V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Полное число фотонов в черном излучении есть 2 3/ Ь /т г 2 Зйз о о Стоящий здесь интеграл выражается через !,(3) (се!. примеч. На с. 202). Таким образом, Х = — 2( — ) Ъ' = 0,244( — ) Ъ'. (63.18) При адиабатичсском расширении (или сгкатии) газа фото- нов объем и температура связаны друг с другом соотношени- ем Ъ'Тз = сопвФ. В силу (63.16) давление и объем связаны при этом отношением РЪг~!э = сопв1. Сравнивая с (61.8), мы видим, что уравнение адиабаты газа фотонов совпадает (как и следова- ло ожидать) с адиабатой ультрарелятивистского газа.
Рассмотрим какое-либо тело, находящееся в тепловом равно- весии с окружающим его черным излучениее!, Тело непрерывно отражает и поглощает падающие па него фотоны и в то же вре- мя само излучает новые, причем в равновесии все эти процессы 221 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ взаимно компенсируются таким образом, чтобы распределение фотонов по частотам и направлениям оставалось в среднем неизменным.
Благодаря полной изотропии черного излучения из каждого элемента его объема исходит равномерно во все стороны поток энергии. Введем обозначение ео(ш)— 1 и'Е Ьыз 4лр й~ 4лзе~(е~" М вЂ” ц (63.19) сев (ш) Йо Йьл Поэтому энергия излучения (с частотами в Р1ы), падающего в единицу времени на единицу площади поверхности тела под уг- лом О к ее нормали, есть сев(ш) сое Одо йо., Ао = 2л ейп 000. Обозначим через А(ьз, О) поглощательную способносшь тела как функцию частоты излучения и направления падения; эта величина определяется как доля падающей на поверхность тела энергии излучения данного интервала частоты, поглощаемая этим телом, причем в эту долю не вкл1очается излучение, прошедшее насквозь через тело, если таковое имеется.
Тогда количество поглощенного (в 1с на 1смв поверхности) излучения бу- дет сев(ш) А(ш, 0) сое Осло дш. (63.20) Предположим, что тело не рассеивает излучения и не флуорссцирует, т.е, отражение происходит без изменения угла О и частоты. Кроме того, будем считать, что излучение не проходит сквозь тело; иначе говоря, вге иеотраженное излучение полностью поглощается. Тогда количество излучения (63.20) должно компенсироваться излучением, испускаемым самим телом в тех же направлениях и с теми же частотами. Обозначив интенсивность испускания (с 1 см поверхности) через,7(ьз,0)дьз до и приравнивая ее поглощаемой энергии, получим следующее соотношение; ,У(ьз, 0)в(ьз)А(ьз, О) сое О.
(63.21) Функции,7(ш, О) и А(ы, 0), разумеется, различны для разных тел. Мы видим, однако, что их отношение оказывается не для спектральной плотности черного излучения, отнесенной к единице обьема и единичному интервалу тш1есных углов. Тогда плотность потока энергии с частотами в интервале й~, исходя- щего из каждой точки в элемент телесного угла Р1о, будет 222 РЯОПРеделения ФБРыи и БОзе зависящей от свойств тела универсальной функцией частоты и направления; у(ы,а) о(оз) сов О, А(~, В) определяющейся распределением энергии в спектре черного излучения (при температуре, равной температуре тела); это утверждение составляет содержание так называемого закона Киршгофа. Если тело рассеивает свет, то закон Кирхгофа может быть сформулирован лишь более ограниченным образом. Поскольку отражение в этом случае происходит с изменением угла О, то, исходя из условия равновесия, можно требовать лишь равенства поглощаемого со всех сторон излучения (данной частоты) полному испусканию телом во все стороны: (63.22) ,7(оз, О) г1оо 1'оз) А(о1, О) сов Ой о.
Угол О меняется, вообще говоря, и в том случае, когда излучение может проходить насквозь через тело (благодаря преломлению при входе в тело и при выходе из него). В этом случае соотношение (63.22) должно еще быть проинтегрирована по всей поверхности тела; функции А(со,д) и,г(о1,0) зависят при этом не только от вещества тела, но и от его формы и точки певерхпссти. Наконец, при наличии рассеяния, сопровождающегося изменением частоты (флуоресиенцил), закон Кирхгофа имеет место лишь для полных интегралов как по направлениям, так и по частотам излучения: Тело, полностью поглощающее все падающее на него излучение, называется абсолютно черным ') . Для такого тела по определению А(о1,0) = 1, и его испускательная способность полностью определяется функцией до1оз, 0)о1оз) соч д, (63.24) ') Такое тело может быть осуществлено в виде полости с хороп1о поглошаюшими внутренними стенками, снабженной маленьким отверстием.
