несложнопроверить, является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Таким образом, все группы разбиваются на классы изоморфных между собой групп.Утверждение 1.4.1 Пусть e и ê – нейтральные элементы групп G и Ĝ. Еслиf : G → Ĝ – изоморфизм, то:• f (e) = ê;• f (a−1 ) = (f (a))−1∀ a ∈ G.Доказательство. Любой элемент группы Ĝ имеет вид f (a) для некоторого a ∈ G.В силу сохранения операцииf (a) = f (a ∗ e) = f (e ∗ a) = f (a)ˆ∗f (e) = f (e)ˆ∗f (a).Следовательно, f (e) = ê. Далее,ê = f (e) = f (a ∗ a−1 ) = f (a−1 ∗ a) = f (a)ˆ∗f (a−1 ) = f (a−1 )ˆ∗f (a).Значит, (f (a))−1 = f (a−1 ). 2Если группы изоморфны, то существует хотя бы одно взаимно-однозначное исохраняющее операцию отображение одной группы на другую.
Таких отображенийможет быть и несколько. Изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом.Утверждение 1.4.2 Пусть g – произвольно выбранный элемент группы G. Отображение f (a) := gag −1 , a ∈ G, является автоморфизмом группы G.Доказательство. При данном отображении разные элементы переходят в разные:gag −1 = gbg −1 ⇒ a = b.
Кроме того, для каждого элемента b ∈ G имеется элемент,который в него переходит: f (g −1 bg) = g(g −1 bg)g −1 = b. Таким образом, отображение f является взаимно-однозначным. Сохранение операции проверяется очевиднымобразом: f (a)f (b) = (gag −1 )(gbg −1 ) = g(ab)g −1 = f (ab). 2Отображение вида f (a) = gag −1 при фиксированном g ∈ G называется внутренним автоморфизмом группы G.8Задача 13. Докажите, что группа всех вещественных чисел по сложению изоморфна группе положительных вещественных чисел по умножению.Задача 14.
Докажите, что группа целых чисел относительно операции сложения чисел неизоморфна группе положительных рациональных чисел относительнооперации умножения чисел.Задача 15. Докажите, что аддитивная группа рациональных чисел неизоморфнааддитивной группе вещественных чисел.Задача 16. Докажите, что множество автоморфизмов заданной группы образует группу относительно композиции автоморфизмов.Задача 17.
Найдите все автоморфизмы группы целых чисел по сложению.Задача 18. Приведите пример группы, имеющей бесконечно много автоморфизмов.1.5Группа корней n-й степени из единицыРассмотрим множество Cn всех комплексных чисел z таких, что z n = 1. Легко проверяется, что Cn является группой относительно операции умножения комплексныхчисел.Утверждение 1.5.1 В группе Cn всего n различных чисел.Доказательство.
Запишем z в тригонометрической форме:z = cos φ + i sin φ.Тогдаz n = cos nφ + i sin nφ.Равенство z n = 1 означает, чтоcos nφ = 1,sin nφ = 0 ⇔ φ =2πk, k ∈ Z.nРазличные значения получаются при k = 0, 1, . . . , n − 1. 2Пустьε = cos2π2π+ i sin .nnТогдаCn = {1, ε, ε2 , . . . , εn−1 },εn = 1.Корень ζ ∈ Cn называется первообразным, еслиCn = {ζ k , k = 0, 1, . . . , n − 1}.9Утверждение 1.5.2 Корень εm является первообразным корнем n-й степени из 1в том и только том случае, когда целые числа m и n взаимно просты.Пусть φ(n) обозначает число натуральных чисел от 1 до n, которые являютсявзаимно простыми с n. Функция φ(n) называется функцией Эйлера. Как видим, числопервообразных корней n-й степени из 1 есть φ(n).Теорема 1.5.1 Пусть p1 , . .
. pt – попарно различные простые числа и s1 , . . . , st –натуральные числа. Тогдаφ(ps11 . . . pst t ) = (ps11 − ps11 −1 ) . . . (pst t − pst t −1 ).Доказательство. Прежде всего установим следующее свойство функции Эйлера:если (m, n) = 1 (т.е. m и n взаимно просты), тоφ(mn) = φ(m)φ(n).Рассмотрим целые числа видапри 0 ≤ x ≤ n − 1,mx + ny0 ≤ y ≤ m − 1,и заметим, что все эти mn чисел имеют разные остатки при делении на mn.
