V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Можно сказать, что частота есть многозначная функция волнового вектора, обладающая Зи ветвями: ш = ш ()с), где индекс а нумерует ветви функции. Из определения (69.8) и равенств (69.3) следует, что Л,'~ (1с) = Л~,'( — 1с) = [Л~ (1с))'. (69.10) Другими словами, величины Л;,')', ()с) составляют эрмитову матрицу, а задача о решении уравнений (69.7) есть с математической точки зрения задача об определении собственных значений и соответствующих им собственггых «векторов» такой матрицы.
Согласно известным свойствам эрмитовых матриц собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогоншгьны, Это значит в данном с11учае, что Р т,п~ )п~'" ) = 0 при о ~ о', (69.11) где индекс (сг) у вектора смещения указывает ветвь спектра колебаний, к которой он относится' ) .
Равенства (69,1Ц выражают собой свойство ортогопальности поляризаций в различных ветвях спектра. Если в силу симметрии механических уравнений движения по отношению к изменению знака времени и возможно распространение некоторой волны (69.6), то возможно распространение такой же волны и в противоположном направлении. Но такое изменение направления эквивалентно изменению знака 1с. Следовательно, функция оз(1с) дшгжна быть четной: ш( — 1с) = и(1с).
(69.12) Волновой вектор колебаний решетки обладает следующим важным свойством. Вектор 1с входит в выражение (69.6) только через экспоненциальный множитель ехр(11сг„), Но этот множитель вообще не меняется при замене )с -э 1с+ Ь, Ь = Р1Ь1+ РзЬз +РзЬз, (69.1З) ') Появление «весового» множителя п1, в соотношениях (69.11) связано с тем, что а1~ являются собственными значениями не самой матрицы л;1 ()с), а матрицы Л,"„' (,~т,ши, причем соответствующими собсгвенаыми «векторамик являются /т,и, 246 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА гл, л где Ь любой вектор обратной решетки (Ьы Ьо, Ьз сс основные периоды; ры рз, ра целые числа) ') . Другими словами, волновой вектор колебаний решетки физически неоднозначен: значения 1с, отличающиеся на Ь, физически эквивалентны. Функция оз(1с) периодична в обратной решетке: оз(1с + Ь) = оз(1с), и поэтому в каждой ее ветви достаточно рассматривать:значения вектора )с, лежащие в некотором определенном конечном интервале в одной ячейке обратной решетки.
Если выбрать оси координат (в общем случае косоугольные) по трем основным периодам обратной решетки, то можно, например, ограничиться (69.14) Когда 1с пробегает значения в этом интервале, частота ш(1с) в каждой ветви спектра пробегает значения, заполняющие некоторую полосу (или, как говорят, зону) конечной ширины. Различные зоны могут, конечно, частично перекрываться между собой. В геометрических терминах функциональная зависимость оз = ы(1с) изображается четырехмерной гиперповерхностыо, различные листы которой отвечают различным ветвям функции. Эти листы могут оказаться не полностькз разделенными, т.е, могут пересекаться. Возможные типы таких пересечений существенно зависят от конкретной спл1метрии кристаллической решетки.
Исследование этого вопроса требует применения методов теории групп, как это будет изложено ниже, в з 136. Среди Зи ветвей спектра колебаний должны бьггь такие, которые при больших (по сравнению с постоянной решетки) длинах волн соответствуют обычным упругим (т.е. звуковым) волнам в кристалле. Как известно из теории упругости (см. Ъ'11, З23),. в кристалле, рассматриваемом как сплошная среда, могут распространяться волны трех типов с различными законами дисперсии, причем для всех трех типов оз есть однородная функция первого порядка от компонент вектора )с, обращающаяся в нуль при 1с = О.
Следовательно, среди Зи ветвей функции ш(1с) должны существовать три, в которых при малых 1с закон дисперсии имеет вид l 1с ~ оз = йу'( — ) (69.15) Эти три типа волн называются акустическими; опи характеризуются тем, что (при малых 1с) решетка колеблется в целом как ') Здесь используются понятия, подробно рассматриваемые ниже, в 1 ГЗЗ. 247 кОлеБАния кРисталли 1ескОг! РБ1петки сплошная среда. В пределе (с -э О эти колебания переходят в простое параллельное смещение всей решетки. В сложных решетках, содержащих более одного атома в ячейке, существует еще 3(и — 1) типа волн. В этих ветвях спектра частота не обращается в нуль при 1с = О, а стреалится при (с — у О к постоянному пределу.
Эти колебания решетки называют оппгггчесеимгь В этом случае атомы в каждой элементарной ячейке движутся друг относительно друга, причем в предельном шгучае )с = О центр тяжести ячейки остается в г!акое') . Не все 3(м — 1) предельные частоты оптических колебаний (частоты при 11 = О) должны непременно быть различными. При определенных свойствах симметрии кристалла предельные частоты некоторых из оптических ветвей спектра могут совпадать или, как говорят, быть вырожденными (см. об этом 8 136). Функция ог((с) с невырожденной предельной частотой может быть разложена вблизи (с = О в ряд по степеням компонент вектора 1с.
