Е.Е. Тыртышников - Основы алгебры (1109873), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Кроме того, если f (a) = f (b), тоf (ab−1 ) = ê ⇒ ab−1 ∈ H⇒ Ha = Hb,т.е. разные смежные классы переводятся в разные элементы группы R. Доказанавзаимная однозначность отображения φ.Сохранение операции при отображении φ вытекает из сохранения операции пригомоморфизме f :φ(HaHb) = φ(Hab) = f (ab) = f (a)f (b).2Замечательным следствием этой теоремы о гомоморфизме является то, что всеобразы при гомоморфизмах данной группы можно описать, ничего не зная о тойгруппе, в которую отображаются элементы. Достаточно рассмотреть всевозможныенормальные подгруппы данной группы и соответствующие фактор-группы.Пример 1. Пусть G – мультипликативная группа и Ĝ – группа ее внутреннихавтоморфизмов, т.е. отображений вида ĝ(a) = gag −1 , действующих на всех элементахa ∈ G и задаваемых произвольным фиксированным элементом g ∈ G.
Отображениеf : g → ĝ сохраняет операцию и поэтому является гомоморфизмом G на Ĝ:g1 → gˆ1 (a) = g1 ag1−1 ,g2 → gˆ2 (a) = g2 ag2−1⇒(g1 g2 )(a) = g1 (g2 (a)) = g1 (g2 ag2−1 )g1−1 = (g1 g2 )a(g1 g2 )−1 .Его ядро состоит из тех и только тех элементов g ∈ G, для которыхgag −1 = a ∀ a ∈ G⇔ga = ag ∀ a ∈ G.Таким образом, ker f = Z(G), где Z(G) – центр группы G. Согласно теореме о гомоморфизме, Ĝ ∼= G/Z(G).Пример 2. Рассмотрим три многочлена от четырех переменных:p 1 = x1 x2 + x3 x4 ,p2 = x1 x3 + x2 x4 ,p3 = x1 x4 + x2 x3 .Любая подстановка σ ∈ S4 однозначно определяет перестановку многочленов p1 , p2 ,p3 .
Пусть таким образом определяется отображение f : S4 → S3 . Оно являетсягомоморфизмом, а его ядро состоит их четырех подстановокσ1 = e,σ2 = (12)(34),σ3 = (13)(24),σ4 = (14)(23).Согласно теореме о гомоморфизме, ядро является нормальной подгруппой в S4 . Этаподгруппа называется четверной группой Клейна и обозначается K4 .Задача 51. Пусть C∗ – мультипликативная группа ненулевых комплексных чисели Cn – группа корней n-й степени из 1. Докажите, что C∗ /Cn ∼= C∗ .Задача 52.
В группе G даны подгруппы H E G и K ≤ G. Докажите, что HK ≤ G,H E HK, H ∩ K E K и HK/H ∼= K/(H ∩ K).Задача 53. Докажите, что если группа внутрених автоморфизмов группы G является циклической, то сама группа G является абелевой.211.13Теорема Кэли о конечных группахТеорема 1.13.1 (теорема Кэли) Любая группа порядка n изоморфна некоторойподгруппе симметрической группы Sn .Доказательство. Пусть G = {g1 , g2 , .
. . , gn } и b ∈ G. Рассмотрим следующее отображение Кэли:g1 g2 . . . gnσ(b) :=.bg1 bg2 . . . bgnПусть a ∈ G и соответствующая ему подстановка имеет видbg1bg2. . . bgnσ(a) =.a(bg1 ) a(bg2 ) . . . a(bgn )Тогда, как видим, σ(ab) = σ(a)σ(b), т.е. подстановка, поставленная в соответствие ab,есть произведение (композиция) подстановок, соответствующих a и b. Следовательно,отображение σ : G → Sn является гомоморфизмом G в группу Sn . Образ группы Gпри гомоморфизме есть подгруппа группы Sn . Поскольку при отображении Кэлиразные элементы соответствуют разным подстановкам, мы получаем изоморфизмгруппы G и ее образа.
