V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 49
Текст из файла (страница 49)
и переходя к интегрированию, получим следующую формулу для энтропии твердого тела с задаллным неравновесным распределением энергии в спектре тепловых колебаний: (71.9) й 72. Операторы рождения и уничтожения фононов Покажем теллерь, каким образокл введенные в предыдущем параграфе понятия ллоявляются при последовательном проведении квантования колебаний решетки.
Получающиеся при этом формулы имеют и самостоятельное значение, - на них основана математическая техника для изучения элементарных актов взаимодействия фононов. Произвольное колебательное движение кристаллической решетки может быть представлено в виде наложения бегулпих плоских волн') . Если рассматривать обьем решетки как большой, но конечный, то волновой вектор )с будет пробегать ряд хотя и близких друг к другу, но дискретных значений.
Смещения атомов п,(г, и) изобразятся тогда дискретной суммой вида па(с,п) = ~ уу (алс ес )(1с)ес"""+а~ е1п) (1с)е '""") (72.1) угу о=! лс (Х число элементарных ячеек в решетке). Суммирование производится по всем (не эквивалентным) значениям )с и по всем ветвям спектра колебаний, а остальные обозначения имеют следующий смысл.
) Вполне аналогично топу, как это делается для свободного электромагнитного поля — ср. 11, 152. ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. Ч1 Векторы е, в (72.1) векторы поляризации колебаний, РО т.е. амплитуды, которые не только удовлетворяют уравнениям (69.7), но и предполагаются теперь нормированными определенным условием. Это условие (вместе с соотношениями ортогопальности (69.11)) запишем в виде и — 'е~, 1(1с)[е)" 1(1с)]' = д и=1 (72.2) (ш = 2 ш, -- суммарная масса атомов в одной ячейке).
Условия (72.2) оставляют еще произвольным общий (пе зависящий от в) фазовый множитель в векторах е( ). Этот произвол позволяет наложить на эти векторы дополнительные усчовия е)"1( — 1с) = [е, (1с)]' (72.3) (возможность такого выбора очевидна из того, что в силу соотношений (69.10) векторы, стоящие в обеих частях равенства (72.3), удовлетворяют одинаковым уравнениям). Коэффициенты ак в (72.1) функции времени, удовлетворяющие уравнениям пп пз Подставим сюда разложение (72.1). Все члены получающихся сумм, содержащие множители ехр[тл(1с ~ к')гп] с 1с ~ 1с' ф 0 обращаются в нуль при суммировании по п в силу того, что и1Г Р 0 при и 1=0, Ч1 0..
где 11 пробегает все неэквивалентные значения (см. З 133). Учитывая также условия (72.2), (72.3), преобразуем кинетическую ак„+ п,(1е)ак = О., (72.4) получающимся 1юдстановкой (72.1) в уравнения (69.4). Положим акп оо ехр[ — 11эп(1с)1]; (72. 5) тогда каждый член в сумме будет зависеть только от разности 1сгп — а1 й, т.е.
пРеДставит собой волнУ, бегУЩУю в напРавлении 1с. Колебательная энергия решетки выражается через смещения и скорости атомов формулой Е = — ~> ш п~(п) + — ~~> Л,'1', (п — п')ии(п)ии и(п'). (72.6) ~ 72 ОпеРАтОРы Рождения и уничтожения ФОИОИОВ 257 энергию к виду Е упоу„(ои аа + — (аи а и + па а а )). 2 Потенциальная энергия в (72.6) с помощью уравнений движе- ния (б9.4) переписывается в виде — — 2 тай,(п)п,(п) 1 и затем преобразуется аналогичным образом; в результате она приводится к виду, отличающемуся от кинетической энергии лишь знаком перед вторым членом в фигурных скобках. Скла- дывая обе части энергии, найдем Е = ~~~ 2пиы~~(1с)(а~, ~2.
(72.7) Таким образом, полная энергия колебаний рен7етки выражается в виде суммы энергий, связанных с каждой из волн в отдельности. Произведем теперь преобразование, в результате которого уравнения движения решетки примут вид канонических уравнений механики. Для этого вводим вещественные «канонические переменные» Яа и Ри согласно определению Яа = уут(аа„+а~, ), (72.8) Р~ = — 7оус„(И) ~Гт (ока а~ ) Яа Выразив отсюда ак и а~ и подставив в (72.7), получим гамильтонову функцию реп7етки Н = — 2"„;Я',. + 4(~)ОИ.) (72.9) 9 Л.Д.
Ландау, И М. Лифшиц, том У При этом уравнения Гамильтона дН/дРИ = Яи совпадают с равенствами Ри = Яиц, а из дН/дЯИ = — Ра находим уравнения Яа„+ ВУО(1с)ЯИ„= О, совпадающие с уравнениями движения решетки. Таким образом, функция Гамильтона представлена в виде суммы независимых членов, каждый из которых имеет вид гами.льтоповой функции одномерного гармонического осциллятора. Такой способ описания классического колебательного 258 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА гл, л (72. 12) ') Аналогично тому, как производится переход от классического описания свободного электромагнитного поля к квантовой картине фотонов— см.
11', 12. е) Что касается «нулевой» энергии 2 Аь»„/2, остающейся в (72,11) при всех вк„= О, то ее следует включить в энергию основного состояния тела. Эта величина конечна (уже в силу конечности числа членов в суммме), и ее существование не приводит здесь к каким-либо принципиальным затруднениям (в отличие от квантовой электродинамики, где сумма 2; Ьы, расходится).