В силу четности функции ог(1с) такое разложение может содержать только четные степени Ц, так что его первые члены имеют вид 1 Ш вЂ” ОГО + 7РЬАЕ "Ы (69.16) где ого - . предельная частота, угь постоянные величины. Если же предельные частоты нескольких ветвей совпадают, то функции ог()с) в этих ветвях вообще не могут быть разложены по степеням (с, поскольку точка 1с = О является для них особой (точкой ветвления). Можно лишь утверждать, что вблизи 1с = О разность ы — шо будет (в зависимости от симметрии кристалла) однородной функцией компонент (с либо первого! либо второго порядка.
По поводу всего изложенного напоминал лишний раз, что речь идет о так называемом га)гмотгичссеолг приближении, в котором учитываются лишь квадратичные по смещениям атоълов члены и потенциальной энергии. Только вэтом приближении различные монохроматическис волны (69.6) не взаимодействуют друг с другом, а свободно распространяются по решетке. ) Последнее обстоятельство формальвым образом можно усмотреть вепосредствеиио из уравнений движения (69.7), (69.8). При Гс = О оии прииимают вид Л;1 (п)е, 1 = !Б,ег е„.
Просуммировав обе части уравнения по в, в силу' (69.5) получим слева нуль; поэтому для совместности уравнений при Гс = О должно быть и ~„пг,е,, = О. 248 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА гл, л При учете жс следующих, ангарлгонггческггх членов появляются различного рода процессы распада и рассеяния этих волн друг на друге. Взаимодействие может приводить также и к образованию «связанных состояний» волн (фононов см. ниже), новых ветвей спектра, отсутствующих в гармоническом приближении. Кроме того, предполагается, что решетка обладает идеальной периодичностью.
Надо иметь в виду, что идеальная периодичность в некоторой степени нарушается (даже без учета возможных «примесей» и других дефектов решетки), если в кристалле имеются атомы различных изотопов, распределенные беспорядочным образом. Это нарушение, однако, сравнительно невелико, если относительная разность атомных весов изотопов мала или если одного изотопа значительно больше остальных. В этих случаях и:зложенная картина в первом приближении остается в силе, а в следующих приближениях возникают различного рода процессы рассеяния волн на неоднородностях решетки').
9 70. Плотность числа колебаний Число колебаний, пРиходЯщихсЯ на интеРвал г(зк: — с(к с(йкс(й, значений компонент волнового вектора, будучи отнесено к единице объема кристалла, равно с(зк/(2п)з. Характеристикой спектра колебаний конкретной решетки является функция распределения колебаний по частотам я(ы)., определяющая число 8(гп)с(со колебаний, частоты которых лежат в заданном интервале между оз и оз + с(оз, Это число, разумеется., различно для разных ветвей спектра, но для упрощения обозначений соответствующий индекс о у функций оз(К) и 8(оз) в этом параграфе мы не будем использовать. Чигло 8(оз) г(го дается деленным на (2к)з объемом Ы-ггространства, заключенным между двумя бесконечно близкими изочастотными поверхностями (поверхностями постоянной частоты) оз(к) = согзв(.
В каждой точке 1с-пространства градиент функции оз(1«) направлен по нормали к проходящей через эту точку изочастотной поверхности. Поэтому из выражения с(го = с(1«.'(7коз(1«) ясно, что расстояние между двумя бесконечно близкими такими поверхностями (измеренное по отрезку ) На.гичие дефектов решетки приводит гакже и к некоторым изменениям в спектре ее колебаний — появлонию новых частот (отвечаюгдих «локальным» колебаниям вблизи дефектов). Эти вопросы исследованы в работе: Лифшиц Е.
М., Косевич А. М. Динамика кристаллической решетки с дефектами (Рсер. Ргобг. Р1гув. — 1966. — У. 29. — Р. 217). Перевод — в ките: Лифшиц И. М. Избранные труды. Физика реальных кристаллов и неупорядоченных систем. — 11.: Наука, 1987, статья 14. 249 плотность числя колввлний 1 70 нормали между ними) есть г1оз/]'гзйго].
Умножив эту величину на площадь г()й элемента изочастотной поверхности и проинтегрировав по всей этой поверхности (в пределах одной ячейки обратной решетки), найдем искомую часть объема 1с-ггространства, а разделив ес на (2п)', плотность распределения частот: 3 К( )= —,1 (2я)з / ]т'вы0с)] (70.1) В каждой зоне (области значений, пробегаемых некоторой ветвью оз(1с) в одной ячейке обратной решетки 1с) функция го(1с) должна иметь по крайней мере один минимум и один максимум. Отсюда, в свою очередь следует, что эта функция должна обладать также и седловыми точками ') . Существование всех таких стационарных точек приводит к определенным особенностям функции распределения частот я(оз) (Ь. пап Нове, 1953).
Вблизи экстремальной точки, находящейся при некотором 1с = 1со, разность со(1с) — озо (где соо = ш(1со)) имеет вид 1 «~ — «~0 = -ЪиЖ, — ~01)Яь — ~Ои) 2 Направив координатные оси в )с-простраггстве вдоль главных осей этой квадратичной формы, запишем ее в виде 1 0 21711ьх ьОх) + УЗ(ьу йау) +'уз()сх ьОх) ]~ (70.2) ш — ого = ~ — (зс + з ' + 'г ) = ~ — зс . 1 й э й 1 й х р х (70.3) При этом изочастотные поверхности в зс-пространстве являются сферами. Переходя в (70.1) к интегрированию в зс-пространстве, имеем Элемент поверхности сферы: г()- = зг 71о,,„где г1о„элемент телесного ушга. Градиент же функции (70.3): и ш(зс) = шзс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