2Задача 54. Пусть a – элемент порядка k в группе порядка n. Докажите, чтопри отображении Кэли элементу a соответствует подстановка σ, являющаясяпроизведением n/k независимых циклов длины k.Задача 55. Порядок группы G равен 2s m, где m – нечетное число. Докажите, чтоесли порядок элемента a ∈ G равен 2s , а порядок элемента b ∈ G равен m, топорядок элемента ab делится на 2s .1.14Конечно порожденные абелевы группыВ группе G выберем какие-то элементы a1 , . .
. , as ∈ G и будем рассматривать всевозможные подгруппы, которые их содержат. Пусть H – пересечение всех таких подгрупп. Несложно проверяется, что H ≤ G. Таким образом, H является минимальнойподгруппой, содержащей элементы a1 , . . . , as . Говорят, что подгруппа H порожденаэлементами a1 , . . . , as . Обозначение: H = ha1 , . . . , as i.Группа G называется конечно порожденной, если G = ha1 , . .
. , as i для каких-тоэлементов a1 , . . . , as ∈ G. Уже известный нам пример – это циклические группы,которые определяются как группы, порожденные каким-то одним своим элементом.Они же играют ключевую роль при описании строения произвольной конечно порожденной группы в случае, если она является абелевой.Пусть G – аддитивная абелева группа и заданы ее подгруппы G1 , . . . , Gs ≤ G.Если любой элемент g ∈ G имеет и притом единственное представление в видеg = g1 + . .
. + gs ,gi ∈ Gi ,221 ≤ i ≤ s,то группа G называется прямой суммой подгрупп G1 , . . . , Gs . Обозначение:G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gs .В случае мультипликативной абелевой группы аналогичным образом вводитсяпонятие прямого произведения подгрупп, а вместо знака ⊕ применяется символ ×.Теорема 1.14.1 Любая аддитивная конечно порожденная абелева группа G является прямой суммой конечного числа циклических подгруппG = G1 ⊕ . . . ⊕ Gs ,упорядоченных таким образом, что если группа Gi+1 конечна, то Gi также конечнаи ее порядок является делителем порядка группы Gi+1 .Доказательство.
Пусть s – минимальное число элементов, порождающих абелевугруппу G. Систему элементов, порождающих G, назовем минимальной, если в нейровно s элементов. Если a1 , . . . , as – минимальная система, то любой элемент a ∈ Gимеет видa = n1 a1 + . . . + ns as , n1 , . . . , ns ∈ Z.Если целые числа n1 , . . . , ns определяются по a единственным образом, то теоремадоказана, так как можно взять Gi := hai i. Каждая подгруппа Gi будет бесконечнойциклической группой.Рассмотрим случай неединственности. Тогда хотя бы для одного набора не равныходновременно нулю целых чисел n1 , .
. . , ns получается равенствоn1 a1 + . . . + ns as = 0.Равенства такого вида будем называть нетривиальными соотношениями междуэлементами a1 , . . . , as . Рассмотрим всевозможные минимальные системы порождающих G элементов и всевозможные нетривиальные соотношениями между элементамикаждой из систем. Пусть система a1 , . . . , as обладает нетривиальным соотношениемуказанного выше вида, в котором n1 является минимальным положительным средивсех коэффициентов любых нетривиальных соотношений с хотя бы одним положительным коэффициентом для всевозможных минимальных систем, порождающихгруппу G.
Тогда можно сделать два наблюдения:• если m1 a1 + . . . + ms as = 0, то число n1 является делителем числа m1 ;• каждый из коэффициентов n2 , . . . , ns делится на n1 .Для доказательства первого утверждения рассмотрим деление с остатком:m1 = n1 q + r,0 ≤ r < n1 .Если r > 0, то получаем противоречие с минимальностью n1 :(m1 − n1 q)a1 + (m2 − n2 q)a2 + . . . + (ms − ns q)as = 0,230 < r = m1 − n1 q < n1 .Чтобы доказать второе утверждение, предположим от противного, что, скажем, n2не делится на n1 . Тогда n2 = n1 q + r, где q – целое число и 0 < r < n1 . Нетруднопроверить, что группа G порождается элементамиb1 := a2 ,b2 := a1 + qa2 ,b3 := a3 , .