движония делает очевидным путь перехода к квантовой тео- рии') . Мы должны рассматривать теперь канонические пере- менные — обобщенные координаты ф, и обобщенные импуль- сы Рь - как операторы с правилом коммутации 7зь Яа — ф, Р1, = — 16. (72.10) Функция Гамильтона (72.9) заменяется ~аким же оператором, собственные значения которого известны из квантовой механики: Е = ~> 6озо(1с)(па + -), н1, = 0,1,2...
(72.11) о1с Эта формула и дает возможность ввести понятие о фононах в указанном в 2 71 смышге: возбужденное состояние решетки мож- но рассматривать как совокупность элементарных возбуждений (квазичастиц), каждое из которых имеет энергию 6со ()с), являю- щуюся определенной функцией параметра (квазиимпульса) 1с. Квантовые числа п1, становятся при этом числами заполнения разл ичных со стоян ий к вази частиц ') . Согласно известным свойствам гармонического осциллятора в квантовой механике величины оз (1с)Оь ж1РЕ имеют матрич- ные элементы только для переходов с изменением чисел п1,„на единицу (см. 1П, 223). Именно, если ввести операторы с1, = [о7о(1с)ф, + 1Рйо), А/26«Ъ (к) 1 Аг 26»э„(1с) то отличны от нуля матричные элементы (н1, — 1~ой ~нй ) = (п1, ~ст ~п~, — 1) =,/7тй .
(72.13) Правила коммутации этих операторов получаются из определе- ния (72.12) и правила (72.10); С1сОС 1»о С 1»оС1»О (72.14) Из (72.13) видно, что в смысле воздействия на функции чи- сел заполнения операторы сьо и с играют роль операторов 259 ОТРЛ!ЦАТЕЛЬНЫЕ ТЕМПЕРАТУРЫ уничтожения и рождения фононов. При этом правило (72.14) отвечает,как и следовало., статистике Возе. Вместе с величинами сь становятся операторалли (в смысле вторичного квантования) также и векторы смещения') йл(п) =, ~ 1Вл, ел")()с)еллсг" +Вт ело) (1с)е ллсгь). )~ 2тХ оЛс (72.15) С помощью этого выражения ангармонические члены в лвьлильтониане (члены третьего и более высоких степеней по смещениям) выражаются через произведения различного числа операторов рождения и уничтожения фононов.
Эти члены и представляют собой возмущение, приводящее к различным процессам рассеяния фононов, — процессам с изменениями фононных чисел заполнения. 8 73. Отрицательные температуры Ы1ы рассмотрим теперь некоторые своеобразные явления, связанные со свойствами парамагнитных диэлектриков. Последние характеризуются тем, что их атомы обладают более или менее свободно ориентирующимися механическими (а с ними и ълагнитнызли) мсалентами. Взаимодействие этих моментов (магнитное или обменное в зависимости от их взаимных расстояний) приводит к появлению нового емагнитногоа спектра, налагающегося на обычный диэлектрический спектр. Этот новый спектр целиком заключен в конечном энергетическом интервале "- интервале порядка величины энергии взаимодействия магнитных моментов всех атомов тела, расположенных на определенных расстояниях друг от друга в узлах кристаллической решетки; эта энергия, отнесенная к одному атому, может составлять от десятых долей до сотни градусов.
В этом отношении магнитный энергетический спектр существенно отличается от обычных спектров, которые благодаря наличию кинетической энергии частиц простираются до сколь угодно больших значений энергии -) . В связи с этой особенностью можно рассмотреть область температур, болыпих по сравнению со всем допустимым интер- ') Из определений (72.8) и (72.12) легко убедигься, что величины се отличаются ог аь„лишь множителем.
е) Электронные (в том числе магнитные) спектры различных категорий твердых тел будут изучены в другом томе этого курса (тоьл 1Х). В дшшом же параграфе рассматриваются лишь чисто термодинамические следствия указанного общего свойства магнитного спектра. е* 260 твкгдыа телА гл, ю г„,„„= 3 (1 — ~Е„+,',(Е„')). Наконец, логарифмируя и снова раз.лагая с той же точностью в ряд, получим для свободной энергии следующее выражение: Р „,. = — Т1пУч„, = — г7Т1пй+ ń— — ((ń— Е„)~). (73.1) 2Т Отсюда энтропия Я„„, = Х1па — —,((ń— Е„) ), (73.2) энергия Емаг — Ев, ((Еа Еа) ) Т (73.3) и теплоемкость С„., = —,((ń— Е,)~).
(73.4) Будем рассматривать совокупность закрепленных в узлах решетки и взаимодействующих друг с другом атомных моментов как изолированную систему, отвлекаясь от ее взаимодействия с колебаниями решетки, которое обычно очень слабо. Формулы (73.1)-(73.4) определяют термодинамические величины этой системы при высоких температурах. Приведенное в 310 доказательство положительности температуры было основано на условии устойчивости системы по отношению к возникновению в пей внутренних макроскопических валом значений энергии., приходящейся на один атом. Связанная с магнитной частью спектра свободная энергия Р„а, вычисляется при этом аналогично тому, как что делалось в 3 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