В самомделе, пусть.(mx1 + ny1 ) − (mx2 + ny2 ) = m(x1 − x2 ) + n(y1 − y2 ) .. mn.Тогда.m(x1 − x2 ) .. n,(m, n) = 1⇒.x1 − x2 .. n.Среди чисел в промежутке −n + 1 ≤ x1 − x2 ≤ n − 1 на n делится только 0, поэтомуx1 = x2 . Аналогично, y1 = y2 . Чтобы найти значение φ(mn), достаточно просмотретьчисла вида mx + ny при 0 ≤ x ≤ n − 1, 0 ≤ y ≤ m − 1 и посчитать, сколько из нихявляются взаимно простыми с mn.Предположим, что простое число p является общим делителем чисел mx + ny и..mn. Поскольку m и n взаимно просты, либо m .. p, либо n ..
p. В первом случае...mx + ny .. p, m .. p ⇒ ny .. p, (n, p) = 1..Во втором случае mx .. p и поэтому x .. p. Таким образом,(mx + ny, mn) = 1⇔⇒.y .. p.(x, n) = 1, (y, m) = 1.Таких пар x, y в промежутке 0 ≤ x ≤ n − 1, 0 ≤ y ≤ m − 1 ровно φ(m)φ(n).Установленное свойство функции Эйлера приводит к формулеφ(ps11 . . . pst t ) = φ(ps11 ) . . . φ(pst t ),и уже вполне очевидный подсчет показывает, что в случае простого числа pφ(ps ) = ps − ps−1 . 2Задача 19. Пусть ε – произвольный корень n-й степени из 1.
Докажите, чтокоэффициенты многочленаf (x) = (x − ε)(x − ε2 ) . . . (x − εn−1 )являются целыми числами.101.6Группы и подгруппыВ дальнейшем мы будем, как правило, использовать мультипликативную символикудля групп. Пусть G – группа и H – некоторая часть элементов множества G. Если длялюбых a, b ∈ H также ab, a−1 , b−1 ∈ H, то множество H ⊆ G называется подгруппойгруппы G. Обозначение: H ≤ G.Ясно, что любая подгруппа является сама группой относительно операции группыG.
Каждая из подгрупп содержит единицу группы G. Очевидно, множества H = {e}и H = G являются подгруппами. Они называются тривиальными подгруппами.Пример 1. Множество четных подстановок образует подгруппу в симметрической группе Sn . Эта подгруппа называется знакопеременной группой степени n иобозначается An .Пример 2. Найдем все подгруппы в аддитивной группе целых чисел Z.
ПустьH ≤ Z. Тогда H содержит какие-то положительные целые числа. Пусть n – наименьшее из них. Возьмем теперь произвольное число m ∈ H и поделим его с остатком наn:m = nq + r, 0 ≤ r ≤ n − 1.Ясно, что r ∈ H и поэтому r = 0, иначе m не было бы наименьшим положительнымчислом из H.
Следовательно, H содержит только те числа, которые делятся на n.При этом все такие числа обязаны входить в H, иначе H не было бы подгруппой.Естественно использовать обозначение H = nZ.Пусть A, B ⊆ G. Определим произведение множеств A и B следующим образом:AB := {ab : a ∈ A,b ∈ B}.Для аддитивной группы аналогично определяется сумма множеств:A + B := {a + b : a ∈ A,b ∈ B}.Далее мы продолжаем работать с мультипликативными группами.Утверждение 1.6.1 Для любой подгруппы H ≤ G и любого элемента a ∈ G множество aHa−1 является подгруппой группы G.Доказательство.
Пусть h1 , h2 ∈ H. Тогда(ah1 a−1 )(ah2 a−1 ) = a(h1 h2 )a−1 ∈ aHa−1 .Кроме того,(aha)−1 = a−1 h−1 (a−1 )−1 . 2Подгруппа aHa−1 называется сопряженной к подгруппе H. Элемент aha−1 называется сопряженным к элементу h.Задача 20. Докажите, что порядок знакопеременной группы степени n равен n!/2.11Задача 21. Докажите, что в группе простого порядка нетривиальных подгруппнет.Задача 22. Пусть Z – группа целых чисел по сложению, a, b ∈ Z и A = [a], B = [b].Докажите, что сумма множеств A и B совпадает с вычетом [a + b].Задача 23. Даны группа G и ее элемент a ∈ G. Пусть Z(a) := {g ∈ H : ga = ag}.Докажите, что Z(a) ≤ G. 21.7Смежные классы и нормальные подгруппыПусть H ≤ G и a ∈ G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