. . , bs := as ,для которых имеется нетривиальное соотношение видаrb1 + n1 b2 + n3 b3 + . . . + ns bs = 0,0 < r < n1 .Опять получаем противоречие с минимальностью n1 .Итак, ni = n1 qi для каких-то целых qi . Положим b := a1 + q2 a2 + . . . + qs as .Тогда n1 b = 0 и kb 6= 0 при 0 < k < n1 . Это значит, что циклическая группаG1 := hbi имеет порядок n1 . Несложно проверяется, что G порождается элементами b, a2 , .
. . , as . Кроме того, в случае m1 b + (m2 a2 + . . . + ms as ) = 0 мы получаемтакже m1 a1 + (m2 + q2 m1 )a2 + . . . + (ms + qs m1 )as = 0. Значит, m1 делится на n1 ипоэтому m1 b = 0 и, как следствие, m2 a2 + . . . + ms as = 0. Таким образом,G = G1 ⊕ H,где G1 = hbi,H := ha2 , . . . , as i.Кроме того, минимальный положительный коэффициент в нетривиальных соотношениях между элементами, порождающими группу H, обязательно будет делитьсяна n1 .
В самом деле, пусть m2 a2 + . . . + ms as = 0 ⇒ n1 b + m2 a2 + . . . + ms as = 0, таккак n1 b = 0. Между порождающими группу G элементами b, a2 , . . . , as мы получаемнетривиальное соотношение, в котором коэффициент n1 является минимальным положительным во всех нетривиальных соотношениях для всех минимальных систем,порождающих группу G. В силу отмеченного выше второго наблюдения каждыйиз коэффициентов m2 , . . . , ms должен делиться на n1 . Доказательство завершаетсяиндукцией по s. 2Задача 56. Докажите, что циклическая группа порядка n = n1 n2 . .
. nt с попарно взаимно простыми числами n1 , n2 , . . . , nt является прямой суммой циклическихгрупп порядка n1 , n2 , . . . , nt .Задача 57. Докажите, что любая конечная абелева группа является прямой суммой циклических групп, порядки которых суть какие-то простые числа в какой-тостепени.Задача 58. Докажите, что ни для какой конечной группы множество автоморфизмов не может содержать ровно три разных автоморфизма.2422.1Кольца, поля, многочленыОпределения кольца и поляПусть на одном и том же множестве K определены две замкнутые бинарные операции, первая из них называется сложением и превращает K в аддитивную абелевугруппу, вторая называется умножением и связана с первой законами дистрибутивности:(a + b)c = ac + bc, a(b + c) = ab + ac ∀ a, b, c ∈ K.В таких случаях множество K называется кольцом.Нейтральный элемент по сложению называется нулевым элементом кольца и обозначается символом 0.
Если произведение двух ненулевых элементов кольца равно0, то каждый их этих элементов называется делителем нуля.Утверждение 2.1.1 Для любого элемента a в произвольном кольце K имеет место равенство 0 · a = a · 0 = 0.Доказательство. В силу дистрибутивности0 · a = (0 + 0)a = 0 · a + 0 · a⇒(−0 · a) + 0 · a = 0 = ((−0 · a) + 0 · a) + 0 · a = 0 · a.Равенство a · 0 = 0 получается аналогично. 2Если умножение ассоциативно, то кольцо называется ассоциативным. Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным.Пример неассоциативного и некоммутативного кольца: множество векторов в трехмерном пространстве с операциями сложения (c = a + b) и векторного умножениявекторов (c = a × b = [a, b]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