Всякий луч, падающий извне в зто отверстие, мог бы снова попасть в него и выйти наружу, лишь претерпев многократное отражение от стенок полости. Поэтому при достаточно малых размерах отверстия полость будет поглошать практически все падающее на отверстие излучение, и таким образом отверстие будет представлять собой абсолютно черноо тело. 223 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ одинаковой для всех абсолютно черных тел. Отметим, что ин- тенсивность испускания абсолютно черного тела весьма просто зависит от направления - она пропорциональна косинусу угла с нормалью к поверхности тела.
Полная интенсивность испус- кания абсолютно черного тела,Уо получается интегрировани- ем (63.24) по всем частотам и всем телесным углам в полусфере: оо яУ2 сЕ ,Уо = с ео(ы)г)со 2ксоедэшддд = —, 41" о о где Е определяется формулой (63.14). Таким образом, Уо = ггТ (63.25) т.е. полная интенсивность испускания абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Наконец, рассмотрим излучение, не находящееся в тепловом равновесии, причем неравновесным может быть как спектраль- ное распределение излучения, так и его распределение по напра- влениям.
Пусть е(со,п)дсо гУО есть пространственная плотность этого излучения в спектральном интервале Йо и с направления- ми п волнового вектора в элементе телесного угла до. Можно ввести понятие о температуре излучения в каждом отдельном небольшом интервале частот и направлений как о температу- ре, при которой плотность е(со, п) равна значению, даваемому формулой Планка, т. е. е(ю,п) = ео(о2). Обозначив эту температуру как Т „, будем иметь 4я г' е(ы,п) Представим себе абсолютно черное тело, излучающее в окру- жающее (пустое) пространство. Излучение свободно распро- страняется вдоль прнмолш|ойпых лучей и впе тела ужо пе бу дет находиться в тепловом равновесии., оно отнюдь не бу- дет изотропным по всем направлениям, каковым должно бьггь равновесное излучение. Поскольку фотоны распространяются в пустоте, не взаимодействуя друг с другом, мы имеем осно- вания для строгого применения теоремы Лиувилля к функ- ции распределения фотонов в их фазовом пространстве, т.е.
по координатам и компонентам волнового вектора'). Соглас- ) Рассматривая предельный случай геометрической оптики, мы можем говорить о координатах фотона. 224 РАОПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ но этой теореме функция распределения остается постоянной вдоль фазовых траекторий. Но функция распределения совпадает, с точностью до зависящего от частоты множителя, с пространственной плотностью излучения е(ш, и, г) данной частоты и направления. Поскольку частота излучения тоже пе меняется при его распространении, мы можем сформулировать следующий важный результат: во всяком элементе телесного угла, в котором (из данной точки пространства) распространяется излучение, плотность излучения е(ш, п,г) будет равна плотности, которую оно имело внутри испускающего его черного тела, т.е.
плотности ее(и) черного излучения. В то время, однако, как в равновесном излучении такая плотность существует для всех направлений,:здесь она будет иметь место лишь для некоторого избранного интервала направлений. Определяя температуру неравновесного излучения согласно (63.26)., мы можем выразить этот результат иначе, сказав, что температура Теи будет равна температуре Т излучающего черного тела для всех направлений, в которых (в каждой данной точке пространства) вообще имеется распространяющееся излучение. Если же определять температуру излучения по усредненной по всем направлениям плотности, то она окажется, разумеется, ниже температуры черного тела.
Все эти следствия теоремы Лиувилля полностью сохраняют свою силу и в случае наличия отражающих зеркал и преломляющих линз прп соблюдении, конечно, условий применимости геометрической оптики. С помощью линз нли зеркал можно сфокусировать излучение, т, е, увеличить диапазон направлений, по которым идут лучи (в данную точку пространства).
Тем самым можно повысить среднюю температуру излучения в этой точке; однако, как это вытекает из сказанного выше, никоим образом нельзя сделать ее выше температуры черного тела, из которого это излучение было испущено. ГЛАВА у1 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА й 64. Твердые тела при низких температурах Другим объектом, к которому могут быть с успехом применены статистические методы вычисления термодинамических величин, являются твердые тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
